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1、问题35 圆锥曲线中的最值、范围问题一、考情分析与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用二、经验分享1. 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的
2、不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围2. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解三、知识拓展1.已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则；2.已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为.四、题型分析(一)
3、利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理【例1】已知是椭圆内的两个点,是椭圆上的动点,求的最大值和最小值【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论三点是否共线,总有,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用【解析】由已知得是椭圆的右焦点,设左焦点为根据椭圆定义得,因为,所以,故的最小值和最大值分别为和.【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化【小试牛刀】【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为( )AB5C6D
4、7【答案】B【解析】由题意可得2a4，即a2，渐近线方程为yx，即有，即b1，可得双曲线方程为y21，焦点为F1（，0），F2，（，0）， 由双曲线的定义可得|MF1|2a+|MF2|4+|MF2|，由圆x2+y24y0可得圆心C（0，2），半径r2，|MN|+|MF1|4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+325故选：B(二) 单变量最值问题转化为函数最值建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量【例2】已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点
5、的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设为椭圆上一点,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足(O为坐标原点),求实数的取值范围.【分析】（1）由题意可得圆的方程为,圆心到直线的距离；根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, 代入*式得,即可得到所求椭圆方程；（）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设,将直线方程代入椭圆方程得：,根据得到；设,应用韦达定理.讨论当k=0,的情况,确定的不等式.【解析】（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为,圆心到直线的
6、距离*椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, 代入*式得 故所求椭圆方程为 （）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设将直线方程代入椭圆方程得： 设,则8分当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,成立,故,t=0符合题意.当时得 将上式代入椭圆方程得：整理得：由知所以 【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点在椭圆上和向量式得,进而求函数值域【小试牛刀】【吉林省吉林市2018届高三第三次调研】已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线： 与圆相切：
7、（）求圆的标准方程；（）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点，与圆交于不同的两点，求的取值范围【解析】(1) 椭圆经过点， ，解得 ，解得 椭圆的标准方程为 (2) (i)圆的标准方程为,圆心为，直线： 与圆相切，圆的半径,圆的标准方程为 （）由题可得直线的斜率存在,设,由消去整理得，直线与椭圆交于不同的两点， ，解得设,则 ， 又圆的圆心到直线的距离, 圆截直线所得弦长, ， 设则, , ， ，的取值范围为(三) 二元变量最值问题转化为二次函数最值利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理【例2】若点O、F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则的最大值为
8、 【分析】设点,利用平面向量数量积坐标表示,将用变量表示,借助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理【解析】设,则=,又点P在椭圆上,故,所以,又-2x2,所以当x=2时,取得最大值为6,即的最大值为6,故答案为：6【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程【小试牛刀】【湖南省益阳市2019届高三上学期期末】已知定点及抛物线上的动点，则（其中为抛物线的焦点）的最大值为（ ）A2 B C D3【答案】C【解析】方法一：作准线于，则.设倾斜角为，则.当与相切时，取最大值，由代入抛物线得，解得或.故最大值为4，即最大值为5.即最大值为.故选.方法二：作准线于，则，设，则，则取最大值，只需取最大
