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1、1.5 三角函数的应用 1通过生活中的实际问题体会锐角三 角函数在解决问题过程中的作用；(重点 ) 2能够建立数学模型，把实际问题转 化为数学问题(难点 ) 一、情境导入 为倡导“低碳生活”，人们常选择自行 车作为代步工具，图所示的是一辆自行车 的实物图 图是这辆自行车的部分几何示 意图，其中车架档AC 与 CD 的长分别为 45cm 和 60cm，且它们互相垂直，座杆CE 的长为 20cm.点 A、C、E 在同一条直线上， 且 CAB75. 你能求出车架档AD 的长吗？ 二、合作探究 探究点：三角函数的应用 【类型一】利用方向角解决问题 某船以每小时36 海里的速度向正 东方向航行，在点A
2、测得某岛C 在北偏东 60方向上，航行半小时后到达点B，测得 该岛在北偏东30方向上， 已知该岛周围16 海里内有暗礁 (1)试说明点B 是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请 说明理由 解析： (1)求点B 是否在暗礁区域内， 其实就是求CB 的距离是否大于16，如果大 于则不在暗礁区域内，反之则在可通过构 造直角三角形来求CB 的长，作 CDAB 于 D 点， CD 是 RtACD 和 RtCBD 的公共 直角边，可先求出CD 的长，再求出CB 的 长； (2)本题实际上是问C 到 AB 的距离即 CD 是否大于16，如果大于则无触礁危险， 反之则有， CD 的值在第 (
3、1)问已经求出，只 要进行比较即可 解： (1)作 CDAB 于 D 点，设 BC x， 在 RtBCD 中， CBD60，BD 1 2x， CD 3 2 x.在 RtACD 中， CAD30， tanCAD CD AD 3 3 ， 3 2 x 18 1 2x 3 3 .x 18.1816，点 B 是在暗礁区域外； (2)CD 3 2 x9 3，9316，若 继续向东航行船有触礁的危险 方法总结： 解决本题的关键是将实际问 题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线 构造直角三角形，再把条件和问题转化到这 个直角三角形中解决 变式训练： 见 学练优 本课时练习 “课 堂达标训练”第 4 题 【类型
4、二】利用仰角和俯角解决问题 某中学九年级学生在学习“直角 三角形的边角关系”时，组织开展测量物体 高度的实践活动在活动中，某小组为了测 量校园内号楼AB 的高度 (如图 )，站在 号楼的 C 处，测得号楼顶部A 处的仰角 30，底部 B 处的俯角 45.已知两幢 楼的水平距离BD 为 18 米，求号楼AB 的 高度 (结果保留根号) 解析： 根据在RtBCE 中， tanBCE BE CE，求出 BE 的值，再根据在RtACE 中，tanACE AE CE，求出 AE 的值， 最后根 据 ABAEBE，即可求出答案 解： AB BD，CDBD，CEAB， 四边形CDBE 是矩形，CEBD 18
5、 米在RtBEC 中， ECB45， EBCE18 米在RtAEC 中， tan ACE AE CE ， AE CE tan ACE 18 tan30 63(米)， ABAEEB18 63(米) 所以，号楼AB 的高为 (18 6 3)米 方法总结：解决本题的关键是结合仰 角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三 角形 变式训练：见 学练优本课时练习“课 后巩固提升”第 1 题 【类型三】求河的宽度 根据网上消息，益阳市为了改善 市区交通状况， 计划在康富路的北端修建通 往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端 位于 A、B 两点，小张为了测量A、B 之间 的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路
6、l 上测得如下数据：BDA76.1，BCA 68.2， CD82 米求AB 的长 (精确到 0.1 米， 参考数据：sin76.1 0.97， cos76.1 0.24， tan76.1 4.0，sin68.2 0.93， cos68.2 0.37，tan68.2 2.5) 解析： 设 ADxm，则 AC(x82)m. 在 RtABC 中，根据三角函数得到AB 2.5(x82)m，在 RtABD 中，根据三角函 数得到AB4x，依此得到关于x 的方程， 进一步即可求解 解： 设 AD xm，则 AC(x82)m.在 RtABC 中，tanBCA AB AC， ABAC tan BCA2.5(x
7、82)在 RtABD 中， tan BDA AB AD， ABAD tan BDA4x， 2.5(x82)4x，解得x 410 3 .AB 4x 4 410 3 546.7m. 所以， AB 的长约为 546.7m. 方法总结： 解题的关键在于构造出直角 三角形，通过测量角的度数和测量边的长 度，计算出所要求的物体的高度或宽度 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 5 题 【类型四】仰角、俯角和坡度的综合 应用 如图， 小丽假期在娱乐场游玩时， 想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场 地所在山坡AE 的长度她先在山脚下点E 处测得山顶A 的仰角是30，然后，她沿 着坡度是i11
8、(即 tanCED1)的斜坡 步行 15 分钟抵达C 处，此时，测得A 点的 俯角是15.已知小丽的步行速度是18 米/ 分，图中点A、B、E、D、C 在同一平面内， 且点 D、E、B 在同一水平直线上求出娱 乐场地所在山坡AE 的长度 (参考数据：2 1.41，结果精确到0.1 米) 解析： 作辅助线EFAC 于点 F，根据 速度乘以时间得出CE 的长度，通过坡度得 到ECF30，通过平角减去其他角从而 得到 AEF45，即可求出AE 的长度 解： 作 EFAC 于点 F，根据题意，得 CE1815 270(米) tanCED 1， CED DCE 45 . ECF 90 45 15 30
9、， EF 1 2CE135 米 CEF60， AEB 30， AEF180 45 60 30 45 ， AE2EF 1352 190.4(米) 所以，娱乐场地所在山坡AE 的长度约 为 190.4 米 方法总结： 解决本题的关键是能借助仰 角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图 形利用三角函数解直角三角形 三、板书设计 三角函数的应用 1方向角的概念 2三角函数的实际应用 本节课尽可能站在学生的角度上思考问题， 设计好教学的每一个细节，上课前多揣 摩让学生更多地参与到课堂的教学过程 中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜 悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生 做课堂这个小小舞台的主角教师尽最大可 能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂 语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下 课后多反思， 做好反馈工作， 不断总结得失， 不断进步 只有这样，才能真正提高课堂教 学效率 .