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1、第三节 用样本估计总体 2019 考纲考题考情 1用样本的频率分布估计总体分布 (1)作频率分布直方图的步骤。 求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)。 决定组距与组数。 将数据分组。 列频率分布表。 画频率分布直方图。 (2)频率分布折线图和总体密度曲线。 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端 的中点，就得频率分布折线图。 总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数 增加，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光 滑曲线，即总体密度曲线。 (3)茎叶图。 茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。 2用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数：一组
2、数据中出现次数最多的数。 (2)中位数 ： 将数据按大小顺序排列，若有奇数个数，则最中 间的数是中位数 ； 若有偶数个数， 则中间两数的平均数是中位数。 (3)平均数：，反映了一组数据的平均水 x x1x2xn n 平。 (4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s 。 1 nx 1 x 2x2 x 2xn x 2 (5)方差：s2 (x1)2(x2)2(xn)2(xn是样 1 n x x x 本数据，n 是样本容量，是样本平均数)。 x 1频率分布直方图中各小矩形的面积之和为 1。 2频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数。 (2)中位
3、数左边和右边的小长方形的面积和是相等的。 (3)平均数是频率分布直方图的“重心” ，等于频率分布直方 图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。 3平均数、方差的公式推广 (1)若数据 x1， x2， xn的平均数为， 那么 mx1a， mx2a， x mx3a，mxna 的平均数是 ma。 x (2)数据 x1，x2，xn的方差为 s2。 数据 x1a，x2a，xna 的方差也为 s2； 数据 ax1，ax2，axn的方差为 a2s2。 一、走进教材 1(必修 3P65例题改编)如图是 100 位居民月均用水量的频 率分布直方图，则月均用水量为2,2.5)范围内的居民数有 _人
4、。 解析 由频率分布直方图可知，月均用水量为2,2.5)范围内 的居民所占频率为 0.50.50.25， 所以月均用水量为2,2.5)范围 内的居民数为 1000.2525。 答案 25 2 (必修3P82A组T6改编)甲、 乙两台机床同时生产一种零件， 10 天中，两台机床每天出的次品数分别是： 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 则机床性能较好的为_。 解析 因为 甲1.5，乙1.2，s 1.65，s 0.76，所以 sxx 2 甲 2 乙 140，所以方案一的优惠力度更大。 Error!Error! 1 (配合例 1， 例 4 使用)从
5、某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分 布表： (1)作出这些数据的频率分布直方图： (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数 据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据， 能否认为该企业生产的这种产品 符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的 规定？ 解 (1)样本数据的频率分布直方图如图所示： (2)质量指标值的样本平均数为 800.06900.261000.381100.22 x 1200.08100。 质量指标值的样本方差为 s2(20)20.06(10)20.2600.381
6、020.22 2020.08104。 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100，方差的 估计值为 104。 (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0380.220.080.68。 由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品 符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的 规定。 2(配合例 2、例 3 使用)为比较甲乙两地某月 11 时的气温 情况， 随机选取该月 5 天 11 时的气温数据(单位 ：)制成如图所 示的茎叶图， 已知甲地该月 11 时的平均气温比乙地该月 11 时的 平均气温高 1 ， 则甲地该月 11 时的平均气温的标准差为( ) A2B2 C10D10 解析 甲地该月 5 天 11 时的气温数据(单位：)为 28,29,30,30m,32； 乙地该月 5 天 11 时的气温数据(单位 ：)为 26,28,29,31,31，则乙地该月 11 时的平均气温为(26282931 31)529()， 所以甲地该月 11 时的平均气温为 30 ， 故(28 293030m32)530，解得 m1，则甲地该月 11 时的 平均气温的标准差为 1 5 283022930230302313023230 2 。故选 B。2 答案 B