整式的概念.pdf

《整式的概念.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《整式的概念.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1 整式的概念 教学目标 1、在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感， 逐步由算术思维 向代数思维转化。 2、了解整式产生的背景和整式的概念，能求出整式的次数、单项式的系数、多项 式的项的系数和次数。 教学重点及相应策略重点： 1、经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感。 2、单项式的概念，单项式的系数和次数。多项式的概念和多项式的次数和项数。 相应策略： 采取对比、类比的方法。 教学难点及相应策略重点 : 探索用代数式来表示规律的过程 相应策略： 联系生活，从特殊到一般 教学方法建议采用对比法，以训练为主，注重尝试指导 选材程度及数量 课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业 A

2、类（5）道（8）道（10）道 B 类（4）道（6）道（10）道 C 类（3）道（4）道（8）道 概念总汇 1、代数式的有关概念 （1）代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字 母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。 说明： 代数式书写时需注意： （ 1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在 字母前面，如 1 2 ab；数字因数是1 或 1 时， “1”省略不写，如mn； （2）带分数与字母 2 相乘时要化成假分数，如：ab 2 1 1要写成ab 2 3 的形式； （ 3）除号要改写成分数线，如：a b 要写成 b a ； （

3、 4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（ 1 2 ab 2 R）平方米。 （2）代数式的系数：在代数式中，每一项字母前的数字因数叫做这一项的系数。 说明： 当系数是1 或 1 时， 1 省略不写，如ab， 2 a等。 2、整式的有关概念 （1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式 说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算 关系如 x y2 就不是一个单项式，因为2y 与 x 之间是除法运算但是， 2 1 ab2是单项式， 因为 2 1 是一个数 a 2 是一个单项式，因为a2可以看作是aa特别地，单独的一个数或单 独的一个字母也都是单项式

4、，如3，0， 3 5 ，x， 2 x 等都是单项式 （2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 说明： 单项式的次数， 是指这个单项式中将所有字母指数相加得到的和如单项式3x2、 2xy、 3 1 x 2y、 2 1 x 的次数分别是2、2、3、 1特别地，单独的一个数字，如3，等，可以当 做 0 次单项式来看待 （3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数 说明： 在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关如x3yz4的系数是1，次 数为 3 148 （4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式 说明： 多项式是由几个单项式相加得到的，如多项式x2

5、2x1 是由单项式x 2，2x 和 1 相 加而得到的 （5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数 说明： 在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，然后再确定多项式的次 数，即取次数最大的项的次数作为该多项式的次数如，多项式x3x2y2x 中，单项式x3 的次数是3，单项式 x2y2的次数是 4，单项式 x 的次数是 1，所以多项式 x3x2y2 x的次数是 4 （6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项每一个单项式就是一项。 说明： 多项式的项，包括符号如多项式53x2中，二次项是3x2 3 （7）常数项的定义：在多项式中，不含有字母的项

6、叫做多项式的常数项。 （8）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多 项式按这个字母降幂排列 （9）升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多 项式按这个字母升幂排列 说明： 把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个 字母的指数， 而后按照加法交换律交换项的位置对于不同的字母， 排列后的顺序往往不同， 切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置如： x 3 2x4y7xy3y472x4yx37xy3y47 7 y47xy3x32x4y y 47xy32x4 yx 37 7 x32x4y7xy3

7、y4 其中，是按x 的降幂排列；是按x 的升幂排列；是按y 的降幂排列；是按y 的 升幂排列 （10）整式的定义：单项式和多项式统称整式 说明： 知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代 数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一如单项式3x2，x 等都 是整式，多项式3x， x3x1 等都是整式；在整式2x，x41 中， 2x 是单项式， x41 是多项式 方法引导 1. 对单项式、多项式、整式进行判断 例 1判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式 难度等级： A ( 1) 3xy 2； ( 2) 2x 31； ( 3)

