《福建省三明市2015年普通高中毕业班质量检查理科数学试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省三明市2015年普通高中毕业班质量检查理科数学试题.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2015 年三明市普通高中毕业班质量检查 理科数学 本试卷分第I 卷( 选择题 ) 和第 II卷( 非选择题 ) ，第 II 卷第 21 题为选考题， 其他题为必考题 本 试卷共 6 页满分150 分考试时间120 分钟 注意事项： 1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2 考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域( 黑色线框 ) 内作答，超出 答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效. 3 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题 答案使用05 毫米的黑色中性( 签字 ) 笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚
2、4 做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 5保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 参考公式： 样本数据 1 x， 2 x， , ， n x的标准差锥体体积公式 222 12 1 ()()() n sxxxxxx n 1 3 VS h 其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 VSh 2 4SR， 34 3 VR 其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径 第卷（选择题共 50 分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题
3、目要求的. 1已知集合|10Ax x xxR， ，| 22BxxxR，那么 AB 等于 A B|01xxxR， C| 22xxxR，D | 21xxxR， 2已知样本M的数据如下：80，82，82，84，84， 84，86，86，86，86，若将样本M的数据分别加 上 4 后得到样本N的数据，那么两样本M，N的数字特征对应相同的是 A平均数B众数 C标准差 D中位数 3已知函数 22 ( )log (1)log (1)f xxx，则( )f x是 A奇函数 B 偶函数 C既是奇函数也是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数 4已知数列 n a的前n项和21 n n S，则数列 2 n a的前 10
4、 项和为 A 10 41 B 102 (21) C 101 (41) 3 D 101 (21) 3 5设平面与平面相交于直线m，直线 1 l在平面内，直线 2 l在平面内，且 2 lm， 则“ 1 l 2 l”是“”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6已知三棱锥的底面是边长为a的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，若侧视 图的面积为 3 4 ，三棱锥的体积为 1 4 ，则a的值为 A 3 4 B 3 2 C 3 4 D1 7已知Ra，那么函数( )cosf xaax的图象不可能是 A B C D 8已知函数 2 110, ( ) (1)1,0, x
5、x f x f xx ， 将函数( )( )1g xf xx的零点按从小到大的顺序排列，构 成数列 n a ，则该数列的通项公式为 O y x -1 1 2 O y x -1 1 2 O y x -1 1 2 O y x -1 1 2 A1 n an B n an C(1) n an n D an2 n2 9已知区域 11, ( , ) | 11 x x y y ，区域 | |1 (, )|0e, 1,1 2 x Ax yyx，在内随机投掷 一点M，则点 M 落在区域A内的概率是 A 11 (1) 2e B 11 (1) 4e C 1 e D 1 1 e 10若曲线( )yf x在点 11 (