9、值，又表示的斜率，所以取最大值时，直线与抛物线相切，由代入抛物线得，解得或.故最大值为4，即最大值为5. 即最大值为.故选. (四) 双参数最值问题该类问题往往有三种类型：建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围【例3】在平面直角坐标系中,已知椭圆：的离心率,且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4,过点的直线交椭圆于点（）求椭圆C的方程；（）设P为椭圆上一点,且满足（O为坐标原点）
10、,当时,求实数的取值范围.【分析】第一问,先利用离心率列出表达式找到与的关系,又因为椭圆上的点到点的距离最大值为4,利用两点间距离公式列出表达式,因为在椭圆上,所以,代入表达式,利用配方 法求最大值,从而求出,所以,所以得到椭圆的标准方程；第二问,先设点坐标,由题意设出直线方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定得到两根之和、两根之积,用坐标表示得出,由于点在椭圆上,得到一个表达式,再由,得到一个表达式,2个表达式联立,得到的取值范围.【解析】（） 则椭圆方程为即设则 当时,有最大值为 解得,椭圆方程是 （）设方程为由 整得. 由,得. 则, 由点P在椭圆上,得化简得 又由即将,代入得
11、 化简,得则, 由,得联立,解得或 【点评】第一问中转化为求二次函数最大值后,要注意变量取值范围；第二问利用点P在椭圆上,和已知向量等式得变量的等量关系,和变量的不等关系联立求参数的取值范围【小试牛刀】已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心,离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若存在直线,使得直线与椭圆分别交于两点,与圆分别交于两点,点在线段上,且,求圆的半径的取值范围.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c,因为所以椭圆的方程为.（2）设,联立方程得所以 则又点到直线的距离, 则显然,若点也在线段上,则由对称性可知,直线就是y轴,与已知矛盾,所以要使,只要,所以当时,.当时,3,又显然,所以.综上,圆的
12、半径的取值范围是.圆锥曲线中的最值、范围问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解四、迁移运用 1【湖南省浏阳一中、醴陵一中2019联考】在椭圆上有两个动点，为定点，则的最小值为( )A4BCD1【答案】C【解析】由题意得设椭圆上一点，则，又，当时，取得最小值故选C2【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则四边形面积的最小值为（ ）A8
13、B16C32D64【答案】C【解析】显然焦点的坐标为，所以可设直线的方程为，代入并整理得，所以，同理可得，所以 故选C.3.【河北省张家口市2019期末】已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，设，且时，则直线MN斜率的取值范围是A BC D【答案】A【解析】设直线l的方程为，则，设点、将直线l的方程与抛物线C的方程联立，消去x得，由韦达定理得所以，所以，x轴为的角平分线，所以，将式代入韦达定理得，则，所以，所以，设直线MN的斜率为k，则即，所以，解得或故选：A4【浙江省宁波市2019届高三上学期期末】已知椭圆的离心率的取值范围为，直线交椭圆于点为坐标原点且，则椭圆长轴长的
14、取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】联立方程得，设，则，由，得，化简得，化简得，即椭圆的长轴长的取值范围为，故选C5【江西省红色七校2019届高三第二次联考】定长为4的线段MN的两端点在抛物线上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为()A B1 C D【答案】D【解析】由抛物线方程得，准线方程为，设，根据抛物线的定义可知，到轴的距离 ，当且仅当三点共线时，能取得最小值，此时.故选D.6【四川省泸州市2019届高三第二次教学质量诊断】已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】抛物线的焦点，准线：，圆的圆心为，
15、半径，过点作垂直准线，垂足为，由抛物线的定义可知，则，当三点共线时取最小值，即有取得最小值4，故选B7【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.8【河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测】抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为A B1 C D
16、2【答案】B【解析】设|AF|a，|BF|b，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|在梯形ABPQ中，2|CD|AQ|+|BP|a+b由余弦定理得，|AB|2a2+b22abcos60a2+b2ab配方得，|AB|2（a+b）23ab，又ab（ ） 2，（a+b）23ab（a+b）2（a+b）2（a+b）2得到|AB|（a+b）|CD|1，即的最小值为1故选：B9已知抛物线,点Q是圆上任意一点,记抛物线上任意一点到直线的距离为,则的最小值为（ ）A5 B4 C3 D2【答案】C【解析】 如图所示,由题意知,抛物线的焦点为,连接,则将圆化为,圆心为,半径为,则,于是由（当且仅当三点共线时
17、取得等号）而为圆上的动点到定点的距离,显然当三点共线时取得最小值,且为,故应选10【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点若以为直径的圆过点，则的值为_【答案】4【解析】假设k存在，设AB方程为：yk（x1），与抛物线y24x联立得k2（x22x+1）4x，即k2x2（2k2+4）x+k20 设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），以为直径的圆过点,QBA90， （x12）（x1+2）+y120，x12+y124，x12+4x110（x10），x12，x1x21，x22， |AF|BF|（x2+1）（x1+1）4，