8、2 1 ( xy1) ；( 4) a 2； ( 5) 0； ( 6) y x2 ；( 7) 3 2xy ；( 8) x2 1 ；( 9) x2 x 1 1 ； 4 ( 10) 1 1 x ； 【知识体验】 只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多 项式，单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为 加法）的运算，这样的代数式就是整式。没有出现2 x 即 x 2 ,或 x2 即 2 x 这样的式子，那 么 2 x , x 2 是整式吗？ 2 x 可以写成 2 1 x, 所以 2 x 是单项式， 而 2 x 是数字与字母的商，所以不是 单项式，

9、更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。所以( 6) y x2 ；( 8) x2 1 ； ( 9) x2 x 1 1；( 10) 1 1 x ；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。 【易错提示】 ( 6) y x2 和( 7) 3 2xy 这两个代数式常会误以为都是单项式，（ 7）可以看 成xy 3 2 ，所以是单项式，而（6）是 2xy，所以不是单项式也不是整式。( 3) 2 1 ( xy 1) ；会误以为是单项式，其实 2 1 ( xy1) 2 1 x+ 2 1 y+ 2 1 ，所以是三个单项式的和，是 一个多项式。 2、说出单项式、多项式的次数和项 例 2指出下列各单项式的

10、系数与次数： 难度等级： A （1）; 8 3 2 ab （2）- mn3; （3） 3 4 32 yx （4） 3； 【知识体验】单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1 或 1 时， “1”省 略不写，如 - nm3中，系数是 1，则把“ 1”省略不写；圆周率只是一个常数符号，不能把 它作为字母，如： 3 4 32 yx 的系数是 3 4 ，次数是5。另外，像3， 2 1 ，0 等这样的常数， 是零次单项式 【易错提示】 - nm3的系数是 - 1； 3 4 32 yx 的系数是 3 4 ，次数是 5，如写成系数是 4 3 ， 次数是 6 就不对了 . 5 例 3、填空： 难度等级

11、： A （1）多项式2x4- 3x5- 2 4 是次项式，最高次项的系数是 ，四次项的系数是，常数项是，补足缺项后按字母x 升幂排列得 ； （2）多项式a3- 3ab 2+3a2b- b3 是次项式，它的各项的次数都是 ，按字母b 降幂排列得 . 【应用体验】 2 4 是常数项，不是4 次项。 确定多项式项时不要漏掉前面的符号，移 动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动，这些都是容易犯错误的地方，要 引起高度重视。另外，第（2）小题所给多项式各项次数都等于3，一般称这样的三次多项 式为三次齐次式. 【解题技巧】多项式应看作是省略括号的和的形式因此，当确定多项式的项时，应包 括符号另

12、外，圆周率是一个常数回答多项式是几次几项式时，数字要大写. 如五次三 项式，不能写成5 次 3 项式 . ；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用 零表示补入式中. ，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动.，对含有两 个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母 指数大小排列。 例题讲解 （一）题型分类全析 1、与代数式有关的题型 例 1. 用代数式表示： 难度等级： A （1）把温度是t的水加热到100，水温升高了_。 （2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为_。 （3）用字母表示两个连续奇数为_。

13、难度等级： B （4）若正方体的棱长是a 1，则正方体的表面积为_。 难度等级： C 6 （5）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定），请你帮 他计算可以射进阳光的面积为_米 2。 【思维直现】 （1）温度差别就是末了温度初始温度；（2）一个两位数的表示方法： 十位数字 10各位数字；（ 3）连续奇数之间相差2； （4）正方体的表面积棱长棱长 6； （ 5）射进阳光的面积长方形面积阴影部分的面积。 【阅读笔记】用代数式表示，要仔细读题，找到题目中的等量关系，将需要表示的量 表达出来，书写代数式时要注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要 写在字母前面

14、，如10b a；数字因数是1 或 1 时， “1”省略不写，如（100t） ； （2）带 分数与字母相乘时要化成假分数，如：ab 2 1 1要写成ab 2 3 的形式；（ 3）除号要改写成分数 线，如： ab 要写成 b a ； （4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（ 1 2 ab 2 R）平 方米。 【题评解说】 列代数式是学习整式的基础，有代数式才能研究整式，而列代数式用到的 知识很多，比如面积公式、温差等生活知识，对学生能力要求较高，难度视题目而定，可能 很简单也可能比较难。列代数式是后续学习列方程解决实际问题的基础，所以要掌握好。 【建议】对列代数所用到的知识要努力回忆和复习，要

