《【优质文档】第三章三角函数恒等变换.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优质文档】第三章三角函数恒等变换.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载 第二章三角函数恒等变换 两角和差的正弦、余弦、正切二倍角 【学习目标】 1. 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解 推导过程，掌握其应用. 2. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 3. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 4. 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 5. 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 6. 二倍角的理解及其灵活运用. 【自主学习】 一、选择题 1化简)sin()s
2、in()cos()cos(为（） A)2sin(B)sin(C)cos(D)2cos( 2已知3tan，则 22 cos9cossin4sin2的值为（） A3B 10 21 C 3 1 D 30 1 3已知 sin 4sin ), 4 , 4 (, 5 4 2则 的值为（） A 25 24 B 25 24 C 5 4 D 25 7 二、填空题 1若 cos2 = 5 3 , 则 sin4 cos4)= . 2若是锐角，且 1 sin 63 ，则 cos的值是 350tan70tan350tan70tan= . 4函数xxxycossincos 2 的最大值是 答案： 选择题： CBB 二、填
3、空题：1 5 3 ；2 2 61 6 ； 33; 4 2 21 . 提示： 12是锐角， 1 ,sin,0, 6636363 而 222 61 cos,coscos 63666 学习必备欢迎下载 【知识点拨】 一、公式导入 1. coscoscossinsin；coscoscossinsin sincoscoscoscossinsin 2222 sincoscossin sinsinsincoscos sinsincoscossin 让学生观察认识两角和 与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手） sin sincoscossin tan coscoscossinsin 通过什
4、么途径可以把上面的式子化成只含有tan、tan的形式呢？（分式分子、分母同时除以coscos，得到 tantan tan 1tantan 注意：,() 222 kkkkz 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？ tantantantan tantan 1tantan1 tantan 注意：,() 222 kkkkz 2.复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， sinsincoscossin； coscoscossinsin； tantan tan 1tantan 我们由此能否得到sin 2 ,cos2 ,tan2的公式呢？（学生自己动手，把上述公式
5、中看成即可）， 3.公式推导： sin2sinsincoscossin2sincos； 22 cos2coscoscossinsincossin； 思考 ：把上 述关于cos2的式 子能否 变成 只含 有sin或cos形式的式 子呢？ 22222 cos2cossin1 sinsin12sin； 22222 cos2cossincos(1cos)2cos1 2 tantan2tan tan2tan 1tantan1tan 学习必备欢迎下载 注意：2, 22 kkkz 4.公式的变形 升幂公式： 1cos22cos21cos2 2sin2 降幂公式： cos2sin2 正切公式变形：tan+ta
6、ntan(+ )（1tantan） tantan tan()（1tantan) 万能公式（用tan 表示其他三角函数值） sin2cos2tan2 插入辅助角公式 asinxbcosx=sin(x+ ) (tan = ) 特殊地： sinxcosxsin(x) 熟悉形式的变形（如何变形） 1sinxcosx 1sinx 1cosx tanxcotx 若 A、 B 是锐角， A+B ，则（ 1tanA）(1+tanB)=2 coscos2cos22cos2 n= 在三角形中的结论（如何证明） 若： ABC= tanAtanBtanC=tanAtanBtanC tantantantantantan
7、1 二、求值问题 （1）已知角求值题 如： sin555 （2）已知值求值问题 常用拼角、凑角 a.已知若 cos()， sin( )， 又cosBsinsinCsincos Dcossin 二、计算题 1设 T =2sin1. （1）已知 sin( ) = 5 3 , 为钝角，求T 的值； （2）已知cos( 2 ) = m, 为钝角，求T 的值 . 2若函数) 2 cos( 2 sin ) 2 sin(4 2cos1 )( xx a x x xf 的最大值为1，试确定常数a 的值 . 3已知,为锐角，且1sin2sin3 22 ，2,02sin22sin3试求的值 . 4若锐角求且满足,
8、3 5 )sin(, 7 13 tantan, ： （ 1）)cos(； （ 2）)cos( 学习必备欢迎下载 5已知tan 2 =2，求： （1）tan() 4 的值； （2） 6sincos 3sin2cos 的值 6若 A、B、C 是 ABC 的内角， cosB 2 1 , sinC 5 3 , 求 cosA 的值 . 参考答案： 一、选择题 CB BBDCC 三、计算题： 1 解： （ 1）由 sin() = 5 3 ，得 sin = 5 3 . 为钝角，cos = 5 4 , sin2 = 2sin cos = 25 24 ,T = 25 24 1 = 5 1 . （2）由 2 1c
