2018年高考数学总复习随机变量及其分布.pdf

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1、第二节随机变量及其分布 考纲解读 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重 要性。 2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解 n次独立重复实验的模型及二项分布，并 能解决一些简单的实际问题。 4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方 差，并能解决一些实际问题。 5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。 命题趋势探究 1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。 2.主要以离散型随机变量分布列

2、为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项 分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。 3.有关正态分布的考题多为一道小题。 知识点精讲 一、条件概率与独立事件 （1）在事件 A 发生的条件下，时间 B 发生的概率叫做A 发生时 B 发生的条件概率，记作 P B A ，条件概率公式为 =P B A P AB P A 。 （2）若 =P B AP B（ ），即= ( )( )P ABP A P B,称 A与B为相互独立事件。A与B相 互独立，即 A发生与否对B的发生与否无影响，反之亦然。即 ,A B相互独立，则有公式 = ( )( )P ABP A P B 。 （3）在n次独立重复实验

3、中，事件A发生k 0kn次的概率记作 n P k，记A在其 中一次实验中发生的概率为P Ap，则1 n k kk nn PkC pp. 二、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质 （1）离散型随机变量的分布列（如表13-1 所示） . 表 13-1 123n P 1 p 2 p 3 p n p 1 1, i pin iN; 12 1 n ppp . （2）E表示的期望： 1122 =+ nn pppE，反应随机变量的平均水平，若随机变 量，满足=ab，则EaEb. （3）D表示的方差： 222 1122 =- nn EpEpEpD，反映随机变量 取值的波动性。D 越小表明随机变量越稳定，反之

4、越不稳定。若随机变量，满足 =ab，则 2 =Da D 。 三、几种特殊的分布列、期望、方差 （1）两点分布（又称0，1 分布） E=p，D=1pp. 件发生的概率为 p 01p，则 （2）二项分布： 若在一次实验中事 在n次独立重复实验中恰好发生k次概率=pk1 nk kk n C pp 0,1,2,kn， 称服从参数为,n p的二项分布，记作,B n p，E =np，D=1pp. （3）几何分布： 若在一次实验中事件发生的概率为01pp，则在n次独立重复实验 中，在第k次首次发生的概率为 1 1 k p kpp，1,2,k， 1 =E p 。 （4）超几何分布： 总数为N的两类物品， 其中

5、一类为 M 件，从N中取n件恰含M中的m 件，0,1,2,mk，其中k为M与n的较小者，=Pm mn m MNM n N C C C ，称服从参 数为,N M n的超几何分布，记作,HN M n，此时有公式=E nM N 。 四、正态分布 （1）若X是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 2 2 2 1 e 2 x fx， xR（其中,是参数，且0，） 。 0 1 P 1- p p 其图像如图13-7 所示，有以下性质： 曲线在x轴上方，并且关于直线x对称； 曲线在x处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两 边低”的形状； 曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”

6、 ，越小，曲线越“高瘦” ； fx图像与x轴之间的面积为1. （2）E =，D= 2 ，记作 2 ,N. 当0,1时，服从标准正态分布，记作0,1N. （3） 2 ,N，则在 ,，2 ,2，3,3上 取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的3原则。 题型归纳及思路提示 题型 178 概率的计算 思路提示 要分析题中事件是独立事件、互斥事件还是对立事件，然后考虑用相应的概率公式计算，若 A ， B为 独 立 事 件 ， 则 有PA BPAPB， 若A,B为 互 斥 事 件 ， 则 P ABP AP B，若 A，B为对立事件，则1P AP B，如果为条件概 率，则需选用

7、条件概率公式 =P B A P AB P A 计算（其中 A，B为两个事件，P B A 表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率）。 例 13.7 甲乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束， 假 设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2 局中，甲乙各胜1 局。 （1）求再赛2 局结束这次比赛的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率。 分析：前 2 局中甲乙各胜1 局是已发生的事情，计算其后的概率不考虑已发生的情况。 解析： （1）一局中甲胜记为A，则再赛 2 局比赛结束，意味着甲或乙连胜2 局，故此事件可 表

8、 示A AA A ， 由 AA与AA互 斥 ， 并 考 虑 比 赛 结 果 互 斥 ， 所 以 有 22 ()()()0.60.40.52.P AAAAP AAP AA （2 ）甲获胜可表 示为AAAAAAAA，从而P（甲获胜） 22 =0.6 +0.40.62=0.648P AAP AAAP AAA. 评注： 只要分析清楚比赛的可能进程，将问题“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥 的事件，然后利用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用概率的加法公式与乘法公式时， 要注意正确运用事件的互斥性、独立性等，即可按顺序完成解答。 变式 1 甲乙丙射手击中目标的概率分别为0.6，0.7，0.8，求

