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1、章末复习课章末复习课 整合整合网络构建网络构建 警示警示易错提醒易错提醒 1复数代数形式为复数代数形式为 zabi，a、bR，应用复数相等的条件时， 必须先将复数化成代数形式 ，应用复数相等的条件时， 必须先将复数化成代数形式 2复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式 zabi(a、 bR)z 为纯虚数的条件为为纯虚数的条件为 a0 且且 b0，注意虚数与纯虚数的区别，注意虚数与纯虚数的区别 3不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项， 乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化 不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项， 乘法
2、可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化 4 a20 是在实数范围内的性质， 在复数范围内是在实数范围内的性质， 在复数范围内 z20 不一定成立，不一定成立， |z2|z2. 5复数与平面向量相联系时，必须是以原点为始点的向量复数与平面向量相联系时，必须是以原点为始点的向量 6不全为实数的两个复数不能比较大小不全为实数的两个复数不能比较大小 7复平面的虚轴包括原点复平面的虚轴包括原点 专题一 复数的概念专题一 复数的概念 解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策 略， “桥梁”是设 解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策 略， “桥梁”是设 zxyi(x，yR
3、)，依据是“两个复数相等的充要条 件” ，依据是“两个复数相等的充要条 件” 例例 1 (1)已知已知 a，bR，i 是虚数单位，若是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则，则a a b b 的值为的值为_ (2)满足方程满足方程 x22x3(9y26y1)i0 的实数对的实数对(x， y)表示的点 有 表示的点 有_ 解析：解析：(1)因为因为(1i)(1bi)a(a，bR)， 则则 1bi(1b)a， 因此解得因此解得 1 1ba， 1 1b0，) a a2， b b1.) 所以 所以 2. a a b b (2)所以所以 x x2 22x30， 9 9y y2 26y10，) x x3或或
4、1， y y1 3， ， ) 所以点所以点(x，y)为，为，. (3 3， ，1 1 3 3) ( 1，1 1 3 3) 答案：答案：(1)2 (2)2 个个 归纳升华归纳升华 1当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分 类讨论，分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数当 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分 类讨论，分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数当 xyi 没有说 明 没有说 明 x，yR 时，也要分情况讨论时，也要分情况讨论 2复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化，体现了转化复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化，体现了转化 与化归的思想与化
5、归的思想 变式训练变式训练 设 设 i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数是虚数单位，复数为纯虚数，则实数 a 的的 1 1ai i 2 2i i 值为值为( ) A2 B2 C D. 1 1 2 2 1 1 2 2 解析：解析：，由于该复数为，由于该复数为 1ai i 2 2i i （ （1ai i） ）（ （2i i） ） （ （2i i） ）（ （2i i） ） 2 2a（ （2a1） ）i i 5 5 纯虚数，所以纯虚数，所以 2a0，且，且 2a10，因此，因此 a2. 答案：答案：A 专题二 复数的四则运算及几何意义专题二 复数的四则运算及几何意义 历年高考对复数的考查，主要集中在复
6、数的运算，尤其是乘除运 算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速 准确求解的关键 历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运 算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速 准确求解的关键 复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题的求 解可结合加法与减法的几何意义进行 复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题的求 解可结合加法与减法的几何意义进行 例例 2 (1)设设 zi，则，则|z|_ 1 1 1 1i i( 1 1i i 1 1i i) 2 2 (2)在复平面内，复数在复平面内，复数 z(i 为虚数单位为虚数单位)的
7、共轭复数的共轭复数对应点对应点 2 2i i 1 1i i 为为 A，点，点 A 关于原点关于原点 O 的对称点为的对称点为 B，求：，求： 点点 A 所在的象限；所在的象限； 向量对应的复数向量对应的复数 A AB B (1)解析：解析：因为因为ii . 1 1 1 1i i 1 1 i 2 1 1 2 2 i i 2 2 (i)21. ( 1 1i i 1 1i i) 2 2 ( 2i i 2 2) 2 2 所以所以 z 1 . 1 1 2 2 i i 2 2 1 1 2 2 i i 2 2 因此因此|z| . ( 1 2) 2 (1 2) 2 2 2 2 答案：答案： 2 2 2 2 (
8、2)解：解：z1i， 2 2i i 1 1i i 2 2i i（ （1i） ） （ （1i） ）（ （1i） ） 所以所以 z 的共轭复数的共轭复数1i， 所以点所以点 A(1，1)位于第四象限位于第四象限 又点又点 A，B 关于原点关于原点 O 对称对称 因为点因为点 B 的坐标为的坐标为 B(1，1)，则，则 zB1i 所以向量对应的复数为所以向量对应的复数为 zBzA(1i)(1i)22i. A AB B 归纳升华归纳升华 复数代数形式的加、 减、 乘、 除运算是本章的重点， 在四则运算时， 不要死记结论对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式 的加、减、乘运算进行；对于复数代数形
