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1、资料 知识点串讲 必修四 资料 第一章：三角函数 1.11 任意角 1、角的有关概念： 角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 角的名称： 角的分类： 2、象限角的概念： 定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边( 端点除外 ) 在第 几象限，我们就说这个角是第几象限角 终边相同的角的表示： 所有与角 终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S | = + k360 ， kZ ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和 注意： kZ 是任一角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个
2、，它们相差 360的整数倍； 角 + k 720 与角 终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角 3、写出终边在y轴上的角的集合( 用 0到 360的角表示 ) 解: | = 90 + n 180,nZ 4、已知 角是第三象限角，则2， 2 各是第几象限角？ 解：角属于第三象限， k360+180 k360+270(kZ) 因此， 2k360+360 2 2k360+540(k Z) 即(2k +1)360 2 (2k +1)360 +180(kZ) 故 2是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角 又k180 +90 2 k180+135(kZ) 当k为偶数时，令k=2n(nZ)，则n360
3、+90 2 n360+135(nZ) ， 当k为奇数时，令k=2n+1 (nZ) ，则n360+270 2 n360+315(nZ) ， 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 资料 因此 2 属于第二或第四象限角 1.1.2弧度制 1、弧度制 我们规定 , 长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在 弧度制下 , 1弧度记做1rad 在实际运算中，常常将rad 单位省略 2、 弧度制的性质： 半圆所对的圆心角为 ; r r 整圆所对的圆心角为 .2 2 r r 正角的弧度
4、数是一个正数负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数是零角 的弧度数的绝对值| |= . r l 3、弧长公式 rl r l 弧长等于弧所对应的圆心角( 的弧度数 ) 的绝对值与半径的积 ., 2 1 6.是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例RllRS 证法一 : 圆的面积为 2 R , 圆心角为1rad 的扇形面积为 2 2 1 R , 又扇形弧长为l, 半径为 R, 扇形的圆心角大小为 R l rad, 扇形面积 lRR R l S 2 1 2 1 2 证法二 : 设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为360 2 Rn S ，又此时弧长 180 Rn l ， RlR
5、Rn S 2 1 1802 1 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多 2 2 1 2 1 :RlRS扇形面积公式 资料 1.2.1任意角的三角函数 1、三角函数定义 在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P（除了原点）的坐标为( ,)x y，它与 原点的距离为 2222 (|0)r rxyxy，那么 （1）比值 y r 叫做的正弦，记作sin，即sin y r ； （2）比值 x r 叫做的余弦，记作cos，即cos x r ； （3）比值 y x 叫做的正切，记作tan，即tan y x ； （4）比值 x y 叫做的余切，记作cot，
6、即cot x y ； 2三角函数的定义域、值域 3、求函数 x x x x y tan tan cos cos 的值域 解：定义域： cosx0 x 的终边不在x 轴上又 tanx0 x 的终边不在y 轴上 当 x 是第象限角时，0,0 yx cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 ,0, 0 yx|cosx|=cosx |tanx|=tanx y= 2 , 0,0 0,0 yx yx |cosx|=cosx |tanx|=tanx y=0 4、诱导公式 )Z(tan)2tan( )Z(cos)2cos( )Z(sin)2sin( kk kk kk 5、三角函数线的定义： 设任
7、意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P ( ,)x y， 过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延 长线交与点T. 函数定义域值域 siny R 1,1 cosy R 1,1 tany |, 2 kkZR ox y M T P A x y oM T P A 资料 由四个图看出： 当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMx MPy，于是有 sin 1 yy yMP r ，cos 1 xx xOM r ，tan yMPAT AT xOMOA 我们就分别称有向线段,MP OMAT为正弦线、余弦线、正切线。 说明： （1）三条有向线
