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1、1981 年2018 年全国高中数学联赛一试试题分类汇编 3、三角函数部分 2018B 5、设,满足3) 3 tan(，5) 6 tan(，则)tan(的值为 答案： 4 7 解析 :由两角差的正切公式可知 7 4 63 tan，即可得 4 7 )tan( 2017A 2、若实数yx,满足1cos2 2 yx，则yxcos的取值范围为 答案：13, 1 解析：由1cos2 2 yx得3, 1cos21 2 yx，得3,3x， 2 1 cos 2 x y， 所以11 2 1 cos 2 xyx，3,3x可求得其范围为13,1。 2016A 6、设函数 10 cos 10 sin)( 44kxkx
2、 kf，其中k是一个正整数。若对任意实数a，均有 Rxxfaxaxf|)(1|)(，则k的最小值为 答案： 16 解析： 由条件知， 10 cos 10 sin2) 10 cos 10 (sin)( 22222 kxkxkxkx xf 4 3 5 2 cos 4 1 5 sin1 2kxkx 其中当且仅当)( 5 Zm k m x 时，)(xf取到最大值根据条件知，任意一个长为1 的开区间 )1,(aa至少包含一个最大值点，从而1 5 k ，即5k 反 之 ， 当5k时 ， 任 意 一 个 开 区 间 均 包 含)(xf的 一 个 完 整 周 期 ， 此 时 | )( 1|)(Rxxfaxax
3、f成立综上可知，正整数的最小值为1615 2015A 2、若实数满足tancos，则 4 cos sin 1 的值为 答案： 2 解 析 ： 由 条 件 知 ，sincos 2 ， 反 复 利 用 此 结 论 ， 并 注 意 到1sincos 22 ， 得 )co s1)(sin1 (sin sin sincos cos sin 122 22 4 2c ossin2 2 2015A 7、设w是正实数，若存在ba,)2(ba，使得2sinsinwbwa，则w的取值范 围是 答案： 9 513 ,),) 4 24 w 解析： 由 2sinsinba 知， 1sinsinba ，而2 ,wwbasi
4、，故题目条件等 价于：存在整数, ()k l kl，使得 wlkw2 2 2 2 2 当4w时，区间2,ww的长度不小于4，故必存在,k l满足式 当04w时，注意到)8 ,0(2,ww，故仅需考虑如下几种情况： (i) ww2 2 5 2 ，此时 2 1 w且 4 5 w无解； (ii) ww2 2 9 2 5 ，此时 2 5 4 9 w; (iii) ww2 2 13 2 9 ，此时 2 9 4 13 w,得4 4 13 w 综合 (i)、(ii) 、(iii) ，并注意到 4w 亦满足条件，可知 9 513 ,),) 4 24 w 2015B 3、某房间的室温T（单位：摄氏度）与时间t（
5、单位：小时）的函数关系为： ),0(,cossinttbtaT，其中ba,为正实数，如果该房间的最大温差为10 摄氏度，则ba 的最大值为 答案：5 2 解 析 ： 由 辅 助 角 公 式 ： 22 sincossin()Tatbtabt， 其 中满 足 条 件 2222 sin,cos ba abab ，则函数T的值域是 2222 ,abab，室内最大温差为 22 210ab，得 22 5ab 故 22 2()5 2abab,等号成立当且仅当 5 2 2 ab 2014A 10、（本题满分20 分）数列na满足 6 1 a，)arctan(sec1nnaa ，（ Nn） 求正整数m， 使得
6、100 1 sinsinsin 21n aaa。 解析： 由已知条件可知，对任意正整数n，) 2 , 2 ( 1n a，且 nn aasectan 1 由于0sec n a，故) 2 ,0( 1n a。由得， nnn aaa 22 1 2 tan1sectan，故 3 23 3 1 1tan1tan 1 22n nanan 即 3 23 tan n an 。10 分 因此， 21 sinsinaa 2 2 1 1 sec tan sec tan sin a a a a am m m a a sec tan 3 2 2 1 tan tan tan tan a a a a 1 tan tan m
7、m a a （利用） 13 1 tan tan 1 1 ma a m 由 100 1 13 1 m ，得3333m。20 分 2014B 10、 （本题满分20 分）设 321 ,xxx是多项式方程01110 3 xx的三个根 . 已知 321 ,xxx都落在区间5 ,5之中，求这三个根的整数部分；（5 分） 证明： 4 arctanarctanarctan 321 xxx。 （15 分） 解析： 设1110)( 3 xxxp，则它至多有三个实根。由于64)5(p，13)4(p， 14)3(p，23)2(p，20)1(p，11)0(p，2)1 (p，1)2(p，8)3(p，我们 可以看到三个区
