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1、中考复习之胡不归问题 从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡 心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径AB（如图所示），而 忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声 痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”。这个古老的传说， 引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年 的“胡不归问题” 。 例 1. （2012 崇安模拟），如图，ABC在平面直角坐标系中，AB=AC ，A(0，22
2、） ，C（1，0） ，D为射线 AO上一点，一动点P从 A出发，运动路径为AD C，点 P在 AD上的运动速度是在CD上的 3 倍，要使整 个过程运动时间最少，则点D的坐标应为 -（） A.），（20 B. ），（ 2 2 0 C. ），（ 3 2 0 D. ），（ 4 2 0 例 2. （2016 徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点 A（-1， 0） ，B （ 0， -3） 、C（ 2，0） ，其中对称轴与x 轴交于点D。 （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若 P为 y 轴上的一个动点，连接PD ，则PDPB 2 1 的最小值为。 （3）
3、 M （s，t ）为抛物线对称轴上的一个动点。 若平面内存在点N，使得 A、B、M 、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个； 连接 MA 、MB ，若 AMB不小于 60，求 t 的取值范围。 A D B C 沙砾地带 练习巩固： 1. （2015 无锡二模）如图，菱形ABCD 的对角线 AC上有一动点P ，BC=6,ABC=150 , 则 PA+PB+PD 的最小 值为。 2. （2015 内江）如图，在ACE中， CA=CE ，CAE=30 ， O经过点 C，且圆的直径AB在线段 AE上。 （1）试说明CE是 O的切线。 （2）若ACE中 AE边上的高为h, 试用含 h 的代数式表示
4、O的直径 AB; （3）设点 D是线段 AC上任意一点 （不含端点） ，连接 OD ，当 2 1 CD+OD 的最小值为6 时，求 O的 AB的长。 3. （2015 日照）如图，抛物线nmxxy 2 2 1 与直线3 2 1 xy交于 A、B两点，交x 轴于 D、C两 点，连接AC 、BC ，已知 A（0，3） ，C（3，0） 。 （1）抛物线的函数关系式为，tan BAC= 。 （2） P为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点 P作 PQ PA交 y 轴于点 Q ，问：是否存在点P使以 A、 P、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出所有符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由
5、。 （3）设 E为线段 AC上一点（不含端点） ，连接 DE ，一动点 M从点 D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速 度运动到E 点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到点A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？ 4. （2014 成都）如图，已知抛物线）为常数，0)(4)(2( 8 kkxx k y与 x 轴从左至右依次交于点A、 B，与 y 轴交于点C ，经过点B的直线bxy 3 3 与抛物线的另一个交点为D。 （1）若点 D的横坐标为 -5 ，求抛物线的函数关系式。 （2）在（ 1）的条件下，设F 为线段 BD上一点（不含端点） ，连接 AF，一动点M从点
6、A 出发，沿线段AF 以每秒 1 个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒 2 个单位的速度运动到D后停止， 当点 F 的坐标为多 少时，点M在整个运动过程中用时最少？ （3）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与ABC相似，求k 的值。 5. （2017 徐州二模）二次函数cxaxy2 2 图象与 x 轴交于 A、C两点，点C（3，0） ，与 y 轴交于点 B（0，-3 ） 。 （1）a，c； （2）如图， P是 x 轴上一动点，点D（0，1）在 y 轴上，连接PD ，求PCPD2的最小值。 （3）如图，点M在抛物线上，若3 MBC S ，求点 M的坐标。 x y
7、x y M 6. （2016 随州）已知抛物线）0)(1)(3(axxay，与 x 轴从左至右依次相交于A、B 两点，与y 轴 交于点 C，经过点A的直线bxy3与抛物线的另一个交点为D。 （1）若点 D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为。 （2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以 A、B、P为顶点的三角形与ABC相似， 求点 P的坐标。 （3）在（ 1）的条件下，设点E 是线段 AD上一点（不含端点） ，连接 BE ，一动点Q从点 B 出发，沿线段 BE以每秒 1 个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒 3 32 个单位运动到点D停止，问当点E的坐标 为多少时，点Q运动的时间最少？