6、,)A xy处切线的斜率为 A k，曲线( )yg x在点 22 (,)B xy处切线的斜 率为 B k（ 12 xx） ，将 | | ABkk AB 的值称为这两曲线在 A，B间的“异线曲度”， 记作(,)A B 现 给出以下四个命题： 已知曲线 3 ( )f xx， 2 ( )1g xx，且(1,1) ,(2 ,3)AB，则 2 (,) 2 AB； 存在两个函数( )yf x，( )yg x，其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数； 已知抛物线 2 ( )1f xx， 2 ( )g xx，若 12 0xx，则 2 5 (,) 5 A B； 对于曲线( )ex f x，( )e x g x，
7、当 12 1xx时，若存在实数t，使得(,)1tA B恒成立， 则 t的取值范围是1,) 其中正确命题的个数是 A1 B2 C3 D4 第卷（非选择题共 100 分） 二、填空题 : 本大题共5 小题，每小题4 分，共 20 分把答案填在答题卡相 应位置 11二项式 10 ()xa的展开式中， 7 x的系数是15，则实数a_ 开始 S0 T0 输入x x170? S=S+1 T=T+1 T500 ？ 输出S 结束 否 是 否 是 12某学校为调查高中三年级男生的身高情况，选取了500名男生作为样本，右图是此次调查统计 的流程图，若输出的结果是380，则身高在170cm以下的频率为 13若命题“
8、 2 1, 2,20xxaxa”为假命题，则实数a的取值范围 是 14过双曲线 22 22 1 xy ab (0,0)ab的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂 足恰在线段OF(O为原点 ) 的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 15如图，三条平行直线 12 ,lll把平面分成、四个区域（不含边界），且直线l到 12 ,ll 的距 离相等点O在直线l上，点A B,在直线 1 l上，P为平 面区域内的点，且满足 1212 (,)OPOAOBR 若P所在的区域为,则 12的取值范围是是 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13 分） 已
9、知集合 1,1, 2, 3A，从A中随机抽取两个不同的元素a b,，作为复数izab(i为 虚数单位 ) 的实部和虚部 （）求复数z在复平面内的对应点位于第一象限的概率； （）设 2 |z，求的分布列及其数学期望E. 17 （本小题满分13 分） 如图 1，在矩形ABCD中， 2AB ，1BC，将ACD!沿矩形的对角线AC翻折，得到如图 2 所示的几何体DABC ，使得 BD3 ( ) 求证：ADBC； ( ) 若在CD上存在点P，使得 1 2 PABCDABC VV，求二面角PABC的余弦值 18. （本小题满分13 分） 已知点 3 ( ,) 2 P cc在以( ,0)F c为右焦点的椭圆
10、 22 22 :1(0) xy ab ab 上，斜率为 1 的直线m 过点 F与椭圆交于A B,两点，且与直线:4lxc交于点M ( ) 求椭圆的离心率e； ( ) 试判断直线 PA，PM ，PB的斜率是否成等差数列？若成 等差数列，给出证明；若不成等差数列，请说明理由 19 （本小题满分13 分） 如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中6AD，C是AB的中点， 3 BCD， 设 BAD ，且 (,) 93 ( ) 若 4 ，求AB的长； ( ) 求BD的长( )f，并求( )f的最小值； ( ) 经市场调查发现， 某地对该种金属支架的需求量与有关，且需求量( )g 的 函数关系式为(
11、 )4sin66g（单位：万件） ，试探究是否存在某种规格 的金属支架在当地需求量为零？并说明理由 20 （本小题满分14 分） 已知函数 2 ( )ln(1)f xaxx ()aR （）当2a时，求函数( )f x的单调区间； A B C D P DC B A 图 1 图 2 D C B A （）当0,)x时，函数( )yf x图象上的点都在 0, 0 x xy 所表示的平面区域内，求实 数a的取值范围 （）将函数( )yf x的导函数 的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数 ( )yg x的图象，试证明：当 1 2 a时， ( )()22 nnn g xg x()nN 21