15、多练才能熟练。 【搭配练习】 1. 长方形的长为a 厘米，宽为b 厘米，该长方形的周长为_厘米，面积为 _平方厘米。 2. 一桶汽油倒出30% 还剩 a 千克，则这桶汽油原有_千克。 3. 如果用 C 表示摄氏温度，f 表示华氏温度，研究表明华氏温度比摄氏温度的 9 5 还多 32，则f_。 4 商场中某牌子的电视机有A，B，C 三种型号， 售价分别为3000 元，3500 元，4000 元，三月份商场出售的这三种型号的电视机数量分别是：A 型的 a 台， B 型的 b 台， C 型的 c 台，则该商场三月份这三种电视的销售额是元. 7 5、小红和小兰房间窗户的装饰物如图13 所示，它们分别由

16、两个四分之一圆和四个半 圆组成（半径分别相同）. 图 13 （1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计） （2）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？ 例 2. 用语言叙述下列代数式的实际意义。 难度等级： B （ ）；（）；（ ）；（ ）1323120%)4 9 222 2 aabxa a ( 【思维直现】 列代数式要有一定的问题背景，用语言叙述下列代数式，就是要再现列出 代数式的问题背景，问题背景可能设计的不同，只要能解释即可。 【阅读笔记】要解释代数式，就要熟悉代数所能表示的问题背景，如 2 a可表示边长为 a 的正方形的面积， 2 a可表示半径为a

17、 的圆的面积等。 这样才能写出合理的代数式的意义。 【题评解说】 用语言叙述下列代数式是列代数式的逆向，要根据代数式写出问题的背景， 可以写出不同的问题背景，只要合理即可。 【建议】要仔细体会本题的解答，理解这类问题的解题思路。 【搭配练习】 用语言叙述下列代数式的实际意义。 ( 1) ab（2） 2 ba (3)4c 2、单项式、多项式的概念有关的题型 例 3 一个五次多项式，它的任何一项的次数都 8 A小于 5B等于 5C不小于5D不大于5 难度等级： B 【思维直现】由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此五次多项式 中，次数最高的项是五次的，其余的项的次数可以是五次的，也

18、可以是小于五次的，却不能 是大于五次的因此，五次多项式中的任何一项都是不大于5 次的 【阅读笔记】 多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，如果直接问是几次多项式， 要先求出每一项的次数，找出最高次作为多项式的次数，而本题是告诉是五次多项式，想象 一下多项式中每一项的次数情况，这里有一个逆向思维的问题。 【题评解说】 本题是一个关于多项式次数问题，但不是给多项式问是几次多项式，而是 给多项式的次数是五次，想象一下每一项的次数情况，因为没有见到具体的每一项，所以有 一定的难度。 【搭配练习】 1、组成多项式1x 2xyy2xy3 的单项式分别是_ _ 2、如果一个多项式是五次多项式，那么（）

19、A这个多项式最多有六项； B这个多项式只能有一项的次数是六； C这个多项式一定是五次六项式； D这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五. 3、请你写出一个四次项系数为- 1的四次多项式，并指出其余各项的次数和系数 例 4 说出下列各多项式分别是几次几项式 难度等级： A ( 1) 3x2 3； ( 2) a 2b2a3b4； ( 3) 2 82 2 xx ； ( 4)( a3b31) 3 5 ；( 5) x6x53x212x a；( 6) 2( xy 3 1 x 3y4) 【思维直现】需要找出多项式的每一项，算出每一项的次数，然后回答是几次几项式。 【阅读笔记】当所给的多项式不能直观地辨