8、段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到 x轴的垂直线段； 余弦线在 x轴上； 正切线在过单位圆与 x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条 在单位圆内，一条在单位圆外。 （2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂 足；正切线由切点指向与的终边的交点。 （3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与 x轴或 y 轴同向的为正值，与 x轴或 y 轴反向的 为负值。 （4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 6、利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1 3 2 sin与 5 4 sin 2 3 2 tan与 5 4 tan 解：如图
9、可知： 3 2 sin 5 4 sin tan 3 2 tan 5 4 ox y M TP A x y o M T P A （） （） （） （） 资料 1.2.2同角三角函数的基本关系 1、 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： 1. （1）商数关系： con sin tan（2）平方关系：1sin 22 con 2、已知 12 sin 13 ，并且是第二象限角，求cos,tan,cot 解： 22 sincos1， 2222125 cos1sin1()() 1313 又是第二象限角，cos0，即有 5 cos 13 ，从而 sin12 tan cos5 ， 15 cot tan12 3
10、、已知cos2sin，求 cos2sin5 cos4sin 4、求证： cos1sin 1sincos xx xx 证法一：由题义知cos0x，所以1sin0,1sin0xx 左边 = 2 cos (1sin)cos (1sin ) (1sin)(1sin )cos xxxx xxx 1sin cos x x 右边 原式成立 证法二：由题义知cos0x，所以1sin0,1sin0xx 又 22 (1 sin )(1 sin )1sincoscoscosxxxxxx， cos1sin 1sincos xx xx 证法三：由题义知cos0x，所以1sin0,1sin0xx cos1sin 1sin
11、cos xx xx coscos(1sin)(1sin ) (1sin)cos xxxx xx 22 cos1 sin 0 (1 sin )cos xx xx ， cos1sin 1sincos xx xx 22 2sin2sincoscos 资料 13 诱导公式 1、诱导公式（一） tan)360tan(cos)360(cossin)360sin(kkk 诱导公式（二） tan)180tan(cos)180cos(sin)180sin( 诱导公式（三） tan)tan(cos)cos(sin)sin( 诱导公式（四） sin( )=sin cos( )=cos tan( ) =tan 诱导公
12、式 (五) sin) 2 cos(cos) 2 sin( 诱导公式（六） sin) 2 cos(cos) 2 sin( 2、化简：. ) 2 9 sin()sin()3sin()cos( ) 2 11 cos() 2 cos()cos()2sin( 3、. )3cos(4 )3tan(3)sin(2 ,0cossin, 5 4 )sin(的值求且已知 4、化简 : );2cos()2sin( 2 5 sin 2 cos )1(. )sin( )360tan( )(cos)2( o 2 5、. 2 7 30 2 1 cos,sin 2 的两根，且的方程是关于已知axxx . )900sin()1
13、80cos( )6cos()2sin()6tan( 的值求 资料 1.4.1正弦、余弦函数的图象 1、 正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线 2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x0 ， 2 的图象中， 五个关键点是： (0,0) ( 2 ,1) (,0) ( 2 3 ,-1) (2,0) 余弦函数y=cosx x0,2 的五个点关键是哪几个？(0,1) ( 2 ,0) (,-1) ( 2 3 ,0) (2,1) 3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合： 1 (1)sin; 2
14、 x 15 (2)cos,(0). 22 xx 1.4.2 正弦、余弦函数的性质 1、奇偶性： y=cosx是偶函数 y=sinx是奇函数。 2、单调性 正弦函数在每一个闭区间 2 2k， 2 2k(kZ) 上都是增函数， 其值从 1 增大到 1； 在每一个闭区间 2 2k， 2 3 2k(kZ)上都是减函数，其值从1 减小到 1. 余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1 增加到 1； 在每一个闭区间2k， (2k1) (kZ)上都是减函数，其值从1 减小到 1. 3、有关对称轴 观察正、余弦函数的图形，可知 y=sinx的对称轴为x= 2 k kZ y=cosx
15、的对称轴为x=k kZ 4、判断下列函数的奇偶性 (1) 1sincos ( ); 1sincos xx f x xx (2) 2 ( )lg(sin1sin);f xxx y=cosx y=sinx 2 345 6 - -2 -3 -4 -5 -6 -6 -5 -4 -3-2- 6 54 3 2 -1 1 y x -1 1 o x y 资料 1.4.3正切函数的性质与图象 1、正切函数tanyx的定义域是什么？ zkkxx, 2 | 2、Rxxytan，且zkkx 2 的图象，称“正切曲线”。 3、正切函数的性质（1）定义域： zkkxx, 2 | ； （2）值域： R 观察：当x从小于zk