12、本题有（ 1） 、 （2） 、 （3）三个选答题，每题7分，请考生任选2 题作答，满分14 分如果多做， 则按所做的前两题记分作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所 选题号填入括号中 （ 1） （本小题满分7 分）选修42：矩阵与变换 已知矩阵 1 0 a M b （0,0ab） （）当2,3ab时，求矩阵 M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量； （ ） 当ab时 ， 曲 线 22 :1C xy在 矩 阵M的 对 应 变 换 作 用 下 得 到 曲 线C： 2 210xxy， 求a的值 （ 2） （本小题满分7 分) 选修 44：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系
13、xOy中，已知直线l的参数方程为 3 , 5 4 1 5 xt yt (t为参数 ) 以直角坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin （）求曲线C的直角坐标方程； （）若( ,)P x y是直线l与曲线C的内部的公共点，求xy的取值范围 （ 3） （本小题满分7 分) 选修 45：不等式选讲 已知不等式|2| 1x的解集与不等式 2 20xaxb的解集相同 （）求a，b的值； （）求函数( )3154f xaxbx的最大值及取得最大值时x的值 2015 年三明市普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考答案及评分标准 一选择题： 15 BCACB 610
14、 DDABC 二、填空题： 11 1 2 ；120.24；13 1 (,) 3 ；142；15(, 1)； 三解答题： 16解： （）从集合A中随机抽取两个不同的元素a b,，组成复平面内的对应点有 2 4 12A种，其 中位于第一象限的点有 2 3 6A种，所以所求的概率为 1 2 .,6 分 （） 2 22 = zab, =2,5,10,13,7 分 1 (2) 6 P, 1 (5) 3 P， 1 (10) 3 P， 1 (13) 6 P 2 5 10 13 P 1 6 1 3 1 3 1 6 ,11 分 111115 251013 63362 E. ,13 分 17解： （）当3BD时，
15、1AD，2AB， ADBD，又 ADDC ， AD平面BCD，而BC平面BCD， ADBC ,5 分 （） 如图， 以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所 在直线为 y轴，建立空间直角坐标系， 由（）知ADBC，又ABBC， BC平面 ABD， BC平面ABC，平面 ABD平面ABC， 过D作DHAB，则DHz轴，,7 分 在RtABD!中，1AD， 2AB ，可得 13 , 22 AHBH 故 33 (0,) 22 D， 1 2 PABCDABC VV，P为DC中点， 1 33 ( ,) 2 44 P 设平面PAB的法向量为( , , )x y zn， 则 0, 0, BA BP n n (
16、 , , ) (0,2,0)0, 1 33 ( , , ) (,)0, 2 44 x y z x y z 即 0, 13 0, 24 y xz ,9 分 取2z，则(3,0,2)n，又平面ABC的法向量为(0,0,1)m，,11分 则cos,m n | | m n mn 2 7 7 故二面角PABC的余弦值为 2 7 7 ,13 分 18解： （）因为点 3 ( ,) 2 P cc在椭圆 22 22 :1 xy ab 上，所以 22 22 9 1 4 cc ab . 整理得， 4224 41740aa cc，即 42 41740ee， 解得 1 2 e或2e ( 舍) ，所以离心率 1 2 e
17、. ,5 分 （）直线 PA，PM ，PB的斜率成等差数列，证明如下： 由( ）知，2 ,3ac bc，椭圆 222 :3412Exyc 直线m的方程为yxc代入椭圆方程并整理， 得 22 7880xcxc.,6 分 设 1122 (,),(,)A x yB xy，直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3， 则有 2 1212 88 , 77 cc xxxx. ,8 分 可知M的坐标为(4 ,3 )cc 所以 12 13 12 33 22 ycyc kk xcxc 2 1212 2 1212 7 2()5 2 1 () x xc xxc x xc xxc 2 3 2(3 ) 2 21
18、4 cc k cc ，,12 分 132 2kkk. 故直线 PA，PM ，PB的斜率成等差数列,13 分 19解法一：（）在ACD中，已知=6AD， 2 3 ACD， 3 ADC，由正弦定理得： 4 3 2 sin()sin 33 ACAD ，故 4 3 sin() 3 AC.,2 分 当 4 时, 4 3sin() 34 AC 4 3(sincoscossin) 3434 62 4 33 26 4 故AB的长为6 22 6,4 分 （）在 ABD中，已知=6AD ， =8 3sin() 3 AB，BAD，由余弦定理得： 222 2cosBDADABAD AB,5 分 2 368 3sin(