20、别其次数和项数时，就需要对其整理变形， 使其成为标准形式的多项式如第( 3) 、( 4)、( 6) 小题，变形后便容易多了另外，常数项 中的指数，不能做为多项式的次数如第( 1) 、( 6) 小题中 23、 4，不影响多项式的次数 9 【题评解说】 判断多项式是几次几项式的问题，是理解多项式概念中的常规题，具体在 解答时会遇到具体困难，如多项式给出不规范要先变形，有常数项中有指数的干扰，这增加 了本题的难度。 【建议】要概念清晰，排除干扰。 【搭配练习】 1、在x 2， 2 1 ( xy) ， 1 x ， 1 ， 3， 100 3 x 中，单项式是_，多项式是 _，整式是 _ 2、多项式xy1

21、 是_次_项式 3、多项式5x 3xy21y 按字母 y 的降幂排列是 _ 4、下列说法正确的是（）. A 2 1 不是单项式；B a b 是单项式；Cx 的系数是0；D 2 23yx 是整 式. （二）思维重点突破 例 5 若 3axy m 是关于 x、y 的单项式，且系数为6，次数为3，则 a_，m _ 难度等级： B 【思维直现】“关于 x、y 的单项式”说明只有x、y 才是单项式中的字母，a 只是系数的 一部分，所以3a 是系数，也就是6，即 3a 6，解得： a2而单项式的次数是x、 y 的指数和：（1m） ，也就是 3因此 1m3 得 m2 【阅读笔记】 单项式是数与字母的积，数字

22、因数是单项式的系数，所有字母的指数和是 单项式的次数。在本题中x、y 才是单项式中的字母，a 只是系数的一部分，这两点一定要 理解到位。 【题评解说】本题是已知单项式的系数和次数，求参数的值。这样的参数问题，不理解 题意的人不知道该如何下手，其实只要搞清说代表单项式的系数，谁代表单项式的次数，就 可列出方程解决，虽然学生还没有学习解一元一次方程，但简单的一元一次方程，学生在小 学是见过并会解的。 【建议】正确理解多项式的系数和次数，不要受字母参数的影响。 【搭配练习】 10 1、单项式 7 5 32 cab 的系数是 _，次数是 _ 2、系数是 3，且只含有字母x 和 y 的四次单项式共有_个

23、，分别是 _ 3如果单项式3a 2 b 43m 的次数与单项式 3 1 x 3 y 2 z 2 的次数相同，试求m 的值。 例 6当 x 为何值时，下列多项式可化简为关于y 的一次单项式 难度等级： C ( 1) 3 2 x5y 5；( 2) 2 43yx 6 【思维直现】 把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项 保留外，其余各项的和等于0如 ( 1) 中，要使多项式 3 2 x5y5 化简为关于y 的一次单项 式，只保留 5y 这一项， 其余各项的和为0， 即使 3 2 x50 的 x 的值即为所要求的x 的值 【阅读笔记】 理解题意很重要，本题把一个多项式转化为关

24、于某一字母的单项式，就是 指除符合题目要求的项保留外，其余各项的和等于0这是解此题的关键。 【题评解说】 本题理解题意后就是一个整理代数式，所以理解把一个多项式转化为关于 某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项保留外，其余各项的和等于0，这是本题的 关键。 【建议】 要多项式可化简为关于y 的一次单项式， 就要能够将含y 的项从多项式中分离 出来，其它部分的和是0 即可。 【搭配练习】 当 a_时，整式x2a1 是单项式 例 7观察下列式子： 326241； 4312252； 5420263； 6530274 请你将猜想得到的式子用含正整数n 的式子表示来 _ 。 难度等级： C 11 【

25、思维直现】式子的左边，乘法算式的数字之间有什么样的关系，当一个数字是n 时， 它们之间的关系是否依旧不变，式子的右边与n 之间又是什么关系，观察变与不变 【阅读笔记】 从特殊到一般， 要先理解有数字的式子变化规律，从 1、2、3、4到 n， 它们之间的规律应该是一样的 【题评解说】本题主要是考察学生的逻辑推理能力，所以要求先观察，后思考，从实例 中得出规律，得出结论 【搭配练习】 1、用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案： （ 1）第 4 个图案中有白色地面砖块； （ 2）第n个图案中有白色地面砖块。 2、下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个