16、k 2 ， 2 kx 时，tanx 当x从大于zkk 2 ， kx 2 时，xtan。 （3）周期性：T； （4）奇偶性：由xxtantan知，正切函数是奇函数； （5）单调性：在开区间 zkkk 2 , 2 内，函数单调递增。 4、求下列函数的周期： （1）3tan 5 yx 答：T。（2）tan 3 6 yx 答： 3 T。 说明：函数 tan0,0yAxA 的周期T 5、求函数 3 3tanxy的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性， 解： 1、由 23 3kx得 18 5 3 k x，所求定义域为zk k xRxx, 18 5 3 ,| 且 2、值域为R，周期 3 T， 3 、
17、在区间zk kk 18 5 3 , 183 上是增函数。 O 0 2 3 2 2 2 3 y y x x 资料 1.5函数 y=Asin(wx+ )(A0，w0)的图象 1、函数 y = Asin(wx+) ，(A0，w0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左(0) 或向右 (0) 平移 | 个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w1) 或伸长 (01) 或缩短 (0 0 ，(a)b =|a|b|cos，(a b) =|a|b|cos，a(b) =|a|b|cos， 若 0， (a)b=|a|b|cos() = |a|b|(cos ) =|a|b|cos，(a b) =|a|b
18、|cos， a(b) =|a|b|cos() = |a|b|(cos ) =|a|b|cos. 3分配律： (a + b)c = ac + b c 在平面内取一点O，作OA= a， AB= b，OC= c， a + b（即OB）在c方向上的投影等 于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos 1 + |b| cos2 | c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， c(a + b) = c a + c b即： (a + b)c = a c + b c 说明： （1）一般地， () （ ） （2） ， 0 （3）有如下
19、常用性质： ， （） （） 5、已知 |a|=12 ， |b|=9 ，254ba，求a与b的夹角。 6、已知 |a|=6 ， |b|=4 ， a与b的夹角为60 o 求： （1）(a+2b) (a -3b). （2）|a+b| 与|a-b|. （ 利用 aaa | ） 7、已知 |a|=3 ， |b|=4 ， 且a与b不共线， k 为何值时，向量a+kb 与 a-kb 互相垂直 . 资料 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 即ba 2121 yyxx 2、平面内两点间的距离公式 （ 1）设),(yxa，则
20、222 |yxa或 22 |yxa. （ 2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),( 11 yx、),( 22 yx， 那么 2 21 2 21 )()(|yyxxa( 平面内两点间的距离公式) 3、 向量垂直的判定 设),( 11 yxa，),( 22 yxb，则ba0 2121 yyxx 4、 两向量夹角的余弦（0） cos = |ba ba 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 5、已知a（，3） ，b（3，3），则a与b的夹角是多少? 分析：为求a与b夹角，需先求ab及ab，再结合夹角 的范围确定其值. 解：由a（，3） ，b（3，3） 有ab3
21、3（3），a，b2 记a与b的夹角为，则 2 2 ba ba 又 ， 4 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 6、在ABC中，AB=(2 ， 3) ，AC=(1，k) ，且ABC的一个内角为直角，求k值. 解：当A = 90时，AB AC= 0 ，21 +3k= 0 k = 2 3 资料 当B = 90时，AB BC= 0 ，BC=ACAB= (12，k3) = (1，k3) 2( 1) +3 (k3) = 0 k = 3 11 当C = 90时，AC BC= 0 ，1 + k(k3) = 0 k = 2 133 2.5.1平面几何中的向量方法 例 1. 已知AC为O的一条直
22、径，ABC为圆周角 . 求证：ABC90 o. 证明：设,OCaAO, bOB,ba , baOBAOAB,baBC ,0)()( 22 bababaBCAB ,BCAB o ABC90 2.5.2向量在物理中的应用举例 1、如图，一条河的两岸平行，河的宽度d500 m，一艘船从A处出发到河对岸. 已知船的速度| 1 v| 10 km/h ，水流速度 | 2 v| 2 km/h ，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min ）？ A B O C 资料 资料 第三章：三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式 1、两角和差的余弦公式：cos()coscossinsin 2、利用和、差
23、角余弦公式求cos75、cos15的值 . 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差. 232162 cos75cos 4530cos45 cos30sin 45 sin30 22224 232162 cos15cos 4530cos45 cos30sin45 sin30 22224 3、已知 4 sin 5 ， 5 ,cos, 213 是第三象限角，求cos的值 . 解：因为, 2 ， 4 sin 5 由此得 2 243 cos1sin1 55 又因为 5 cos, 13 是第三象限角，所以 2 2 512 sin1cos1 1313 所以 3541233 cos()coscossin
