《2019年全国版高考数学必刷题：第二十一单元 推理证明、算法初步、复数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年全国版高考数学必刷题：第二十一单元 推理证明、算法初步、复数.docx（67页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二十一单元推理证明、算法初步、复数考点一算法初步1.(2017年全国卷)如图所示的程序框图是为了求出满足3n-2n1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入().A.A1000和n=n+1B.A1000和n=n+2C.A1000和n=n+1D.A1000和n=n+2【解析】因为题目要求的是“满足3n-2n1000的最小偶数n”,所以n的叠加值为2,所以内填入“n=n+2”.由程序框图知,当内的条件不满足时,输出n,所以内填入“A1000”.故选D.【答案】D2.(2017年全国卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=-1,那么输出的S=().A.2B.3C.4D.5【解析】当
2、K=1时,S=0+(-1)1=-1,a=1,执行K=K+1后,K=2;当K=2时,S=-1+12=1,a=-1,执行K=K+1后,K=3;当K=3时,S=1+(-1)3=-2,a=1,执行K=K+1后,K=4;当K=4时,S=-2+14=2,a=-1,执行K=K+1后,K=5;当K=5时,S=2+(-1)5=-3,a=1,执行K=K+1后,K=6;当K=6时,S=-3+16=3,执行K=K+1后,K=76,输出S=3.结束循环.故选B.【答案】B3.(2017年全国卷)执行如图所示的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为().A.5B.4C.3D.2【解析】假设N=2,程
3、序执行过程如下:t=1,M=100,S=0,12,S=0+100=100,M=-10010=-10,t=2;22,S=100-10=90,M=-1010=1,t=3;32,输出S=9091,符合题意.N=2成立,显然2是最小值.故选D.【答案】D4.(2016年全国卷)执行如图所示的程序框图,若输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足().A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x【解析】输入x=0,y=1,n=1,运行第一次,x=0,y=1,不满足x2+y236;运行第二次,x=12,y=2,不满足x2+y236;运行第三次,x=32,y=6,满足x2+y236.输出x=32
4、,y=6.由于点32,6在直线y=4x上,故选C.【答案】C5.(2016年全国卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图所示的是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=().A.7B.12C.17D.34【解析】因为输入的x=2,n=2,所以当k=3时循环结束,输出s.根据程序框图可得循环体中a,s,k的值依次为2,2,1(第一次循环);2,6,2(第二次循环);5,17,3(第三次循环).所以输出的s=17.【答案】C考点二复数6.(2017年全国卷)3+i1+i=().A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【解析】3+i
5、1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=3-3i+i+12=2-i.故选D.【答案】D7.(2017年全国卷)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=().A.12B.22C.2D.2【解析】由(1+i)z=2i,得z=2i1+i=1+i,|z|=2.故选C.【答案】C8.(2016年全国卷)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=().A.1B.2C.3D.2【解析】(1+i)x=1+yi,x+xi=1+yi.又x,yR,x=1,y=x=1.|x+yi|=|1+i|=2.故选B.【答案】B考点三推理证明9.(2017年全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师
6、询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则().A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【解析】由甲说:“我还是不知道我的成绩”可知甲看到乙、丙的成绩为“一个优秀、一个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,当丙为“优秀”时,乙为“良好”;当丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,当甲为“优秀”时,丁为“良好”;当甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的
7、成绩.故选D.【答案】D10.(2016年全国卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.【解析】因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.【答案】1和311.(2014年全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B
8、,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市.乙说:我没去过C城市.丙说:我们三个去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.【解析】由丙说可知,乙至少去过A,B,C三个城市中的一个.由甲说可知,甲去过A,C城市且比乙去过的城市多,故乙只去过一个城市.又乙没去过C城市,故乙只去过A城市.【答案】A12.(2017年浙江卷)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*).证明:当nN*时,(1)0xn+10.当n=1时,x1=10.假设n=k时,xk0,那么n=k+1时,若xk+10,则00.因此xn0(nN*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn
9、+1.因此0xn+10(x0),则函数f(x)在0,+)上单调递增,所以f(x)f(0)=0,因此xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)0,故2xn+1-xnxnxn+12(nN*).(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn12n-1.由xnxn+122xn+1-xn,得1xn+1-1221xn-120,所以1xn-1221xn-1-122n-11x1-12=2n-2,故xn12n-2.综上,12n-1xn12n-2(nN*).高频考点:利用循环结构表示分段函数,求分段函数的值域,程序框图的完善,合情推理与演绎
10、推理,直接证明与间接证明,数学归纳法,复数的概念,复数的几何意义,复数的四则运算,等等. 命题特点:1.从近几年的高考试题看,综合法、分析法及反证法是高考常考内容,主要与数列、函数、不等式、立体几何、解析几何等知识交汇命题,在证明过程中应注意步骤的规范化.2.由近三年的高考命题形式可以看出,算法初步主要掌握算法概念和程序框图,理解算法的基本结构、基本算法语句,理解古代算法案例,体会蕴含的算法思想,增强有条理的思考与表达能力,提高逻辑思维能力,等等.而高考命题主要集中在算法的三种基本逻辑结构的框图表示,程序框图与其他知识结合是新的热点.3.从近几年高考命题看,复数往往有一道选择题或填空题,属于容
11、易题.主要考查的方向有两个,一是复数的概念及运算,如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算;二是复数的几何意义及其应用,如复数对应的点的位置(坐标)、复数与方程的综合问题等.21.1合情推理与演绎推理一合情推理类型定义特点归纳推理由某类事物的对象具有某些特征,推出该类事物的对象都具有这些特征的推理由部分到、由到一般类比推理由两类对象具有某些和其中一类对象的某些已知,推出另一类对象也具有这些的推理由特殊到合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、,然后提出的推理二演绎推理1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论
12、,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:(1)大前提已知的;(2)小前提所研究的;(3)结论根据,对特殊情况做出的判断. 左学右考1 已知数列an中,a1=1,当n2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是().A.an=3n-1B.an=4n-3C.an=n2D.an=3n-12 根据图中的数构成的规律,得a表示的数是().A.12B.48C.60D.144 知识清单一、部分全部整体个别类似特征特征特征特殊类比猜想二、1.特殊2.(1)一般原理(2)特殊情况(3)一般原理基础训练1.【解析】
13、由a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.【答案】C2.【解析】由图中的数据可知,每行除首末两个数外,其他数等于其上一行两肩上的数的乘积.所以a=1212=144.【答案】D题型一归纳推理【例1】如图所示的是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上至下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为21+23=10依此类推,则第99个等式为().20+21=320+22=521+22=620+23=921+23=1022+23=1220+24=1721+24=1822+24
14、=2023+24=24A.27+213=8320B.27+214=16512C.28+214=16640D.28+213=8448【解析】依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);.又因为99=(1+2+3+13)+8,所以第99个等式应位于第14行的从左至右的第8个位置,即为27+214=16512,故选B.【答案】B归纳推理是依据特殊现象推出一般现象,因而在进行归纳推理时,首先观察题目给出的特殊数
15、(式)的变化规律(如本例中,要观察各行出现的等式个数的变化规律),然后用这种规律试一试这些特殊的数(式)是否符合观察得到的规律,若不符合,则应继续寻找规律;若符合,则可运用此规律推出一般结论.【变式训练1】有一个奇数组成的数阵排列如下:1371321591523111725192729则第30行从左到右第3个数是.【解析】先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每行的第1个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+60=929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个
16、数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.【答案】1051题型二类比推理【例2】给出下列三个类比结论:(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;loga(xy)=logax+logay与sin(+)类比,则有sin(+)=sin sin ;(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2ab+b2.其中正确结论的个数是().A.0B.1C.2D.3【解析】(a+b)nan+bn(n1,ab0),故错误.sin(+)=sin sin 不恒成立,如=30,=60,sin 90=1,sin 30sin 60=34,故
17、错误.由向量的运算公式知正确.【答案】B在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,比如,三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面对应空间,等差数列对应等比数列,等等;(2)找对应元素的对应关系,比如,两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等,加对应乘,乘对应乘方,减对应除,除对应开方,等等.【变式训练2】若数列an是等差数列,则数列bnbn=a1+a2+ann也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列cn是等比数列,则dn也是等比数列,且dn的表达式应为().A.dn=c1+c2+cnnB.dn=c1c2