9、os,sin,) 2 cos(mmm为钝角得 ， T = cossin21=|sin + cos |, 00 , T = sin + cos = m 2 m1; 当 4 3 C, B C,矛盾 , cosC 5 4 , cosC 5 4 , CBA故： cosA cos(BC) (cosBcosC sinBsinC) 10 433 . 学习必备欢迎下载 简单的三角恒等变换 【学习目标】 1. 通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想， 提高学生的推理能力。 2. 理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会
10、三角恒等变形在数学中的 应用。 3. 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根 据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解 变换思想，提高学生的推理能力 【自主学习】 学习必备欢迎下载 【知识点拨】 1.两角和、差、倍、半公式 （1）两角和与差的三角函数公式 （2）二倍角公式 （3）半角公式 ， 2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除 等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为： （1）从一边开始证得它
11、等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）. 3两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题. 学习必备欢迎下载 4倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如成立的条件是 “ 是任意角，的 2 倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上. 5公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式 成立的条件 .例、等. 6 三 角 公 式 由 角 的 拆 、 凑 很 灵 活 . 如、， 等，注意到倍角的相对性. 7化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即
12、同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等. 8. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式 (1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口. (2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等 求证 . 【课堂练习】 学习必备欢迎下载 学习必备欢迎下载 达标测试 一、选择题 1.下列命题中不正确 的是（ ）. A存在这样的和的值，使得sinsincoscos)cos( B不存在无穷多个和的值，使得sinsincoscos)cos( C对于任意的和，都有sinsincos
13、cos)cos( D不存在这样的和值，使得sinsincoscos)cos( 2.在ABC中，若BABAcoscossinsin，则ABC一定为（）. A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形 3. 44 cossin 88 等于（） A0 B 2 2 C1 D 2 2 4.19tan11tan19tan311tan3的值是（）. A3B 3 3 C0 D1 5.若 )sin(32cos3sin3xxx ，(, )，则等于（）. A 6 B 6 C 5 6 D 5 6 6.在ABC中，已知Atan，Btan是方程0183 2 xx的两个根，则Ctan等于（）. 学习必备欢迎下载 A.4
14、B.2C.2D.4 7.要得到函数2sin 2yx的图象，只需要将函数3sin 2cos2yxx的图象（）.D A.向右平移 6 个单位B.向右平移 12 个单位 C.向左平移 6 个单位D.向左平移 12 个单位 8.48cos78sin24cos6sin的值为（）. A 16 1 B 16 1 C 32 1 D 8 1 9.4cos2sin2 2 的值等于（）. A2sinB2cosC2cos3D2cos3 10.已知为第二象限角， 2 25sinsin240，则cos 2 的值为（）. A 5 3 B 5 3 C 2 2 D 5 4 11.设0)3cos)(sinsincos2(xxxx
15、，则 x xx tan1 2sincos2 2 的值为（）. A 5 8 B 8 5 C 5 2 D 2 5 12.已知不等式 2 6 3 2 sincos6 cos0 4442 xxx fxm对于任意的 5 66 x恒成立，则实数m的取值范围是（） . A.3mB.3mC.3mD.33m 二、填空题 1. 10cos 3 10sin 1 . 2.已知, 3 (, ) 4 ， 5 3 )sin(， 12 sin() 413 ，则cos() 4 . 3.化简)120cos(3)60sin(2)60sin(xxx的结果是. 4.已知 3 1 coscos, 4 1 sinsin，则)tan(的值为
16、. 三、解答题 1. 已知 9 1 ) 2 cos(， 3 2 ) 2 sin( ，0，0 2 ，求)cos(的值 . 学习必备欢迎下载 2.已知为第二象限角，且 4 15 sin，求 sin() 4 sin2cos21 的值 . 3.（1）求值： ooo ooo 80cos15cos25sin 10sin15sin65sin ； （2）已知0cos2sin，求 2 cos1 2sin2cos 的值 . 4.已知函数( )sin()(0 0 )f xAxA，xR的最大值是1，其图象经过点 1 3 2 M ， （1）求( )f x的解析式； （2）已知 0 2 ，且 3 () 5 f， 12 (
17、) 13 f，求()f的值 5.已知函数 2 ( )sin()sin()cos 2 f xxxx （ 1）求函数( )f x的最小正周期； （ 2）当 3 , 88 x时，求函数( )f x的单调区间 . 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B 两点，已知A，B的横坐标分别为 10 2 ， 5 52 . 学习必备欢迎下载 （1）求)tan(的值； （2）求2的值 . 三角恒等变换测试题参考答案 一、选择题 (本大题共12 小题 ,每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.) 1.B 由两角差的余