24、sin 51351365 资料 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） 1、 sincoscoscoscossinsin 2222 sincoscossin sinsinsincoscossinsincoscossin 2、 sin sincoscossin tan coscoscossinsin tantan tantan tantan 1tantan1tantan 3、已知 21 tan,tan, 544 求tan 4 的值（ 3 22 ） 4、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1） 、sin 72 cos42cos72 sin42； （2） 、cos20 cos70si
25、n 20 sin70； （3） 、 1tan15 1tan15 解： （1） 、 1 sin 72 cos42cos72 sin 42sin 7242sin30 2 ； （2） 、cos20 cos70sin20 sin 70cos 2070cos900； （3） 、 1tan15tan45tan15 tan 4515tan603 1tan151tan45 tan15 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二） 1、化简2 cos6sinxx 解： 资料 13 2cos6 sin2 2cossin2 2 sin30 coscos30 sin2 2 sin 30 22 xxxxxx 2、
26、归纳： b a babatan)sin(cossin 22 3、已知：函数Rxxxxf,cos32sin2)( （ 1）求)(xf的最值。（2）求)(xf的周期、单调性。 4、已知 A、 B、C为ABC的三內角，向量)3, 1(m，)sin,(cosAAn，且1nm， （ 1）求角 A。 （2）若3 sincos cossin21 22 BB BB ，求 tanC 的值。 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 1、 sin2sinsincoscossin2sincos； 22222 cos2cossin1sinsin12sin； 22222 cos2cossincos(1 cos)2cos
27、1 2 tantan2tan tan2tan 1tantan1tan 注意：2, 22 kkkz 2、已知 5 sin 2, 13 42 求sin 4 ,cos 4 , tan4的值 解：由, 42 得2 2 资料 又因为 5 sin 2, 13 2 2512 cos21sin 21 1313 于是 512120 sin 42sin 2cos22 1313169 ； 2 25119 cos412sin 212 13169 ； 120 sin4120 169 tan4 119 cos4119 169 3、在 ABC中， 5 4 cos A，。BAB的值求)22tan(,2tan 4、已知 1 t
28、an2, 3 求tan的值 解： 2 2 tan1 tan2 1tan3 ，由此得 2 tan6tan10 解得tan25或tan25 5、已知的值求)2tan(, 3 1 tan, 7 1 tan 3.2简单的三角恒等变换 1、试以cos表示 222 sin,cos,tan 222 解：我们可以通过二倍角 2 cos2cos1 2 和 2 cos12sin 2 来做此题 因为 2 cos12sin 2 ，可以得到 21cos sin 22 ； 因为 2 cos2cos1 2 ，可以得到 21cos cos 22 资料 又因为 2 2 2 sin 1cos 2 tan 21cos cos 2
29、2、已知 13 5 sin，且在第二象限，求 2 tan 的值。 3、求证： （） 、 1 sincossinsin 2 ； （） 、sinsin2sincos 22 证明： （）因为sin和sin是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手 sinsincoscossin；sinsincoscos sin 两式相加得2sincossinsin； 即 1 sincossinsin 2 ； （）由（）得sinsin2sincos；设,， 那么, 22 把,的值代入式中得sinsin2sincos 22 4、. 5 4 sin, 2 0已知的值求 2coscos 2sinsin )1( 2 2 ；
30、的值求) 4 5 tan()2( 解： （1）由, 5 4 sin, 2 0得, 5 3 cos .20 1cos3 cossin2sin 2coscos 2sinsin 2 2 2 2 （2）. 7 1 tan1 1tan ) 4 5 tan(, 3 4 cos sin tan 5、.10tan3150sin）（利用三角公式化简 资料 解：）（原式 10cos 10sin3 150sin 10cos )10sin 2 3 10cos 2 1 (2 50sin 10cos 10sin30cos10cos30sin 50sin2 10cos 40sin 40cos2 1 10cos 10cos
31、10cos 80sin . 6、已知函数xxxxxf 44 sincossin2cos)( （1）求)(xf的最小正周期， （2）当 2 ,0x时，求)(xf的最小值及取得最小值时x的集合 7、把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边 与角为自变量） 解： （1）如图，设矩形长为l，则面积 22 4lRlS， 所以,4)()4( 22222222 lRllRlS当且仅当,2 2 42 2 2 R R l 即Rl2时， 2 S取得最大值 4 4R，此时S取得最大值 2 2R，矩形的宽为 R R R 2 2 2 2 即长、宽相等，矩形为圆内接正方形. （2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为，矩形长与宽分别为 sin2R、cos2R，所以面积2sin2sin2cos2 2 RRRS. 而12sin，所以 2 2RS，当且仅当12sin时，S取最大值 2 2R，所以当且仅当902即 45时，S取最大值，此时矩形为内接正方形. 8、已知半径为1 的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并 求最大面积时的值 解：设,SOP则,cos,sinOSSP 故 S四边形 PQRS2sincos2sin 故为45时， 1 max S PQ RSO