9、： （1）甲乙丙3 人各射击一次，恰一人击中目标的概率； （2）3 人各射击一次，至少一次击中目标的概率； （3）每人射击3 次，甲乙丙击中次数依次为1、2、3 次的概率（甲乙丙每次击中目标与否 相互独立）。 变式 2 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合 格就签约， 乙丙则约定： 两人面试都合格就一周签约，否则两人都不签约，设每人面试合格 的概率都是 1 2 ，且面试是否合格互不影响，求： （1）至少一人面试合格的概率； （2）没人签约的概率。 例 13.8 如图 13-8 所示， EFGH是以 O 为圆心， 半径为 1 的圆的内接正方形，将一颗豆子随 机

10、地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内” ，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE（阴影部分）内” 。则（ 1）P A=_;（ 2）P B A=_. 解析：（1）由题意可得，事件A 发生的概率为 1 4 . （2）事件AB表示“豆子落在EOH内”，则 1(AB)1 =(B| A) 2(A)4 EOH O P P ABP P S S圆 ，故。 变式 1 从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件A 表示“取到的两个数之和为偶数”， 事件 B 表示“取到的2 个数均为偶数” ，则 P B A=（） A. 1 8 B. 1 4 C. 2 5 D. 1 2 变式 2 甲罐中有5

11、个红球、 2 个白球和3 个黑球，乙罐中有4 个红球、 3 个白球和 3 个黑 球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 123 ,A AA表示由甲罐中取出的球是红球、 白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件， 则下列结论中正确的是_. （1） 2 5 P B； （2） 1 5 11 P B A； 2)这 6 个点中随机选取3 个点，将这 3 个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立 体”的体积为随机变量V( 如果选取的3 个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积 V=0)。 (1) 求 V=0 的概率； (2) 求 V 的分布列及数学期

12、望EV。 变式 2 某市公租房的房源位于A、B、C 三个片区。设每位申请人只申请其中一个片区 的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任意4 位申请人中： (1) 恰有 2 人申请 A 片区房源的概率； (2) 申请的房源所在片区的个数的分布列和期望。 例 13.10(2013北京理 16) 如图 13-10 所示是某市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染，某人随机选择3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留2 天。 (1) 求此人到达当日空气重度污染的概率； (2)

13、 设 X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。 分析： (1) 重度污染的只有2 天，由于到达的日期是随机的，根据古典概型求解；(2) 随机变量 X=0,1,2 ， 根据图表中连续2 天的空气质量指数求出X=0,1,2 对应的基本事件个数， 根据古典概型可得其分布列，然后使用数学期望的公式计算其数学期望。 解析：设 Ai表示事件“此人于3 月 i 日到达该市”( i=1,2, ,13) 。 根据题意，() 1 13 i P A，且 AiAj= (i j) 。 (1) 设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B=A5A8。 所以()()()() 5858 2 13 P

14、BP AAP AP A。 (2) 由题意可知， X的所有可能取值为0,1,2 ，且 P( X=1)= P( A3A6A7A11)= P( A3)+ P( A6)+ P( A7)+ P( A11)= 4 13， P( X=2)= P( A1A2A12A13)= P( A1)+ P( A2)+ P( A12)+P( A13)= 4 13， P( X=0)=1- P( X=1)- P( X=2)= 5 13, 所以 X 的分布列为 : X0 1 2 P 5 13 4 13 4 13 故 X的期望 EX =0 5 13+1 4 13+2 4 13= 12 13。 变式 1 甲、乙两支排球队进行比赛，约

15、定先胜3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束， 除第五局甲队获胜的概率是 1 2 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 2 3 ，假设各局比赛结果 相互独立。 (1) 分别求甲队以3:0 ，3:1 ，3:2 胜利的概率； (2) 若比赛结果为3:0 或 3:1 ，则胜利方得3 分，对方得 0 分；若比赛结果为3:2 ，则胜 利方得 2 分；对方得1 分。求乙队得分X 的分布列及数学期望。 变式2 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历。假定 该毕业生得到甲公司面试的概率为 2 3 ，得到乙、丙两公司面试的概率为p，且三个公司是否 让其面试是相互独立的。记X 为该毕业生得到面

16、试的公司个数。若() 1 0 12 P X，则随机 变量 X的数学期望E( X)=_。 例 13.11(2012天津理 16) 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择。为增加趣味 性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于2 的人去参加乙游戏。 (1) 求这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率； (2) 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3) 用 x，y 分别表示这4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=| x- y| ，求随机变量的 分布列与数学期望E

17、 。 解析：由题意可知，某个人去参加甲游戏的概率为 1 3 ，去参加乙游戏的概率为 2 3 。 设“这 4 个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件Ai( i=0,1,2,3,4)， 则()( ) ()4 4 12 C 33 iii iP A。 (1) 这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率为()( ) ( ) 222 4 128 C 3327 i P A。 (2) 设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则 B=A3 A4，由于 A3与 A4互斥，故()()()( ) ( )() 3344 3444 1211 CC 3339 P BP AP A。 (3)的所有可