19、)2443sin()cos 33 2 36962sin()3sin()cos 33 231 36961cos(2 )3(cossin )cos 322 11333 3696cos2sin 2cos2sin2 42244 113 3696(cos2sin 2 ) 444 6048sin(2) 6 ,7 分 因为 (,) 9 3 ，所以 7 5 2(,) 6186 ，即sin(2)1 6 D C B A 6048sin(2)2 3 6 BD， 则BD的最小值为2 3，此时 sin(2) 6 =1，即 = 6 .,9 分 (用其它方法求出BD的表达式及最小值酌情给分) （）设x=6 , 2 (,2
20、) 3 x ,令( )4sinh xxx, 2 (,2 ) 3 x , 问题转化为在 2 (,2 ) 3 是否存在x的值，使是( )0h x,10 分 当(4,2 )x时, |sinx|1，必有( )4sin0h xxx； 当 2 (,4 3 x时, ( )4cos1h xx，因为 24 4 33 x，所以 1 1cos 2 x， 从而( )4cos10h xx,在 2 4 (,) 33 x恒成立，( )h x在区间 2 4 (,) 33 递减， 于是 44 4 ( )(4)()4sin2 340 333 h xhh 综上，在 2 (,2 ) 3 , ( )0h x 恒成立，故不存在某种规格的
21、金属支架,在当地需求量为零. ,13 分 解法二：（） ， （）同解一 （）设x=6 , 2 (,2 ) 3 x ，令( )4sinh xxx, 2 (,2 ) 3 x , 问题转化为在 2 (,2 ) 3 是否存在x 的值，使得使是( )0h x,10 分 ( )4cos1h xx,令( )0h x，得 1 cos 4 x, 2 (,2 ) 3 x,故存在 1 2 (, ) 3 x, 2 3 () 2 x，,使得 12 1 coscos 4 xx, 易知( )h x在 1 2 (,) 3 x单调递，在 ( 12) xx，递减，在 2 (,2 )x递增， 故在 2 (,2 ) 3 ,2 2 (
22、 )max(),() 3 h xhh x , 22 ()2 30 33 h ,注意到 2 3 () 2 x， ,且 2 11 cos 42 x , 43 32 x, 2 15 sin 4 x 这样 2222 154 ()4sin4()150 43 h xxxx,12 分 综上：在 2 (,2 ) 3 ,( )0h x恒成立，故不存在某种规格的金属支架, 在当地需求量为零 ,13 分 20解法一：（）当2a时， 2 ( )2ln(1)f xxx(1)x， 2 1(21) ( )40 11 x fxx xx ， 故函数( )f x的单调递增区间为( 1,). ,3 分 （）因函数( )f x 图象
23、上的点都在 0, 0 x xy 所表示的平面区域内， 则当0,)x时，不等式( )f xx 恒成立，即 2 ln(1)0axxx恒成立，、 设 2 ( )ln(1)g xaxxx(0x) ，只需 max ( )0g x即可 由 1 ( )21 1 gxax x 2(21) 1 xaxa x ，,4 分 ( ) 当0a时，( ) 1 x g x x ， 当0x时，( )0gx，函数( )g x 在 (0,) 上单调递减， 故( )(0)0g xg成立,5 分 ( ) 当0a时，由 2(21) ( )0 1 xaxa gx x ，因0,)x，所以 1 1 2 x a ， 若 1 10 2a ，即
24、1 2 a时，在区间(0,) 上，( )0g x， 则函数( )g x 在 (0,) 上单调递增，( )g x 在 0,) 上无最大值， 当x时，( )g x，此时不满足条件； 若 1 10 2a ，即 1 0 2 a时，函数( )g x 在 1 (0,1) 2a 上单调递减， 在区间 1 (1,) 2a 上单调递增，同样( )g x 在 0,) 上无最大值， 当 x时，( )g x，不满足条件,7 分 ( ) 当0a时，由 2(21) ( ) 1 xaxa gx x ，0,)x， 2(21)0axa， ( )0gx，故函数( )g x 在 0,) 上单调递减， 故( )(0)0g xg成立,
25、8 分 综上所述，实数a的取值范围是(,0 ,9 分 （） 1 ( )2 1 fxax x ， 1 g( )2 (1)1xa x x ， 当 1 2 a时， 1 g( )(0)xxx x ,10 分 ( )() nn g xg x 11 nn n xx xx ()() 11221 21 11111 nnnnnn nnnn nnn xC xC xCxCx x xxxx () 122412nnnn nnn C xC xCx. 令T 122412nnnn nnn C xC xCx， 则T 122412nnnnn nnn CxCxC x 122412nnnn nnn C xC xCx. x0， 2T
