《2019版数学人教B版选修2-2训练：2.3 数学归纳法 Word版含解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版数学人教B版选修2-2训练：2.3 数学归纳法 Word版含解析.doc（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.3数学归纳法1用数学归纳法证明1+12+13+12n-11)时,第一步应验证不等式()A.1+122B.1+12+132C.1+12+133D.1+12+13+141,n取的第一个自然数为2,左端分母最大的项为122-1=13.答案：B2利用数学归纳法证明不等式1+12+13+12n-1f(n)(n2,nN+)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了()A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项解析：1+12+13+12k+1-1-1+12+13+12k-1=12k+12k+1+12k+1-1,共增加了2k项.答案：D3已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN+,
2、都能使m整除f(n),则最大的m的值为()A.30B.26C.36D.6解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036,f(1),f(2),f(3)都能被36整除,猜想f(n)能被36整除.证明:当n=1,2时,由上得证,设当n=k(k2)时,f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除,则当n=k+1时,f(k+1)-f(k)=(2k+9)3k+1-(2k+7)3k=(6k+27)3k-(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k-2(k2)f(k+1)能被36整除.f(1)不能被大于36的数整除,所求的最大的m的值等于36.答案：C4设f(x)是定义在
3、正整数集上的函数,且f(x)满足“当f(k)k2成立时总可推出f(k+1)(k+1)2成立”.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)k2成立D.若f(4)=25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立解析：由数学归纳法原理可得,若f(3)9成立,则当k4时,均有f(k)k2成立,故A不正确.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立,故B不正确.若f(7)49成立,则当k6时,均有f(k)42成立,则当k4时,均有f(k)k2成立.答案：D5
4、观察下列不等式:112,1+12+131,1+12+13+1732,1+12+13+1152,1+12+13+13152,由此猜测第n个不等式为.解析：由3=22-1,7=23-1,15=24-1,可猜测第n个不等式为1+12+13+12n-1n2.答案：1+12+13+12n-1n26用数学归纳法证明“当nN+时,求证:1+2+22+23+25n-1是31的倍数”,当n=1时,原式为,从n=k到n=k+1时需增添的项是.解析：当n=1时,原式应加到251-1=24,故原式为1+2+22+23+24.从n=k到n=k+1时需添25k+25k+1+25(k+1)-1.答案：1+2+22+23+2
5、425k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 7用数学归纳法证明34n+2+52n+1能被14整除的过程中,当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为.解析：当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=8134k+2+2552k+1=25(34k+2+52k+1)+5634k+2.答案：25(34k+2+52k+1)+5634k+28是否存在常数a,b使等式12+22+32+n2+(n-1)2+22+12=an(bn2+1)对于一切nN+都成立?若存在,求出a,b,并证明;若不存在,说明理由.分析：令n=1,2解方程组求得a,b的值,再用数学归纳法证
6、明a,b的值对一切nN+等式都成立.解假设存在a,b使12+22+32+n2+(n-1)2+22+12=an(bn2+1)对于一切nN+都成立,令n=1,2,得a(b+1)=1,a(4b+1)=3,解得a=13,b=2.下面用数学归纳法证明a=13,b=2时等式对一切nN+都成立.(1)当n=1时,已证.(2)假设当n=k(kN+)时等式成立,即12+22+32+k2+(k-1)2+22+12=13k(2k2+1),则当n=k+1时,12+22+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+22+12=13k(2k2+1)+(k+1)2+k2=13k(2k2+3k+1)+(k+1)2=13k(2k+
7、1)(k+1)+(k+1)2=13(k+1)(2k2+4k+3)=13(k+1)2(k+1)2+1.故当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2),知存在a=13,b=2,使等式对一切nN+都成立. 9已知在数列an中,a1=2,an+1=(2-1)(an+2),n=1,2,3,.(1)求an的通项公式;(2)若在数列bn中,b1=2,bn+1=3bn+42bn+3,n=1,2,3,.证明:2bna4n-3,n=1,2,3,.(1)解由题设an+1=(2-1)(an+2)=(2-1)(an-2)+(2-1)(2+2)=(2-1)(an-2)+2,所以an+1-2=(2-1)(an-2).所以数列an-2是首项为2-2,公比为2-1的等比数列,则an-2=2(2-1)n,即an的通项公式为an=2(2-1)n+1,n=1,2,3,.(2)证明用数学归纳法证明.当n=1时,因为22,b1=a1=2,所以2b1a1,结论成立.假设当n=k(k=1,2,)时,结论成立,即2bka4k-3,也即00,又因为12bk+3122+3=3-22,所以bk+1-2=(3-22)(bk-2)2bk+3(3-22)2(bk-2)(2-1)4(a4k-3-2)=a4k+1-2,也就是说,当n=k+1时,结论成立.根据和,知2bna4n-3,n=1,2,3,.