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1、3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 第三章 3.2 直线的方向向量与直线的向量方程 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.了解直线的方向向量，了解直线的向量方程. 2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行. 3.会用向量证明两条直线垂直. 4.会利用向量求两条直线所成的角. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 上面三个向量等式都叫做空间直线的 .向量a称为该直线的方向 向量. 知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置 1.用向量表示直线或点在直线上的位置 ta 向量参数方程 知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与
2、平面平行、平面与平 面平行 1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1l2或l1 与l2重合 . 2.已知两个不共线向量v1，v2与平面共面，一条直线l的一个方向向量为v， 则由共面向量定理，可得 l或l在内 . 3.已知两个不共线向量v1，v2与平面共面，则由两平面平行的判定与性质， 得或与重合 . v1v2 存在两个实数x，y，使vxv1yv2 v1且v2 知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 1.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 设两条直线所成的角为，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1l2 ， cos . 2.求
3、两直线所成的角应注意的问题 在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以 cosv1，v2 .但要注意，两直线的夹角与v1，v2并不完全相同， 当v1，v2为钝角时，应取其 作为两直线的夹角. v1v2 |cosv1，v2| 补角 1.直线l的方向向量是唯一的.( ) 2.若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.( ) 3.若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量.( ) 4.两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直 线垂直.( ) 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKA
4、OBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 例1 已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以 的方向为正向，在直线AB上建立 一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)APPB12；求点P的坐标. 题型一 空间中点的位置确定 设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得 (2)AQQB21.求点Q的坐标. 解 因为AQQB21， 设点Q的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示， 得(x，y，z)(2,4,0)2(1,3,3)(0,2,6)， 即x0，y2，z6. 因此，Q点的坐标是(0,2,6). 反思感悟 确定点的坐标可利用向量运算根
5、据两个向量相等列方程解得. 解析 设C(x，y，z)， 题型二 向量方法处理平行问题 例2 如图，已知正方体ABCDABCD，点M，N分别是面对角线 AB与面对角线AC的中点.求证：MN侧面AD；MNAD，并且 MN 因为MN不在平面AD内，所以MN平面AD. 反思感悟 (1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向 量共线、共面定理. (2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意 向量所在的直线与所证直线或平面无公共点. 跟踪训练2 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12.点M在 棱BB1上，且BM2MB1，点S在DD1上，且SD12
6、SD，点N，R分别为A1D1， BC的中点，求证：MNRS. 方法二 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得 题型三 两直线所成的角的求解 例3 已知三棱锥OABC(如图)，OA4，OB5，OC3，AOB BOC60，COA90，M，N分别是棱OA，BC的中点.求直线MN与AC 所成角的余弦值. 反思感悟 向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是0， 而异面直线所成角的范围是 ，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等 于0. 跟踪训练3 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCBB12，E，F分别 是平面A1B1C1D1与平面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE
7、所成角的余弦值. 解 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C1(0,4,2)，A1(2,0,2)， E(1,2,2)，F(1,4,1)， 3达标检测 PART THREE 1.若直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2,3,2)，则 A.l1l2 B.l1l2 C.l1，l2相交但不垂直 D.不能确定 12345 解析 ab1(2)23(2)20， ab，l1l2. 12345 2.设l1的方向向量a(1,3，2)，l2的方向向量b(4,3，m)，若l1l2，则m 等于 解析 因为l1l2，所以ab0，即1(4)33(2)m0， 3
8、.若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 12345 4.已知向量a(42m，m1，m1)，b(4,22m,22m)，若ab，则实数 m的值为 A.1 B.3 C.1或3 D.以上答案都不正确 12345 12345 解析 因为b(4,22m,22m)0， 所以“ab的充要条件是ab”， 代入42m4，得m3. 12345 5.已知直线l1的一个方向向量为(7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)， 且l1l2，则x_，y_. 146 x14，y6. 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.利用向量可以表示直线或点在直线上的位置. 2.线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证 明依据是空间向量共线、共面定理. 3.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量， 利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量.共分三步：(1)建 立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、 线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面 之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.