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1、2.2.3 圆锥面及其内切球,1.掌握圆锥面、双曲线、抛物线的定义. 2.掌握垂直截面、一般截面与圆锥面的交线形状. 3.通过Dandelin双球探求双曲线的性质,理解这种证明问题的方法.,1.圆锥面 (1)如图,取直线l为轴,直线l与l相交于点O,其夹角为(090),l绕l旋转一周得到一个以O为顶点,l为母线的圆锥面. (2)圆锥面有以下的一些基本性质: 性质1:圆锥面的轴线和每一母线的夹角相等. 性质2:如果一平面垂直于圆锥面的轴线,则其截圆锥面所得的截线是圆.,【做一做】 直线l1与l2相交于点P,则l2绕l1旋转一周得到的是( ) A.圆柱面 B.圆锥面 C.平面 D.圆锥面或平面 答
2、案:D,2.圆锥面的内切球及性质 如图,设圆锥面S的母线与轴线的夹角为,在圆锥面S的轴线上任取一个与顶点S不同的点O,设SA为任一条母线, 作OHSA于点H,则OH=SOsin . 由此可知,点O到圆锥面S每一条母线的距离都 相等.以O为球心,OH为球的半径作球O,则每一 条母线都与球O 相切.于是,从S出发的每一条切线长相等,切点在 轴上的正投影都落在同一点C,所有切点与点C的 距离相等,并且在通过点C且垂直于轴线的同一平 面上,所以圆锥面S的每一条母线与球O相切的切点的轨迹是一个圆.这个圆通常称做切点圆,球O叫做圆锥面S的内切球. 由以上分析可知,圆锥面与内切球的交线是一个圆,并且该圆所在
3、平面垂直于该圆锥面的轴线.,3.圆锥面的平面截线 (1)双曲线:如图,平面内的动点P到两定点F1和F2的距离差的绝对值为常数(常数小于两定点间的距离).我们称动点P的轨迹为双曲线,其中F1和F2称为双曲线的焦点. (2)抛物线:如图,平面内到定点F及定直线m的距离相等的点的轨迹称为抛物线,其中F称为抛物线的焦点,直线m称为抛物线的准线. 名师点拨抛物线定义中的定点F不在定直线m上,否则点P的轨迹不是抛物线,是过点F垂直于m的直线.,(3)定理:在空间给定一个圆锥面S,轴线与母线的夹角为,任取一个不通过S的顶点的平面,设其与轴线的夹角为(与轴线平行时,规定=0),则 当时,平面与圆锥面的交线为椭
4、圆; 当=时,平面与圆锥面的交线为抛物线; 当时,平面与圆锥面的交线为双曲线.,圆锥曲线 剖析用一个平面去截一个圆锥面,得到的交线就称为圆锥曲线. 通常提到的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线,但严格来讲,它还包括一些退化情形.具体而言: (1)当平面与圆锥面的母线平行,且不过圆锥面的顶点时,交线为抛物线. (2)当平面与圆锥面的母线平行,且过圆锥面的顶点时,交线退化为一条直线. (3)当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥面的顶点,与圆锥面的轴线不垂直时,交线为椭圆. (4)当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥面的顶点,并与圆锥面的轴线垂直时,交线为圆.,(5)当平面与圆锥面两侧都相交,且不过圆
5、锥面的顶点时,交线为双曲线. (6)当平面与圆锥面两侧都相交,过圆锥面的顶点且不与母线平行时,交线为两条相交直线. (7)当平面与轴线的夹角大于母线与轴线的夹角,且过圆锥面的顶点时,交线为一个点.,题型一,题型二,【例1】 如图,双曲线的焦点为F1,F2,过F1作直线交双曲线的左支于A,B两点,实轴长为2a,且AB=m,求ABF2的周长. 分析本题中AF1,AF2,BF1,BF2都是焦半径,而ABF2的周长恰好是这四条焦半径之和,应用双曲线的定义便可得. AF2+BF2-(AF1+BF1)=4a. 又AF1+BF1=AB=m,AF2+BF2=4a+m, ABF2的周长为AF2+BF2+AB=(
6、4a+m)+m=4a+2m.,题型一,题型二,反思双曲线的定义是解决双曲线问题的核心,当已知条件中出现焦半径(圆锥曲线上的点与焦点的连线)时,常常利用双曲线的定义来解决问题.,题型一,题型二,【例2】 如图,圆C的半径r=1,圆心C到直线l的距离为3,动圆M与圆C外切,且与直线l相切,试判断动圆圆心M的轨迹. 分析利用圆M和圆C外切,与直线l相切来确定动点M到点C的距离与动点M到直线l的距离之间的关系.,题型一,题型二,解:如图,设直线l与直线l的距离为1,且直线l与点C位于直线l的两侧,动圆M的半径为r,直线l与圆M相切于点A,连接MC,MA并延长MA交l于点B,则MBl. 动圆M与圆C外切
7、,MC=1+r. 动圆M与直线l相切,MA=r, MB=1+r, MC=MB, 即动点M到定点C的距离和到定直线l的距离相等, 动圆圆心M的轨迹是以C为焦点,以直线l为准线的抛物线. 反思与椭圆和双曲线相比,抛物线是用一个点和一条直线来定义的,因此已知条件中出现一个定点和一条定直线时,常利用抛物线的定义来判断动点的轨迹.,1,2,3,4,5,1.已知抛物线C的焦点F到准线l的距离为2,P是抛物线上任意一点,则PF的最小值是( ) 解析:如图,过F作准线l的垂线,垂足为K,交抛物线于点O,过P作准线l的垂线,垂足为M, 又PF=PM,则PF的最小值等于OK的长,为1. 答案:B,1,2,3,4,
8、5,2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,实轴长2a=6,虚轴长2b=8,P为双曲线右支上的一点,且PF2=F1F2,则PF1=( ) A.4 B.6 C.8 D.16 所以PF2=F1F2=10.又P为双曲线右支上的一点, 则PF1PF2,所以PF1-PF2=2a=6, 所以PF1=2a+PF2=6+10=16. 答案:D,1,2,3,4,5,3.若动点P到定直线l的距离与到定点F的距离的差等于1,则动点P的轨迹是( ) A.双曲线 B.抛物线 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一支 解析:如图,过P作直线l的垂线,垂足为A,在PA上取一点B,使得AB=1,过点B作直线l的平行线l,则P
9、B=PF,即动点P到定点F的距离等于到定直线l的距离, 所以动点P的轨迹是抛物线. 答案:B,1,2,3,4,5,4.如图,过抛物线的焦点F作准线l的垂线,垂足为K, 交抛物线于点O,M是抛物线上一点,且MAl于点A, 若MA=3,MK=4,FK=5,则MO= . 解析:如图,连接MF, 则MF=MA=3, 则在MFK中,MF2+MK2=32+42=25=FK2, 所以MKMF,1,2,3,4,5,5.设F1,F2是双曲线的左、右两个焦点,实轴长2a=4,虚轴长2b=6 ,P是双曲线左支上的点,若PF1,PF2,F1F2成等差数列,且公差大于0,则F1PF2= . 解析:F1F2= =14,由于PF1,PF2,F1F2成等差数列,且公差大于0,则PF1+F1F2=2PF2,PF2PF1,所以PF2-PF1=4,PF1+14=2PF2,解得PF1=6,PF2=10.在F1PF2中,由余弦定理可得 答案:120,