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1、数项级数及其收敛性 无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追 溯到两千多年前， 在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想，而 无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的。古希腊时期， 亚里 士多德就知道公比小于1（大于零）的等比级数可求出和数；阿 基米德在抛物线图形求积法一书中，使用几何级数去求抛物 弓形面积，并且得出级数 23 11114 1 44443 n 的和；关于无 穷级数，数学史上有个著名的芝诺悖论。“两分法 ” ：向着一个目 的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点， 又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通 过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。
2、结论是：无穷是不可 穷尽的过程，运动永远不可能开始的。庄子亦说 一尺之棰，日 取其半，万世不竭。 但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。 要解决这个悖论， 需要引进极限方法。 研究无穷级数及其和， 可 以说是研究数列及其极限的另一种形式，尤其在研究极限的存在 性及计算极限方面显示出很大的优越性. 它在表达函数、研究函 数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用, 在解决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用. 一、级数基本概念 定义 1设给定一个数列 ， n uuuu 321 ，则表达式 n uuu 21 称为 无穷级数 ，简称 级数 ，记作 1n n u ，即 n n n
3、uuuu 21 1 ， 其中称为级数的 第项，也称一般项或通项 ，如果是常数，则级数 1n n u 称为 常数项级数 ， 如果是函数，则级数 1n n u 称为 函数项级数 其实，在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等 比数列 : 2 ,(1) n a aq aqaqq,各项的和 2 1 n a aaqaqaq q ； 另外，无限循环小数也是无穷级数，比如： 1 0.3 3 10 3 3.0 ， 2 10 3 03.0 ， n 10 3 030 .0 ，所以有 n 10 3 10 3 10 3 3 1 2 显然，越大，这个近似值就越接近 3 1 ，根据极限的概念可知 ) 10 3 10
4、 3 10 3 (lim 3 1 2n n ， 也就是说 n 10 3 10 3 10 3 3 1 2 由以上两个实例可以得到两个重要结论： 结论： 1、在一定条件下无穷多个数的和是有意义的，即等于一 个常数。 2、一个有限的数可以表示成无穷多个数的和。 无穷级数主要就是学习以上这两方面的内容，即一，无限项相 加的形式在什么条件下有“和” ，这种“和”的确切意义是什么？ 如讨论数项级数的敛散性、函数项级数的敛散性、 收敛域以及级 数的和；二、在一定条件下如何将一个函数展开成无穷级数，如 函数的幂级数展开式。 无穷级数是无穷多个数累加的结果，虽然 在形式上也写成用加号连接的一个式子，在意义上却与
5、过去熟悉 的有限项的和完全不同，从有限到无限，发生了质的变化。实例 的方法告诉我们， 可以先求有限项的和， 然后运用极限的方法来 解决这个无穷多项的求和问题然而有限个数相加的和一定存 在，无限个数相加是否一定有和呢？满足怎样的条件才能有和 呢？和又怎样确定呢？下面借助极限这个工具来对这些作出解 答我们引入部分和概念： 把级数 1n n u的前项之和 n uuu 21 (2) 称为该级数的前项部分和 ，记为，即 nn uuus 21 . 当依次取 , 3 ,2, 1时，它们构成一个新的数列 n s： 11 us 212 uus 3213 uuus nn uuuus 321 称此数列为级数 1n
6、n u的前项部分和数列 . 根据前项部分和数列是否有极限，我们给出级数 (1) 收敛与发 散的概念 . 定义 2 当无限增大时，如果级数 1n n u的前项部分和数列 n s有极限，即 ssn n lim 则称级数 1n n u收敛 ，这时极限称为级数 1n n u的和，并记为 n uuuus 321 如果前项部分和数列 ns没有极限，则称级数 1n n u发散. 当级数 1n n u收敛于时，则其前项部分和是级数 1n n u的和的近 似值，它们的差 knnnnn uuussr 21 称为级数 1n n u的余项. 显然0lim n n r， 而 n r是用近似代替所产生的 误差 . 注：
7、（1）由级数定义，级数 1n n u与其前项部分和数列 n s同 时收敛或同时发散，且收敛时 1n n u= n n slim. （2）收敛的级数有和值，发散的级数没有“和”. 在数项级数中， 应用较多的是我们已经熟悉的由等比数列构 成的级数，这类级数简称等比级数 （或称 几何级数 ） 例 1 试讨论等比级数 2 (0) n aaqaqaqa 的收敛性 解根据等比数列前项的求和公式可知，当1q时，所给级 数的部分和 1 1 n n q sa q 于是，当1q时， 1 limlim 11 n n nn qa sa qq 由定义 2 知，该等比级数收敛，其和 1 a s q ，即 1 1 1 n
8、n a aq q 当1q时， 1 limlim 1 n n nn q sa q 所以这时该等比级数发散 当1q时， naSn （当n） ，因此该等比级数发散 当1q时， 为偶数，当 为奇数，当 n na aaaaS n n 0 ) 1( 1 部分和数列 不存在极限，故该等比级数发散 综上所述可知：等比级数 1 1 n n aq，当公比1q时收敛；当公 比1q时发散 例 2判别无穷级数 1 )1( 1 43 1 32 1 21 1 )1( 1 n nnnn 的敛散性。 解：由于 un= ) 1( 1 nn = ) 1( 11 nn 因此sn= ) 1( 1 32 1 21 1 nn =（2 1 1 ）+（3 1 2 1 ）+ （1 11 nn） = 1 1 1 n 。 而 n n slim = ) 1 1 1 (lim n n =1 所以该级数收敛于和1。 例 3证明 1+2+3+n+是发散级数。 证： 此级数的部分和为 sn=1+2+3+n = 2 )1(nn 显然， n n slim = ，因此级数是发散级数。