18、故答案为：411【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】抛物线的焦点为，设是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为_.【答案】【解析】由是抛物线上的两个动点，得又，所以，在中，由余弦定理得：，又，即，所以，因此的最大值为.故答案为12【江西省九江市2019届高三第一次高考模拟】已知抛物线的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是_【答案】18【解析】抛物线y28x的焦点F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|+4|FB|x1+2+4（+2）+4+10，当直线AB斜率不存在时，|FA|+4|FB|2+42+1020，当直AB斜率存在时，设直线AB的方
19、程为yk（x2），代入y28x得k2x2（4k2+8）x+4k20，4，|FA|+4|FB|4+1021018，当且仅当x11时取等号|FA|+4|FB|的最小值是18故答案为：1813【山东省淄博市2018-2019学年度3月高三模拟】已知抛物线：上一点，点是抛物线上的两动点，且，则点到直线的距离的最大值是_【答案】【解析】设直线的方程为，联立直线的方程与抛物线方程，则有，即，因为直线与抛物线方程有两个交点，所以，因为，所以，即，解得或者，化简可得或者因为，所以，所以直线的方程为，即，故直线过定点，当垂直于直线时，点到直线的距离取得最大值，最大值为，故答案为。14【浙江省2019年高考模拟训
20、练数学（二)】设是抛物线上相异的两点，则的最小值是_【答案】-16 【解析】由题意直线的斜率存在，设，由消去整理得，且设，中点为，则，又，当时等号成立，的最小值是故答案为15.【陕西省咸阳市2018届高三一模】已知椭圆的两个焦点为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，求直线的斜率的取值范围.【解析】（1）设椭圆，依题意得，解得 ，从而得椭圆.（2）设直线，则即，依题意有，则 ，消去得，令，则，所以在上递增，所以，由，得，所以直线的斜率的取值范围是16【湖南省衡阳市2018届高三第二次联考二模】已知椭圆的离心率为，倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点且与
21、圆相切.(1)求椭圆 的方程；(2)若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积于的面积分别为.求的最大值；当取得最大值时，求的值.【解析】 (1)依题直线的斜率.设直线的方程为,依题有： (2)由直线与圆相切得： .设.将直线代入椭圆的方程得： ,且.设点到直线的距离为,故的面积为：,当.等号成立.故的最大值为1.设，由直线与圆相切于点，可得，.17【2018衡水高三信息卷 二】已知抛物线（），直线与抛物线交于 (点在点的左侧)两点，且.（1）求抛物线在两点处的切线方程；（2）若直线与抛物线交于两点，且的中点在线段上， 的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值.【解析】（1）由
22、，令，得，所以，解得， ，由，得，故所以在点的切线方程为，即，同理可得在点的切线方程为.（2）由题意得直线的斜率存在且不为0，故设， ， ，由与联立，得， ，所以， ，故.又，所以，所以，由，得且.因为的中点为，所以的垂直平分线方程为，令，得，即，所以点到直线的距离，所以.令，则，则，故.设，则，结合，令，得；令，得，所以当，即时， .18【山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟】已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线： 与曲线有（）个公共点.（1）若，求的最小值； （2）若，自上而下记这4个交点分别为，求的取值范围.【解析】（1）联立与，得，与抛物线恒有两个交点.联立与，得.，.，的最小值为.（
23、2）设， ， ， ，则两点在抛物线上， 两点在抛物线上， ， ， ，且， ，.， ， .，.19【山东省桓台第二中学2018届高三4月月考】已知抛物线，点与抛物线的焦点关于原点对称，过点且斜率为的直线与抛物线交于不同两点，线段的中点为，直线与抛物线交于两点（）判断是否存在实数使得四边形为平行四边形若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（）求的取值范围【解析】（）设直线的方程为，设 联立方程组，得显然，且，即，得且得， ， 直线的方程为： ，联立方程组，得，得， 若四边形为平行四边形，当且仅当 ，即，得，与且矛盾故不存在实数使得四边形为平行四边形（）由且，得；当， 取得最小值；当时， 取；当时， 取；所以20.【四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊】已知椭圆:的左右焦点分别是，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且满足.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于两点，设.若，求面积的取值范围.【解析】（1）由题意得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，点P到直线的距离为，从而点P的横坐标为，又点P在第一象限内，点P的坐标为，椭圆的方程为（2）根据题意得直线的斜率不为0，设其方程为，由 消去整理得，显然设，则 ，即，代入消去得，解得由题意得令，则，设，则在上单调递增，即，即面积的取值范围为