26、122244144nnnnnnn nnn CxxCxxCxx()()() 122244122 222 nnnnnnn nnn CxxCxxCxx 121 2 n nnn CCC() 01210 2 nnn nnnnnnn CCCCCCC()2 22 n (). 22 n T，即( )()22 nnn g xg x. ,14 分 解法二：（） ， （）同解一 （） 1 ( )2 1 fxax x ， 1 g( )2 (1)1xa x x ， 当 1 2 a时， 1 g( )(0)xxx x ，,10 分 ( )() nn g xg x 11nn n xx xx ()() 设 11 ( )()()
27、 nn n h xxx xx ， 当1n时，结论成立； 当2n时， 11 21 11 ( )()(1)() nn n n h xn xnx xxx 2122 1( 1)(1)(1) nn n n xxx x 当1x时， 2 222 2 1 1 1 n nx xx x 22222 1(1)(1) nn xxxx， 当1x时，上式显然成立. 2 21222 1 (1) ( )(1)(1) nn n n x h xxxx x 2 12422622 111 1 (1) (1)(1)(1) nnn nnn n n x CxCxCx x 当(0,1)x时，( )0h x；当(1,)x时，( )0h x (
28、 )(1)22 n h xh ( ) ()22 nnn g xg x，()nN. ,14 分 解法三：（） ， （）同解一 （） 1 ( )2 1 fxax x ， 1 g( )2 (1)1xa x x ， 当 1 2 a时， 1 g( )(0)xxx x ,10 分 ( ) () nn g xg x 11nn n xx xx ()() 以下用数学归纳法证明不等式 ( )()22 nnn g xg x. 当1n时，左边 11 0xx xx ()()，右边 1 220，不等式成立； 假设当nkk N()时，不等式成立，即 11 kk k xx xx ()()22 k ， 则 11 1 11 kk
29、 k xx xx ()() 1 1 111111 kkkk kkk xxxxxx xxxxxx ()()()()()() 111 kk k xxx xxx ()()() 1 1 1 k k x x () 1 1 11 2222 kk k xx xx 1 22 k . 也就是说，当1nk时，不等式也成立. 由可得，对n N，( )()22 nnn g xg x都成立 . ,14 分 21 （1）解： （） 2 1 0 3 M ，令 2 -1 ( ) 0 -3 f( -2)( -3) 0， 得2或3， 当2时，由 11 2 1 2 0 3 ，得 1 1 0 ， 当3时，由 22 2 1 3 0 3
30、 ，得 2 1 1 ， 所以对应特征值为2的一个特征向量是 1 1 0 ； 对应特征值为3 的一个特征向量是 2 1 1 ,4 分 （）设曲线C上的点( ,)P x y在矩阵 M的作用下变成(,)P x y ，则 1 0 axx byy ，即 , , xaxy yay 将变换公式代入曲线C： 2 210xxy可得， 2 ()2()10axyaxy y，即 222 10a xy，即为曲线:C 22 1xy， 2 1a，又0a，1a,7 分 （ 2）解法一：（）2sin， 2 2sin， 22 2xyy，即 22 (1)1xy， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 (1)1xy,4分 （）法一： 3
31、41 (1)1 555 xyttt，而11t， 111 555 t， 614 1 555 t， 即xy的范围是 64 (,) 55 ,7 分 解法二：（）同解法一 （）联立 22 4 1, 3 (1)1, yx xy 解得 1 1 3 , 5 9 , 5 x y 或 2 2 3 , 5 1 . 5 x y xy的范围是 64 (,) 55 ,7 分 （3）解：（）不等式|2| 1x的解集为|13xx， 所以方程 2 20xaxb的两根为1,3xx. 13, 2 13, 2 a b 解得8,6ab. ,4 分 （）由（）可知，( )836 154f xxx4 4126 154xx， 定义域为 5 |3 4 xx . 所以 22222 (46 )(412)( 154 ) (44126 154 )xxxx. 则( )3 14f x，当且仅当 42 13 x时取等号 . 故当 42 13 x 时，( )f x的最大值为 3 14. ,7 分