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1、第 34 练导数与单调性 题型一利用导数求函数的单调区间 例 1函数 y 1 2x 2ln x 的单调递减区间为 () A(1,1 B(0,1 C1， ) D (0， ) 破题切入点求出函数的导函数f (x)，根据定义解不等式f(x)0，f(x)为增函数； 11 时， f (x)0，f(x)为增函数故B 选项 的图象符合 总结提高(1)利用导数判断函数单调性的一般步骤： 确定函数的定义域 求导函数f(x) 若求单调区间或证明单调性，只需在函数f(x)的定义域内解或证明不等式f(x)0 或 f(x)f(x)恒成立，且常数a，b 满足 ab， 则下列不等式一定成立的是() Aaf(b)bf(a)
2、Baf(a)bf(b) Caf(a)f(x)， 得 xf(x)f(x)0， 即 F(x)0， 所以 F(x)在 R 上为递增函数 因为 ab，所以 af(a)bf(b) 4 (2014 课标全国 )若函数 f(x)kxln x 在区间 (1， )单调递增， 则 k 的取值范围是 () A(， 2 B(， 1 C2， ) D1， ) 答案D 解析由于 f(x)k 1 x ，f(x)kxln x 在区间 (1， )单调递增 ? f(x)k 1 x0 在(1， )上恒成立 由于 k1 x，而 00 时，有 xf x f x x 20 的解集是 ( ) A(2,0)(2， ) B(2,0)(0,2)
3、C(， 2)(2， ) D(， 2)(0,2) 答案D 解析x0 时 f x x 0， 此时 x2f(x)0. 又 f(x)为奇函数， h(x)x2f(x)也为奇函数 故 x2f(x)0 的解集为 (0,2)(， 2) 6函数 f(x)的定义域为 (0， 2)， f(x)是它的导函数，且 f(x) 2f( 3) Bf(1) f( 4) D.3f( 6)0，所以 g(x)在(0， 2)上单调递增， 所以 g( 6)0 时， f(x)0， 所以函数f(x)的单调递增区间是(0， ) 8已知函数f(x)1 2mx 2 ln x2x 在定义域内是增函数，则实数 m 的取值范围为_ 答案1， ) 解析f
4、(x)mx 1 x20 对一切 x0 恒成立， m 1 x 22 x ， 令 g(x) 1 x 22 x，则当 1 x 1 时，函数g(x)取最大值1，故 m1. 9设f(x) 1 3x 31 2x 22ax.若 f(x)在( 2 3， )上存在单调递增区间，则 a 的取值范围为 _ 答案(1 9， ) 解析由已知得f (x) x2x2a (x1 2) 21 42a. 当 x2 3， )时， f(x)的最大值为 f(2 3) 2 92a. 令 2 9 2a0，得 a 1 9. 所以当 a 1 9时， f(x)在( 2 3， )上存在单调递增区间 10已知 aR，函数 f(x) (x 2ax)e
5、x(x R， e为自然对数的底数 ) (1)当 a2 时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)函数 f(x)是否为 R 上的单调函数？若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由 解(1)当 a2 时， f(x)(x22x)ex， f(x)(2x 2)ex (x22x)ex (x22)ex. 令 f (x)0，即 (x22)ex0. e x0，x220，解得 20，x2(a2)xa0 对 xR 都成立 (a2) 24a 0，即 a24 0，这是不可能的 故函数 f(x)不可能在R 上单调递减 若函数 f(x)在 R 上单调递增， 则 f (x)0 对 xR 都成立， 即x2(a 2)xaex
6、0 对 xR 都成立， e x0，x2(a2)xa0 对 xR 都成立 而 (a 2) 2 4aa240， 故函数 f(x)不可能在R 上单调递增 综上可知，函数f(x)不可能是R 上的单调函数 11已知函数f(x) ln xa x (aR)， g(x) 1 x . (1)求 f(x)的单调区间与极值； (2)若函数 f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e 2上有公共点，求实数 a 的取值范围 解(1)函数 f(x)的定义域为 (0， )，f(x) 1 ln xa x 2. 令 f (x)0，得 xe 1a， 当 x(0，e 1a)时， f(x)0， f(x)是增函数； 当 x(e
7、1a， )时， f(x)0，得 xe2 a， 故函数 F(x)在区间 (0，e2 a上是增函数， 在区间 e 2a， )上是减函数 当 e2 a0 时，函数F(x)在区间 (0，e 2a 上是增函数， 在区间 e2 a， e2 上是减函数， F(x)maxF(e 2a)ea2. 又 F(e1 a)0，F(e2)a 1 e 20， 由图象，易知当00， 此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间 (0，e 2上有 1 个公共点 当 e2 ae2，即 a0 时， F(x)在区间 (0，e 2上是增函数， F(x)maxF(e 2)a1 e 2 . 若 F(x)max F(e2) a1 e 2 0，即 1a0 时， 函数 f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e 2上只有 1 个公共点； 若 F(x)max F(e 2)a1 e 20，故 f(x)分别在 (，x2)，(x1， )是增函数； 当 x(x2，x1)时， f(x)0，故 f(x)在(x1， x2)是增函数 (2)当 a0，x0 时， f(x)3ax 26x30，故当 a0 时， f(x)在区间 (1,2)是增函数 当 a0 时， f(x)在区间 (1,2)是增函数当且仅当f(1)0 且 f(2)0，解得 5 4a0. 综上， a 的取值范围是 5 4，0)(0， )