18、cnnC.dn=nc1n+c2n+cnnnD.dn=nc1c2cn【解析】(法一)由题意可知,商类比开方,和类比积,算术平均数类比几何平均数,故dn的表达式为dn=nc1c2cn.(法二)若an是等差数列,则a1+a2+an=na1+n(n-1)2d,bn=a1+(n-1)2d=d2n+a1-d2,即bn是等差数列.若cn是等比数列,则c1c2cn=c1nq1+2+(n-1)=c1nqn(n-1)2,dn=nc1c2cn=c1qn-12,即dn是等比数列.【答案】D题型三演绎推理【例3】已知函数f(x)=-aax+a(a0,且a1).(1)证明:函数f(x)的图象关于点12,-12对称.(2)
19、求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R.任取函数f(x)图象上一点(x,f(x),它关于点12,-12对称的点的坐标为(1-x,-1-f(x).由已知f(x)=-aax+a,则-1-f(x)=-1+aax+a=-axax+a.又因为f(1-x)=-aa1-x+a=-aaax+a=-aaxa+aax=-axax+a,所以-1-f(x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于点12,-12对称.(2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.故f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1
20、,f(0)+f(1)=-1.因此f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.证明本题的大前提是中心对称的定义,函数f(x)的图象上的任一点关于对称中心对称的点仍在图象上.小前提是f(x)=-aax+a(a0,且a1)图象上的点关于点12,-12对称的点仍在f(x)的图象上.演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,一般来说,当大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.【变式训练3】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,BFD=A,且DEBA.求证:ED=AF.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并把最终的推理过程用简略的形式表
21、示出来)【解析】同位角相等,两条直线平行,(大前提)BFD与A是同位角,且BFD=A,(小前提)所以DFEA.(结论)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DEBA,且DFEA,(小前提)所以四边形AFDE是平行四边形.(结论)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以ED=AF.(结论)上面的推理过程可简略地写成:BFD=ADFEA,DEBA四边形AFDE是平行四边形ED=AF.方法一归纳推理的一般步骤1.观察:通过观察个别事物发现某些相同特征.2.概括、归纳:从已知的相同特征中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题.3.猜测一般性结论.【突破训练1
22、】观察下列各等式:sin260+cos290+sin 60cos 90=34,sin230+cos260+sin 30cos 60=34,sin215+cos245+sin 15cos 45=34.分析上述各等式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性做出判断,并证明.【解析】猜想:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=34.上式正确.证明:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=1-cos22+1+cos(2+60)2+sin(2+30)-sin302=1+cos(2+60)-cos22+12sin(2+30)-14=34-12sin(30+2
23、)+12sin(2+30)=34.所以sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=34成立.方法二类比推理的一般步骤1.找出两类事物之间的相似性或一致性.2.用一类事物的某些已知特征、性质去推测另一类事物也具有类似的特征、性质,得出一个明确的命题(或猜想).3.检验这个猜想.一般情况下,如果类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.类比得出的结论既可能为真,也可能为假.类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.【突破训练2】已知ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用SABC表示ABC的面积,则SABC=1
24、2r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积VA-BCD=.【解析】内切圆半径r内切球半径R;三角形的周长:a+b+c三棱锥的表面积:SABC+SACD+SBCD+SABD;三角形面积公式的系数12三棱锥体积公式的系数13.三棱锥的体积VA-BCD=13R(SABC+SACD+SBCD+SABD).【答案】13R(SABC+SACD+SBCD+SABD)方法三演绎推理的规律方法1.分析演绎推理的构成时,要正确区分大前提、小前提、结论,省略大前提的要补出来.2.判断演绎推理是否正确的方法:(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才
25、是演绎推理,这是最易出错的地方.(2)看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等,注意其中有无前提条件.(3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提的范围之内.(4)看推理过程是否正确,即看由大前提、小前提得到的结论是否正确.【突破训练3】证明:f(x)=1x2在(0,+)上为减函数.【解析】f(x)=1x2=-2x3,x(0,+),f(x)0,f(x)在(0,+)上是减函数.1.(2017西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),则第60个“整数对”是().A
