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1、1 浅谈解析几何题的解题策略 解析几何题是同学们最害怕的题型，不仅计算量大， 而且有时不知从何算起，找不到问 题的切入点。在高考中这类题得分率较低。作为教者，我们要在平时鼓励大家动笔，争取获 得步骤分；引导学生进行总结，加快问题的切入，争取时间有目的地去计算。 在二轮复习中，我想这样搭建本节的解题体系： 一、 与一些特殊条件有关的问题可优先特殊解法，减少运算提高准确率。与定义中的 量有关的问题可用几何法解题，与线段乘积有关的问题可用直线的参数方程，与过原点有 关的长及角度问题可用极坐标方程。今年高江苏高考题就出现了与焦点有关的线段的求值、 证明题，用通法去解运算量就较大。 例 1、 （2012
2、 年江苏省16 分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1( 0)Fc， 2( 0)F c，已知(1)e，和 3 2 e， 都在椭圆上，其中e为椭圆的离 心率 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设,A B是椭圆上位于x轴上方的两点， 且直线 1 AF与直线 2 BF平行， 2 AF与 1 BF交于 点 P （i ）若 12 6 2 AFBF，求直线 1 AF的斜率； （ii ）求证： 12 PFPF是定值 解： （1）由题设知， 222 = c abce a ，由点 (1)e，在椭圆上，得 222 22222222 22222 11
3、 1=1=1 ec bca baa bb abaa b ， 22 =1ca。由点 3 2 e， 在椭圆上，得 2 22 222 422 2244 33 22 13 11144=0=2 14 eca aaa abaa 椭圆的方程为 2 2 1 2 x y。 （2）由（ 1）得 1( 1 0)F， 2(1 0) F，又 1 AF 2 BF， 设 1 AF、 2 BF的方程分别为=1=1my xmy x， 112212 00A xyB xyy y ，。 2 2 21 22 1 111 2 11 221 221=0= 2 2 =1 x mmy mymyy m myx 。 22 2 222 22 111
4、11 22 211 22 =10 =1 22 mm m mm AFxymyym mm 。 同理， 22 2 2 211 = 2 mm m BF m 。 （i ）由得， 2 12 2 21 2 m m AFBF m 。解 2 2 216 = 22 m m m 得 2 m =2。 注意到 0m ，= 2m。 直线 1 AF的斜率为 12 = 2m 。 （ii）证明： 1 AF 2 BF， 2 11 BFPB PFAF ，即 2121 1111 11 BFPBPFBFAFPB PFAFPFAF 。 1 11 12 = AF PFBF AFBF 。 由点B在椭圆上知， 12 2 2BFBF， 1 12
5、 12 =2 2 AF PFBF AFBF 。 同理。 2 21 12 =22 BF PFAF AFBF 。 122 1221 121212 2 +=2 2222 2 AFBFAF BF PFPFBFAF AFBFAFBFAFBF 3 由得， 2 1 2 2 21 = 2 m AFBF m ， 2 2 1 = 2 m AF BF m ， 12 23 +=2 2=2 22 PFPF。 若能找到焦点三角形中的边角关系，用几何法运算量就较小。设 1 AF的倾斜角为，借助 余弦定理及定义得出, cos- 2 1 ca b AF, cos 2 2 ca b BF由 21 - BFAF= 2 2 3 6
6、cos 2 6 k （ii ）证明： 1 AF 2 BF， 2 11 BFPB PFAF ，即 2121 1111 11 BFPBPFBFAFPB PFAFPFAF 。 1 11 12 = AF PFBF AFBF 。 由点B在椭圆上知， 12 2 2BFBF， 1 12 12 =2 2 AF PFBF AFBF 。 同理。 2 21 12 =22 BF PFAF AFBF 。 2 2 3 -2 11 2 -2 2 21 21 a b a BFAF aPFPF 例 2： （与长度乘积有关系的巧用直线的参数方程） 说明理由。 的方程，若不存在，若存在，求出直线，使的直线两点，问是否存在这样 与椭
7、圆相交于，直线，且，相交于点与直线若直线已知椭圆方程为 22 22121 22 1, 1, 1 48 lPBAPlBA lllOPPll yx 所以不存在这样的直线 矛盾，而 联立椭圆方程有：的坐标为的参数方程为解：设直线 05,cos,sin, 1- sin2cos 8-2 - 08-2sin4cos2sin2cos , sin cos 22 0 22 022 2 0 2 0 21 2 0 2 000 222 00 0 0 2 yx yx PBAPtt yxtyxt yxP tyy txx l 4 如果采用常规的普通方程，点的坐标就较多，不少同学半途而废。 二、常规方法：处理好图形的位置关系
8、、度量关系的代数化：（1）点在线上，线线相交常 常采用设点代入或解出点的坐标或找到点的坐标的方程；（2）熟悉距离用坐标表示的弦长 公式及特殊条件下的过焦点的弦长公式；（3）面积表达式中尽量采用分割与坐标相结合的 方法；（4）垂直关系可用斜率与数量积相结合的方法；（5）变中有定问题采用先猜再证的 思想，也可采用求值题中的先设再求或方程的思想；（ 6）范围问题先找等式，确立研究的 函数及方程，也可通过图像之间关系直接观察出不等式。同学们问题较大的主要是题中出 现的点过多情形，这类问题用常规的韦达定理式较难完成，此时可考虑设点代入整体消元 法。下面以一题为例介绍多点在线上的问题怎样处理。 求出坐标。
9、的位置关系，若相交，与，试判断直线与椭圆交于点，与椭圆交于点 两点，与椭圆交于的斜率为直线的坐标为点：已知椭圆方程为例 ABCDDBPC lPyx AP BA, 2 1 -),1 , 1 (,1023 22 解：这题属于变中有定的问题，可先猜再证，由特殊点我们可猜出平行关系。在证明时 最先想到的等价结论是证明斜率关系，但斜率关系依靠韦达定理的坐标式很难转化，所以我 们可考虑证明比例的值相等，而比例式为坐标关系提供了条件，易于代换。 两直线平行 又 即： 椭圆上不难得出： ，由这些点在则 （设 , 11 , 2 1 - - - ;102;102 2102-122;1102-122 10-12-1
10、;10-12-1 1-1,1-1,1-1,1-1 ,), 21 212 2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 22 2 2 11 2 1 22 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 24241313 44332211 xx yy yxyx yxyxyxyx yxyx yyxxyyxx PBPDPAPCyxDyxCyxByxA 一般，题中出现了交点的线性关系时，坐标有一定的对称性，为整体消元带来方便，所以 当我们碰到这种坐标条件时可考虑代点法。如下两题都可 为定值证明若 ，轴于两点，交作直线交椭圆于过椭圆的右焦点已知椭圆方程为 的取值范围。求实数在椭圆上，且，已知椭圆的方程为 2121 2 2 22 , ,1 5 2 ,3,0, 1 49 1 BFMBAFMA MyBAFy x DNDMNMD yx