18、弦公式易知C，D 正确，当0时， A 成立，故选B. 2.D 由BABAcoscossinsin得0)cos(BA， 即0)cos()(coscosBABAC，故角 C 为钝角 . 3.B 4422222 cossin(cossin)(cossin)cos 88888842 . 4.D 原式3(tan11tan19 )tan11tan19 3 tan30 (1tan11tan19 )tan11tan19 119tan11tan19tan11tan1. 5.A 31 3sin3 cos2 3(sincos )2 3sin() 226 xxxxx，故 6 . 6.C 3 8 tantanBA， 3
19、 1 tantanBA， 2 3 1 1 3 8 tantan1 tantan )tan()(tantan BA BA BABAC. 7.D 31 3sin2cos22(sin2cos2 )2sin(2)2sin 2() 22612 yxxxxxx. 学习必备欢迎下载 8.A 48cos24cos12cos6sin48cos78sin24cos6sin 16 1 6cos16 96sin 6cos2 48cos24cos12cos6sin6cos2 4 4 . 9.D 2222 2sin 2cos4(1sin 2)(cos41)cos 22cos 2 3 |cos2 |3cos2. 10.B
20、由 2 25sinsin240得 25 24 sin或1sin（为第二象限角， 故舍去）， 25 7 cos，且 2 为第一或者第三象限角， 25 7 1 2 cos2 2 ，故 3 cos 25 . 11.C 由0)3cos)(sinsincos2(xxxx得xxcos2sin，0cosx，故2tanx， 5 2 3 1t an t an22 21 c o ssi n c o ss i n2c os2 t an1 2s i nc o s2 222 2 2 x x xx xxx x xx . 12.A 263 26 3 2 sincos6 cossincos 44422222 xxxxx fx
21、mm， 6 sin()0 26 x m，6sin() 26 x m， 5 66 x， 4264 x ， 36 sin()3 26 x ， 3m. 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分. 把答案填在题中的横线上.) 1.4 13 2(cos10sin10 ) 13cos103sin10 22 1 sin10cos10sin10 cos10 sin20 2 4sin(3010 ) 4 sin20 . 2. 65 56 由已知可得 5 4 )cos(， 5 cos() 413 ， 故cos()cos()() 44 56 cos()cos()sin()sin() 4465 . 3
22、.0原式)60sin(2)60(180cos3)60sin(xxx )60sin(2)60cos(3)60sin(xxx )60sin(2)6060sin(2xx 学习必备欢迎下载 0)60sin(2)60sin(2)60sin(2)18060sin(2xxxx. 4. 7 24 易知 22 ， 22 ， 由 4 1 sinsin，得 4 1 2 cos 2 sin2 ， 由 3 1 coscos，得 3 1 2 cos 2 cos2 ， 两式相除，得 4 3 2 tan ， 7 24 ) 4 3 (1 4 3 2 )tan( 2 . 三、解答题 (本大题共6 小题，共74 分，解答应写出必要
23、的文字说明、证明过程及演算步骤.) 1解：由已知 145 ,cos()sin() 422929 又故， 同理 27 57 ) 2 () 2 cos( 2 cos,5 3 1 ) 2 cos( 故， 故 729 239 1 2 cos2)cos( 2 2解： 2 2 sin()(sincos ) 42 sin 2cos212sincos2cos)cos(sincos4 )cos(sin2 ， 当为第二象限角，且 4 15 sin时，0cossin， 4 1 cos， 所以 sin() 4 sin2cos21 2 cos4 2 . 3解：（ 1）原式 0000000 0000000 sin(801
24、5 )sin15 sin10sin80 cos15cos15 23 sin(1510 )cos15 cos80sin15 cos10sin15 . （2）由0cos2sin，得cos2sin，又0cos，则2tan， 所以 22 22 2 cos2sin cossin2sincos cos1 2sin2cos 6 1 2)2( )2(2)2(1 2tan tan2tan1 2 2 2 2 . 4 解 ： （ 1） 依 题 意 有1A， 则( )sin()fxx， 将 点 1 (,) 3 2 M 代 入 得 1 sin() 32 ， 而0， 5 36 ， 2 ，故( )sin()cos 2 fx
25、xx. （2）依题意有 312 cos,cos 513 ，而,(0,) 2 ， 学习必备欢迎下载 2234125 sin1( ),sin1() 551313 ， 3124556 ()cos()coscossinsin 51351365 f. 5解：（ 1） 11 ( )sincoscos2 22 f xxxx 111 sin 2cos2 222 xx 21 sin(2) 242 x 函数( )f x的最小正周期 2 2 T. （2）当 3 , 88 x时，20, 4 x， 当20, 42 x即, 8 8 x时，函数( )f x单调递增； 当2, 42 x即 3 , 88 x时，函数( )f x单调递减 . 6.解：由条件得 10 2 cos， 5 52 cos，为锐角， 10 27 cos1sin 2 ， 5 5 cos1sin 2 ， 因此7 cos sin tan， 2 1 cos sin tan. （1） 3 2 1 71 2 1 7 tantan1 tantan )tan(. （2） 3 4 ) 2 1 (1 2 1 2 tan1 tan2 2tan 2 2 ， 1 3 4 71 3 4 7 2tantan1 2tantan )2tan(， ，为锐角， 3 02 2 ， 3 2 4 .