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1、解答题满分练31.已知函数fab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函数yf(x)的单调减区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f1，a且向量m(3，sin B)与向量n(2，sin C)共线，求ABC的面积.解(1)f(x)2cos2xsin 2xcos 2xsin 2x12cos1，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函数yf(x)的单调减区间为(kZ).(2)f(A)1，2cos11，即cos1，2A2k(kZ)，Ak(kZ)，又0A，A，a，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量m(3，s
2、in B)与n(2，sin C)共线，2sin B3sin C，由正弦定理得2b3c，由得b3，c2，SABCbcsin A23.2.(2018常州市武进区期中)如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，且AB2，AD4，AP4，F是线段BC的中点.(1)求证：平面PAF平面PDF；(2)若E是线段AB的中点，在线段AP上是否存在一点G，使得EG平面PDF？若存在，求出线段AG的长度；若不存在，说明理由.(1)证明 PA平面ABCD, DF平面ABCD, PADF，又在底面ABCD中， AFDF2，AD4，AF2DF2AD2, AFDF，APAFA，AF平面PAF，A
3、P平面PAF， DF平面PAF，DF平面PDF，平面PAF平面PDF.(2)解方法一假设在线段AP上存在点G，使得EG平面PDF.延长AB交DF的延长线于点M，连结PM.F是线段BC的中点，底面ABCD是矩形，MBAB, EG平面PDM, EG平面PAM，平面PAM 平面PDMPM，EGPM，AEAM, AGAP1，故在线段AP上存在点G，使得EG平面PDF，此时AG1.方法二假设在线段AP上存在点G，使得EG平面PDF.取DF的中点I，连结EI，过点G作AD的平行线交PD于点H，连结GH，HI.E是线段AB的中点，EI是梯形ABFD的中位线，EI3，EIGH，EG平面PDF, EG平面GEI
4、H，平面GEIH 平面PDFIH，EGIH，四边形GEIH是平行四边形，EIGH3，PGAP3, AG1，故在线段AP上存在点G，使得EG平面PDF，此时AG1.3.如图，某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园，已知角A为，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆. (1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何操作可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知竹篱笆长为50 米， AP段围墙高1米， AQ段围墙高2米，造价均为每平方米100元，求围墙总造价的取值范围.解(1)设APx 米，则AQ(200x)米，所以SAPQxsinx22 500
5、(平方米)，当且仅当x200x时，取等号.即APAQ100 米， Smax2 500 平方米.(2)由正弦定理，得AP100sinAQP，AQ100sinAPQ ，故围墙总造价y10010 000(sinAQP2sinAPQ)10 000cosAQP ，因为0AQP， cosAQPb0)的离心率为，并且椭圆经过点P，直线l的方程为x4.(1)求椭圆的方程；(2)已知椭圆内一点E(1,0)，过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，交直线l于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解(1)因为椭圆的离
6、心率为，所以12，又椭圆过点P，所以1，所以a24，b21，所以椭圆方程为y21.(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，令x4，则y3k，所以点M(4,3k)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以k1k22k 2k.由可得x28k2x4k240.所以x1,2，所以x1x2，x1x2，所以k1k22k 2k.又因为k3k，所以k1k22k3，所以存在2，使得k1k22k3.5.已知函数f(x) x，g(x) 2aln x.(1)若b0，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求a的值；(2)若a0, b1，函数F(x)xf(x)g(x)满足对任意x1，x2(
7、x1x2)，都有0，b1时，F(x)x212aln x，F(x)2x0，所以F(x)在(0,1上单调递增.不妨设0x1x21，原不等式F(x2)F(x1)3，即F(x2) 0，所以00)，由题意知x1，x2是x22ax10的两根，所以x1,2，x2，2ax1，G(x1)G(x2)G(x1)G2.令H(x)2，x，H(x)2ln x，当x时，H(x)0, H(x)在上单调递减，H(x)的最小值为H.即G(x1)G(x2) 的最小值为.6.(2018常州市武进区期中)已知数列中， a13，前n项和Sn满足an12Sn3(nN*).(1) 求数列的通项公式；(2)记bn，求数列的前n项和Tn；(3)
8、是否存在整数对(其中mZ,nN*)满足aan7m50？若存在，求出所有的满足题意的整数对，若不存在，请说明理由.解(1)当n2时，an12Sn3与an2Sn13相减，得an1an22an，即an13an(n2)，在an12Sn3中，令n1可得，a29，即a23a1.故an13an(nN*)，故数列是首项为3，公比为3的等比数列，其通项公式为an3n(nN*).(2)由(1) 知，bn，则Tn(nN*).(3)aan7m50，即32n3n7m50，则m，若存在整数对，则必须是整数，其中3n7只能是40的因数，可得n1时， m2; n2时， m34; n3时， m34.综上所有的满足题意的整数对为， ， .