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1、第 2 节同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2cos21，sin cos tan ；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 ， 的正弦、余弦、正 切的诱导公式 . 知 识 梳 理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： sin 2cos21. (2)商数关系： sin cos tan_. 2.三角函数的诱导公式 公式一二三四五六 角 2k (kZ) 2 2 正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_ 余弦cos cos_cos_ cos_ sin_ sin_ 正切tan tan_tan_tan_ 口诀函数名不变，符号看象限 函
2、数名改变，符号看 象限 常用结论与微点提醒 1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin cos ) 21 2sin cos . 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 诊 断 自 测 1.思考辨析 (在括号内打“”或“”) (1)sin()sin 成立的条件是 为锐角 .() (2)六组诱导公式中的角可以是任意角 .() (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 2 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.() (4)若 sin(k )1 3(kZ)，则 sin 1 3.( )
3、解析(1)对于 R，sin( )sin 都成立 . (4)当 k 为奇数时， sin 1 3， 当 k 为偶数时， sin 1 3. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(2018 成都诊断 )已知 为锐角，且 sin 4 5，则 cos ( )( ) A.3 5 B.3 5 C.4 5 D.4 5 解析因为 为锐角，所以 cos 1sin 23 5，所以 cos( ) cos 3 5，故选 A. 答案A 3.已知 sin 5 2 1 5，那么 cos ( ) A.2 5 B. 1 5 C.1 5 D.2 5 解析sin 5 2 sin 2 cos ，cos 1 5.故选 C. 答案C 4.(必
4、修 4P22B3改编)已知 tan 2，则 sin cos sin cos 的值为 _. 解析原式 tan 1 tan 1 21 213. 答案3 5.已知 sin cos 4 3， 0， 4 ，则 sin cos 的值为 _. 解析sin cos 4 3，sin cos 7 18. 又(sin cos )212sin cos 2 9， 又 0， 4 ，sin cos 2 3 . 答案 2 3 考点一同角三角函数基本关系式的应用 【例 1】 (1)(2018 兰州测试 )已知 sin cos 1 8，且 5 4 sin ， cos sin 0. 又(cos sin )212sin cos 12
5、1 8 3 4， cos sin 3 2 . (2)tan 3 4，则 cos 22sin 2cos 22sin 2 cos 2sin214tan 1tan 264 25. 答案(1)B(2)A 规律方法1.利用 sin2cos 21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 sin cos tan 可以实现角 的弦切互化 . 2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用 (sin cos )21 2sin cos ，可以知一求 二. 3. 注意公式逆用及变形应用：1sin 2cos2，sin21cos2，cos21 sin2 . 【
6、训练 1】 (1)若 3sin cos 0，则 1 cos 22sin cos 的值为 () A. 10 3 B.5 3 C.2 3 D.2 (2)(2017 全国卷)已知 0， 2 ，tan 2，则 cos 4 _. 解 析(1)3sin cos 0? cos 0? tan 1 3 ， 1 cos 22sin cos cos 2 sin 2 cos 22sin cos 1tan 2 12tan 1 1 3 2 12 3 10 3 . (2)由 tan 2 得 sin 2 cos ， 又 sin 2cos 21，所以 cos21 5. 因为 0， 2 ，所以 cos 5 5 ，sin 2 5
7、5 . 因为 cos 4 cos cos 4 sin sin 4 ， 所以 cos 4 5 5 2 2 2 5 5 2 2 3 10 10 . 答案(1)A(2)3 10 10 考点二诱导公式的应用 【例 2】 (1)已知 A sin（k ） sin cos（k ） cos (kZ)，则 A 的值构成的集 合是() A.1 ，1，2，2 B. 1，1 C.2，2 D.1 ，1，0，2，2 解析当 k 为偶数时， Asin sin cos cos 2； k 为奇数时， Asin sin cos cos 2. 答案C (2)求值： 设 f( )2sin（ ）cos（ ）cos（ ） 1sin 2c
8、os3 2 sin2 2 (12sin 0)，求 f 23 6 的值. 解f( )（2sin ）（ cos ）cos 1sin 2sin cos2 2sin cos cos 2sin 2sin cos （12sin ） sin （12sin ） 1 tan ， f 23 6 1 tan 23 6 1 tan 4 6 1 tan 6 3. 规律方法1.诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2. 含 2整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接 将 2的整数倍去掉后再进行运算，
9、如cos(5 )cos( )cos . 【训练 2】 (1)(2017 北京卷 )在平面直角坐标系xOy 中，角 与角 均以 Ox 为 始边，它们的终边关于y 轴对称 .若 sin 1 3，则 sin _. (2)求值： sin(1 200)cos 1 290cos(1 020) sin(1 050)_. 解析(1)与 的终边关于 y 轴对称，则 2k，kZ， 2k，kZ，sin sin( 2k)sin 1 3. (2)原式 sin 1 200cos 1 290 cos 1 020sin 1 050 sin(3360 120 )cos(3360 210 ) cos(2360 300)sin(2