18、能取值为0，2，4。 ()() 2 8 0 27 PP A，()()() 13 40 2 81 PP AP A，()()() 04 17 4 81 PP AP A， 随机变量的分布列为 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 故 84040148 024 27818181 E。 评注： (1) 运用独立重复试验的概率公式解题时常把所求的概率事件分拆为若干个事件， 而每个事件均为独立重复试验； (2) 解第 (3) 问时要明确随机变量所取的每个值所表示的事件，否则就无法求出它的概 率。 变式 1 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5 ，购买乙种保险但不购 买甲种保险的概

19、率为0.3 。设各车主购买保险相互独立。 (1) 求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率； (2) X表示该地的100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。 变式 2 (2013辽宁理 19) 现有 10 道题，其中6 道甲类题， 4 道乙类题，张同学从中任取3 道题解答。 (1) 求张同学至少取到1 道乙类题的概率； (2) 已知所取的3 道题中有2 道甲类题， 1 道乙类题。设张同学答对每道甲类题的概率 都是 3 5 ，答对每道乙类题的概率都是 4 5 ，且各题答对与否相互独立。用 X表示张同学答对题 的个数，求X的分布列和数学期望。 例 13.12 某

20、饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别。公司 准备了两种不同的饮料共8 杯，其颜色完全相同，并且其中4 杯为 A 饮料，另外4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8 杯饮料中选出4 杯 A 饮料。若4 杯都选对，则月 工资定为3500 元；若 4杯选对 3 杯，则月工资定为2800 元；否则月工资定为2100 元。令 X表示此人选对A 饮料的杯数。假设此人对A 和 B 没有鉴别能力。 (1) 求 X的分布列； (2) 求此员工月工资的期望。 解析： (1) X的所有可能取值为0，1，2，3，4， () 4 44 4 8 C C C ii P Xi( i=0,1,

21、2,3,4)，故 X 服从 N=8， M=4，n=4 的超几何分布，即X 的分 布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 (2) 令 Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800， 3500， 则()() 1 35004 70 P YP X， ()() 8 28003 35 P YP X， ()() 53 21002 70 P YP X， 则( ) 1853 3500280021002280 703570 E Y， 所以此员工月工资的期望为2280 元。 例 13.13(2012全国新课标理18) 某花店每天以每5 枝元的价格从农

22、场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售。 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1) 若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润y( 单位：元 ) 关于当天需求量n( 单位： 枝， n N)的函数解析式。 (2) 花店记录了100 天玫瑰花的日需求量( 单位：枝 ) ，整理后如表13-2 所示： 日需求量n14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i) 若花店一天购进16枝玫瑰花， X表示当天的利润(单位：元 )，求 X 的分布列，数学 期望及方差； (ii)若花店计划一

23、天购进16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是 17 枝？ 请说明理由。 解析： (1) 当日需求量n 16 时，利润y=80， 当日需求量n0,20) 的密度函数图像如图13-14 所 示，则有 ( )。 A. 12 C. 12，12，12 aOax 图 13-13 y 变式2 以(x) 表示标准正态总体在区间(-, x) 内取值的概率，若随机变量服从正态 分布 N(, 2) ，则概率 P(|-|1)= p，则 P(-10) 等于 ( )。 A. 1 2 pB. 1- pC. 1-2 pD. 1 2 p 6. 甲、乙两人下棋，甲单场获胜的概率为0.6 ，没有平局，且不同场次胜负相

24、互独立。 规定先胜3 场者获胜，现已知前两场比赛甲、乙各胜一场，则甲最终获胜的概率为( )。 A. 0.432 B. 0.288 C. 0.648 D. 0.6 7. 设随机变量的分布列为() 10 i Pi( i=1,2,3,4)，则() 17 22 P_。 8. 若随机变量B( n, p)，且 4 3 E， 8 9 D，则 P(=2)=_ 。 9. 设某项试验的成功率是失败率的2 倍，用随机变量去描述 1 次试验的成功次数，则 P( =0)=_ 。 10. 已知随机变量X，Y，其中 Y=12X+7，且 E( Y)=34，若 X的分布列如表13-6 所示。 表 13-6 X 1 2 3 4

25、P 1 4 mn 1 12 则 m 的值为 _。 11. 甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10 道题中，甲答对其中每道题的概率为 3 5 ， 乙能答对其中的5 道题，规定每次考试都从备选的10 道题中随机抽出3 道进行测试，答对 一题加 10 分，答错一题( 不答视为答错)减 5 分，至少得15 分才能入选。 (1) 求乙得分的分布列和数学期望； (2) 求甲、乙两人中至少有一人入选的概率。 12. 某游乐场将要举行狙击移动靶比赛，比赛规则是：每位选手可选择在A 区射击 3 次 或选择在B 区射击 2 次，在 A 区每射中一次，则得3 分，射不中得0 分；在 B 区每射中一 次得 2 分，射不中得 0 分。已知参赛选手甲在A 区和 B 区每次射中移动靶的概率分别为 1 4 和 p(0p1) 。 (1) 若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3 分的概率； (2) 我们把在A，B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲 最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围。