26、顶点）上 都有)2(nn个棋子，每个图案棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与n之间的关系 可以用式子来表示。 课后作业 A 类作业： 1、填空题： 第三个 第一个 第二个 4 2 s n 8 3 s n 12 4 s n 16 5 s n 12 （1）某种足球a元，则涨价20%后是元； （2）m箱橘子重xkg，每箱重kg； （3）购买单价为a元的笔记本8 本，共需人民币元； （4）小明的体重是akg，小红比小明重b kg，则小红的体重是kg； （5） 练习本每本定价0.6 元， 铅笔每支定价0.2 元， 买 a 本练习本，b 支铅笔共需 _ 元； （6）三个连续偶数中间的一个为2n，则这三

27、个数的和表示为_。 2、选择题： （1）在一次数学测验中，30 名男生平均得分为a,20 名女生平均得分为b，这个班所有 同学的平均得分是（） 。 2 ab 3020 2 ab 3020 50 ab 50 ab （2）一种小麦磨成面粉后重量减轻15%，要得到 m 千克面粉，需要小麦（）千克。 （1+15%）m (1-15%)m15%m15%m 3、设某数为x，用x表示下列各式： （1）某数与 1 2 的差；（2）某数的 1 2 与 1 3 的和； （3）某数与1的差的平方；（4）某数与2的和的倒数 4、观察下列各组数，用含n的代数式来表示第n个数。 （1）1，2，3，4，； （2）2，4，6，

28、8，； （3）1，3，5，7，； （4）3，7，11，15，。 B 类作业： 一、填空题： 1、如果 n 表示一个自然数，则它的下一个自然数是. 2、小颖今年n 岁，去年小颖岁， 6 年后小颖岁 . 3、正方体的棱长为a，表面积S= ，体积 V= . 二、选择题： 4、a、b 两数的平方和可表示为（） 13 A、(a+b) 2 B、a+b 2 C、 a 2+b D、a 2+b2 5、有三个连续偶数，最大一个是2n+2，则最小一个可以表示为（） A、2n2B、2nC、2n+1D、2n1 6、每 100 千克小麦可出x 千克面粉， y 千克小麦可出面粉的千克数为（） A、 x y100 B、 y

29、x100 C、 xy 100 D、 100 xy 7、一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，则这个两位数是（） A、abB、a+bC、 10a+bD、10b+a 8、设 m 是用字母表示的有理数，则下面各数中必大于零的是（） A、2mB、m+2C、 mD、m 2+2 三、解答题： 9、说出两个可以用6a 2 表示结果的实际问题. 10、用字母表示图中阴影部分的面积. C 类作业： 1、有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为m 千克， 再从中截取5 米长的钢筋，称出它的质量为n 千克，那么这捆钢筋的总长度为（）米 A、 m n B、 mn 5 C、 5m 5 D、(

30、5m n 5) 2、下列各式不是代数式的是（） A 0B4x 23x+1 Cab= b+aD、 2 y 14 3、两个数的和是25，其中一个数用字母x 表示，那么x 与另一个数之积用代数式表示 为 A x（x25）Bx（x25）C 25xDx（25x） 4、 2x 3y 的系数是 _， 2 axy 3 的系数是 _； a 2 b的系数是 _，R 2 的系数 是_ 5、观察下列算式：2 1=2，22=4, 23=8, 24=16,25=32, 26=64, 27=128, 28=256，那么 227 的 未位数字是 _. 6、研究下列各式，你发现什么规律？ 将你找到的规律用含n 的等式表示出来_ 7、观察下列数表： 根据数表所反映的规律，猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数应为_，第 n 行与 第 n 列交叉点上的数应为_（用含有n 的代数式表示，n 为正整数） 8、观察下列各等式： （1） 以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的一等于这两个实数的_； 如果等号左边的第一个实数用x 表示， 第二个实数用y 表示，那么这些等式的共同特征可用 含 x，y 的等式表示为 _. （2）将以上等式变形，用含y 的代数式表示x 为_； （3） 请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式： _