10、360 330) sin 120cos 210cos 300 sin 330 sin(180 60)cos(180 30)cos(360 60) sin(360 30) sin 60cos 30cos 60 sin 30 3 2 3 2 1 2 1 21. 答案(1)1 3 (2)1 考点三诱导公式、同角三角函数基本关系式的活用 【例3】(1)(2018 广州模拟 )已知cos 5 12 1 3 ，且 0，所以 2 5 12 12， 所以 sin 5 12 1cos 2 5 12 1 1 3 2 2 2 3 . (2) 5 6 6 ， tan 5 6 tan 6 tan 6 3 3 . 答案(
11、1)D(2) 3 3 规律方法1.常见的互余的角： 3 与 6 ； 3 与 6 ； 4 与 4 等. 2. 常见的互补的角： 3 与2 3 ； 4 与3 4 等. 【训练 3】 (1)已知 sin cos 2，(0，)，则 tan () A.1 B. 2 2 C. 2 2 D.1 (2)(2016 全国卷)已知 是第四象限角，且sin 4 3 5，则 tan 4 _. 解析(1)由 sin cos 2， sin 2cos21， 得 2cos 22 2cos 10，即 ()2cos 1 2 0， cos 2 2 . 又 (0，)，3 4 ，tan tan 3 4 1. (2)由题意，得 cos
12、4 4 5，tan 4 3 4. tan 4 tan 4 2 1 tan 4 4 3. 答案(1)A(2)4 3 基础巩固题组 (建议用时： 30 分钟) 一、选择题 1.sin 600的值为 () A.1 2 B. 3 2 C.1 2 D. 3 2 解析sin 600sin(360240)sin 240 sin(18060)sin 60 3 2 . 答案B 2.(2018 武汉模拟 )已知 是第四象限角， sin 12 13，则 tan ( ) A. 5 13 B. 5 13 C.12 5 D.12 5 解析因为 是第四象限角， sin 12 13， 所以 cos 1sin2 5 13，故
13、tan sin cos 12 5 . 答案C 3.(2018 九江一模 )已知 tan 3，则 cos 3 2 2() A.4 5 B. 3 5 C.3 5 D.4 5 解析tan 3， cos 3 2 2sin 2 2sin cos sin 2cos2 2tan tan 21 6 91 3 5. 答案C 4. 12sin（2）cos（2）() A.sin 2cos 2 B.sin 2cos 2 C.(sin 2cos 2) D.cos 2sin 2 解析12sin（ 2）cos（ 2）12sin 2cos 2 （sin 2cos 2）2|sin 2cos 2| sin 2cos 2. 答案A
14、 5.(2018 兰 州 质 检 ) 向 量a 1 3，tan ， b (cos ， 1)， 且 ab， 则 cos 2 () A.1 3 B.1 3 C. 2 3 D.2 2 3 解析a 1 3，tan ，b(cos ，1)，且 ab， 1 31tan cos 0，sin 1 3， cos 2 sin 1 3. 答案A 6.(2018 郴州二模 )已知 sin 3 12 13，则 cos 6 () A. 5 13 B.12 13 C. 5 13 D.12 13 解析因为 sin 3 12 13，所以 cos 6 sin 2 6 sin 3 12 13. 答案B 7.已知 sin 5 5 ，则
15、 sin 4cos4的值为 ( ) A.1 5 B. 3 5 C.1 5 D.3 5 解析sin4cos 4sin2cos22sin213 5. 答案B 8.(2018 咸阳月考 )已知函数 f(x)asin(x )bcos(x )，且 f(4)3，则 f(2 018)的值为 () A.1 B.1 C.3 D.3 解析f(4)asin(4 )bcos(4 ) asin bcos 3， f(2 018)asin(2 018)bcos(2 018 ) asin bcos 3. 答案C 二、填空题 9.(2018 石家庄质检)若 sin( ) 1 3 ，且 2 ，则sin 2的值为 _. 解析由 s
16、in( ) 1 3，得 sin 1 3， 又 2 ，所以 cos 2 2 3 ， 则 sin 22sin cos 4 2 9 . 答案 4 2 9 10.化简： sin 2（ ） cos（ ） cos（ 2） tan（）sin 3 2 sin（ 2） _. 解析原式 sin 2（ cos ） cos tan cos 3（sin ） sin 2cos2 sin 2cos21. 答案1 11.已知 sin 3 1 2，则 cos 6 _. 解析 3 6 2 ， cos 6 cos 2 3 sin 3 1 2. 答案 1 2 12.(2018 孝感质检 )已知 tan 3，则 12sin cos s
17、in 2cos2的值是 _. 解析原式 sin 2cos22sin cos sin 2cos2 （sin cos ） 2 （sin cos ）（sin cos ） sin cos sin cos tan 1 tan 1 31 31 2. 答案2 能力提升题组 (建议用时： 15 分钟) 13.已知 sin( )3cos(2 )，| 2 ，则 等于() A. 6 B. 3 C. 6 D. 3 解析sin( )3cos(2 )， sin 3cos ， tan 3， | | 2 ， 3 . 答案D 14.若 sin ，cos 是方程 4x 22mxm0 的两根，则 m 的值为 ( ) A.15 B.
18、15 C.15 D.15 解析由题意知 sin cos m 2 ，sin cos m 4 . 又() sin cos 2 12sin cos ， m 2 4 1m 2 ，解得 m1 5. 又 4m216m0，m0 或 m4，m15. 答案B 15.sin 21sin22 sin290_. 解析sin21 sin22 sin290 sin21 sin22 sin244 sin 245 cos244 cos243 cos21 sin290 (sin21 cos21) (sin 22 cos22)(sin244 cos244)sin245 sin290441 21 91 2 . 答案 91 2 16.设函数f(x)(xR)满足 f(x)f(x)sin x，当 0x时， f(x)0，则 f 23 6 _. 解析由 f(x)f(x)sin x，得 f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin x sin xf(x)， 所以 f 23 6 f 11 6 2 f 11 6 f 5 6 f 5 6 sin 5 6. 因为当 0x时， f(x)0. 所以 f 23 6 01 2 1 2. 答案 1 2