9、式的除法运算，要类比分式 的分母有理化的方法进行另外，在计算时也要注意下面结论的应用 ： 复数代数形式的加、 减、 乘、 除运算是本章的重点， 在四则运算时， 不要死记结论对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式 的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式 的分母有理化的方法进行另外，在计算时也要注意下面结论的应用 ： (1)(ab)2a22abb2.(2)(ab)(ab)a2b2. (3)(1i)22i.(4) i.(5)i，i. 1 1 i i 1 1i i 1 1 i 1 1 i 1 i (6)abii(bai) 变式训练变式训练 已知复数 已知复数 z(12i)
10、(2i). 3i 1i (1)计算复数计算复数 z； (2)若若 z2(2a1)z(1i)b160，求实数，求实数 a，b 的值的值 解：解：(1)由题意得由题意得 z(12i)(2i)43i （3i）（1i） （1i）（1i） 43i(2i)62i. 42i 2 (2)因为因为(62i)2(2a1)(62i)(1i)b160， 所以所以 3224i6(2a1)2(2a1)ibbi160， 所以所以 2212ab(264ab)i0， 所以所以22 12ab0， 264ab0.) 解得解得 a3，b14. 专题三 共轭复数与复数的模专题三 共轭复数与复数的模 共轭复数与复数的模是复数中两个重要的
11、概念，在解决有关复数 问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论 简化解题过程： 共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数 问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论 简化解题过程： (1)|z|1z. (2)zR z. (3)z0，z 为纯虚数为纯虚数 z. 例例 3 已知为纯虚数，且 已知为纯虚数，且(z1)( 1)|z|2，求复数，求复数 z. z z1 z 1 解：解：由由(z1)( 1)|z|2zz1. 由于为纯虚数，由于为纯虚数， z z1 z 1 所以所以0z 10. z z1 z 1 设设 zabi(a，bR)，代入得，代入得
12、 a ， ，a2b21. 1 1 2 2 所以所以 a ， ，b. 1 1 2 2 3 3 2 2 所以所以 z i. 1 1 2 2 3 3 2 2 归纳升华归纳升华 共轭复数的性质共轭复数的性质 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称 (2)实数的共轭复数是它本身，即实数的共轭复数是它本身，即 zzR，利用这个性质可，利用这个性质可 z z 证明一个复数为实数证明一个复数为实数 (3)若若 z0 且且 z0，则，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一为纯虚数，利用这个性质，可证明一 z z 个复数为纯虚数个复数为纯虚数 变式训练变式
13、训练 已知 已知 zR，为，为 z 的共轭复数，若的共轭复数，若 z3i1 z z z 3i，求，求 z. 解：解：设设 zabi(a，bR)， 则则abi(a，bR), z 由题意得由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i， 即即 a2b23b3ai13i， 则有则有a 2 b23b1， 3a3，) 解得或解得或 a1， b0) a1， b3.) 所以所以 z1 或或 z13i. 专题四 数形结合思想专题四 数形结合思想 复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了数形结合 这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题熟练掌 复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现
14、了数形结合 这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题熟练掌 握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关 系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题 握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关 系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题 例例 4 已知复数 已知复数 z 的模为的模为 1，求，求|z12i|的最大值和最小值的最大值和最小值 解：解：因为复数因为复数 z 的模为的模为 1， 所以所以 z 在复平面上的对应点在以原点为圆心，在复平面上的对应点在以原点为圆心，1 为半径的圆上为半径的圆上 又又|z12i|z(12i)|可以看成圆上的点可以看成
15、圆上的点Z到点到点A(1， 2)的距离， 如图所示 的距离， 如图所示 所以所以|z12i|min|AB|OA|OB|1，5 5 |z12i|max|AC|OA|OC|1.5 5 归纳升华归纳升华 1复数的几何意义主要体现在以下三个方面：复数的几何意义主要体现在以下三个方面： (1)复数复数 z 与复平面内的点与复平面内的点 Z 及向量的一一对应关系；及向量的一一对应关系； O OZ Z (2)复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系；复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系； (3)复数复数 zz0模的几何意义模的几何意义 2复数中数形结合的主要应用：复数中数形结合的主要应用： (1)复数的
16、加减运算与向量的加减运算的相互转化复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化 (2)利用利用|zz0|判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程， 也可以求判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程， 也可以求|z| 的最值的最值 变式训练变式训练 已知复平面内点 已知复平面内点A， B对应的复数分别是对应的复数分别是z1sin2 i，z2cos2icos 2，其中，其中 (0，)，设对应的复数为，设对应的复数为 z. AB (1)求复数求复数 z； (2)若复数若复数 z 对应的点对应的点 P 在直线在直线 y x 上，求上，求 的值的值 1 2 解：解：(1)由题意得由题意得 zz2z1cos2sin2(cos 21)i1 2sin2i. (2)由由(1)知，点知，点 P 的坐标为的坐标为(1，2sin2) 由点由点 P 在直线在直线 y x 上，得上，得2sin2 ， ， 1 2 1 2 所以所以 sin2 ， ， 1 4 又又 (0，)，所以，所以 sin 0， 因此因此 sin ， ， 1 2 所以所以 或或 . 6 5 6