26、.(7,5) B.(5,7) C.(2,10)D.(10,1)【解析】依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n+1,且第n组共有n个“整数对”,这样的前n组一共有n(n+1)2个“整数对”,注意到10(10+1)260x1,有-a(x2-x1)f(x2)-f(x1)a2,则f(x)-g(x)Ma1-a2【解析】由-a(x2-x1)f(x2)-f(x1)a(x2-x1),得-af(x2)-f(x1)x2-x1a.令k=f(x2)-f(x1)x2-x1,则-aka,又f(x)Ma1,g(x)Ma2,所以-a1kfa1,-a2kga2,所以-a1-a2kf+k
27、gb0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作F1PF2补角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,命题q:已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作F1PF2的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.【解析】对于椭圆,延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知,M为F2Q的中点,且|PF2|=|PQ|,从而OMF1Q且|OM|=12|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,所以|OM|=a.对于双曲线,过点F2作F1PF2内角平分线的垂线,垂足为点M,
28、类比可得OM=a.【答案】内角平分线13.(2017保定模拟)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=n+2nSn(nN*),证明:(1)数列Snn是等比数列;(2)Sn+1=4an.【解析】(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=n+2nSn,所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.所以Sn+1n+1=2Snn.又因为S11=10,(小前提)所以Snn是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知Sn+1n+1=4Sn-1n-1(n2),所以Sn+1=4(n+1)Sn-1n-1=4n-1+2
29、n-1Sn-1=4an(n2),(小前提)又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)所以对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论)14.(2017合肥模拟)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)图象上一点,且在点P处的切线方程的斜率可通过如下方式求得:y2=2px的两边同时对x求导,得2yy=2p,则y=py,所以在点P处的切线斜率k=py0.试用上述方法求出双曲线x2-y22=1在点P(2,2)处的切线方程.【解析】用类比的方法对y22=x2-1两边同时对x求导得,yy=2x,所以y=2xy,所以在点P处的切线斜率k=2x0y0=222=2,所以切线
30、方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.15.(2017惠州模拟)我们将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数y=f(x)(xD),对任意x,y,x+y2D均满足fx+y212f(x)+f(y),当且仅当x=y时等号成立.(1)若定义在(0,+)上的函数f(x)M,试比较f(3)+f(5)与2f(4)的大小.(2)设函数g(x)=-x2,求证:g(x)M.【解析】(1)已知fx+y212f(x)+f(y),令x=3,y=5,得f(3)+f(5)2f(4).(2)因为gx1+x22-12g(x1)+g(x2)=-(x1+x2)24+x12+x222=(x1-x2)240,所以gx1+x2
31、212g(x1)+g(x2),所以g(x)M.21.2直接证明、间接证明与数学归纳法一直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论的方法,是一种从推导到的思维方法从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法,是一种从出发到得出这一结果的的思维方法特点从“”看“”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的条件从“”看“”,逐步靠拢“”,其逐步推理,实际上是要寻找它的条件二间接证明反证法要证明某一结论Q是正确的,但不能直接证明,而是先(即Q的反面非Q是正确的),经过正确的推理,最后得出,因此说明非Q是的,从而断
32、定结论Q是的,这种证明方法叫作反证法.三数学归纳法一般来说,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立:(2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n=时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫作数学归纳法. 左学右考1 要证:a2+b2-1-a2b20,只需证().A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-a4+b420C.(a+b)22-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)02 用反证法证明“已知p3+q3=2,求证p+q2”时,可假设p+q2;用反证法证明“已知
33、a,bR,|a|+|b|2n+1,n的第一个取值应是().A.1B.2C.3D.4知识清单一、原因结果结果原因已知可知必要未知需知已知充分二、假设Q不成立矛盾错误正确三、(1)第一个值n0(n0N*)(2)k+1基础训练1.【解析】因为a2+b2-1-a2b20(a2-1)(b2-1)0,所以选D.【答案】D2.【解析】反证法的实质是否定结论,对于,其假设应是p+q2,所以不正确;对于,其假设正确.【答案】D3.【解析】当n=1时,21=2,21+1=3,2n2n+1不成立;当n=2时,22=4,22+1=5,2n2n+1不成立;当n=3时,23=8,23+1=7,2n2n+1成立.n的第一个取值应是3.【答案】C题型一直接证明【例1】已知实