8、间3,4，2, 1，3,2的端点函数)(xp的值改变符号，所有三个根分别落在这 三个区间的内部，这样2 , 1 ,4便可以作为满足条件的三个根的近似值。（ 4也可以写成3） 假 定 321 xxx， 由 于1 1 x， 所 以 2 4, 2 arctan 1 x， 同 理1, 32 xx， 得 2 , 4 a r c t a n,a r c t a n32xx， 从而 21 arctanarctanxx和 3 arctan 4 x 都落在区间 4 , 4 之 中，所以我们只需证明： 321 arctan 4 tan4arctanarctantanxxx 。 由正切公式知，等价于 3 3 21
9、21 1 1 1x x xx xx ，即等价于1 321 3 1 xxxxxx ji ji i i ， 由根与系数关系知，0 3 1i i x，10 ji jix x，11 321 xxx，显然上式是成立的。 这样就完成了证明。 2008AB13 、已知函数xxfsin)(的图像与直线kxy（0k）有且仅有三个交点，交点的横坐 标的最大值为，求证： 4 1 3sinsin cos 2 。 证明： ( )f x的图象与直线ykx)0(k的三个交点如答13 图所示，且在 3 (,) 2 内相切，其切点为 ( ,sin)A， 3 (,) 2 由于( )cosfxx， 3 ( ,) 2 x ， 所以
10、sin cos ， 即t a n 因 此 coscos sinsin 32sin 2cos 1 4sincos 22 cossin 4sincos 2 1tan 4tan 2 1 4 2007*4 、设函数1cos2sin3)(xxxf。若实数cba,使得1)()(cxbfxaf对任意的实数 x恒成立，则 a cbcos 的值等于 A. 2 1 B. 2 1 C. 1D. 1 答案： C 解析： 令c，则对任意的Rx，都有2)()(cxfxf，于是取 2 1 ba，c，则 对任意的 Rx ，1)()(cxbfxaf，由此得1 cos a cb 。 一般地， 由题设可得1)sin(13)(xxf
11、，1)sin(13)(cxcxf，其中 2 0 且 3 2 tan，于是1)()(cxbfxaf可化为 1)sin(13)sin(13bacxbxa，即 0)1()cos(sin13cos)sin(13)sin(13baxcbcxbxa，所以 0)1()cos(sin13)sin()cos(13baxcbxcba 。 由已知条件，上式对任意Rx恒成立，故必有 )3(01 )2(0sin )1 (0cos ba cb cba ， 若0b，则由 (1)知0a，显然不满足 (3)式，故0b。所以，由 (2)知0sinc，故kc2 或 kc2 ( Zk )。当 kc2 时， 1cosc ，则 (1)、
12、 (3)两式矛盾。故 kc2 ( Zk )， 1cosc。由 (1)、(3)知 2 1 ba，所以1 cos a cb 。 2007*11 、已知函数 x xx xf 2)cos()sin( )( （ 4 5 4 1 x） ，则)(xf的最小值为 答案： 5 54 解析： 解：实际上) 4 5 4 1 ( 2) 4 sin(2 )(x x x xf， 设) 4 5 4 1 )( 4 sin(2)(x xxg， 则0)(xg，)(xg在 4 3 , 4 1 上是增函数， 在 4 5 , 4 3 上是减函数， 且)(xgy的图像关于直线 4 3 x 对称，则对任意 4 3 , 4 1 1 x，存在
13、 4 5 , 4 3 2 x，使)()( 12 xgxg。于是 )( 2)(2)(2)( )( 2 2 2 1 2 1 1 1 xf x xg x xg x xg xf， 而)(xf在 4 5 , 4 3 上 是 减 函 数 ， 所 以 5 54 ) 4 5 ()(fxf，即)(xf在 4 5 , 4 1 上的最小值是 5 54 。 2007*15 、 （本题满分20 分）设函数)(xf对所有的实数x都满足)()2(xfxf，求证：存在4 个函数)(xfi（4 ,3,2, 1i）满足：对4, 3 ,2, 1i，)(xf i 都是偶函数，且对任意的实数x，有 )()(xfxf ii ； 对任意的
14、实数x， 有xxfxxfxxfxfxf2s i n)(s i n)(c o s)()()( 4321 。 证明： 记 2 )()( )( xfxf xg， 2 )()( )( xfxf xh，则)()()(xhxgxf，且)(xg是偶 函数，)(xh是奇函数，对任意的Rx，)()2(xgxg，)()2(xhxh。 令 2 )()( )( 1 xgxg xf， 2 0 2cos2 )()( )( 2 kx kx x xgxg xf， kx kx x xhxh xf 0 sin2 )()( )(3 ， 2 0 22sin2 )()( )(4 k x k x x xhxh xf，其中k为任意整数。
15、容易验证)(xfi，4,3 ,2 ,1i是偶函数，且对任意的 Rx ，)()(xfxf ii ，4,3 ,2 ,1i。 下证对任意的Rx， 有)(c o s)()( 21 xgxxfxf。 当 2 kx时，显然成立； 当 2 kx时， 因为 2 )()( )(cos)()( 121 xgxg xfxxfxf，而) 2 3 ()( kgxg )1(2 2 3 (k kg)() 2 () 2 (xg kg kg， 故对任意的Rx，有)(cos)()( 21 xgxxfxf。 下证对任意的Rx，有)(2si n)(si n)( 43 xhxxfxxf。当 2 k x时，显然成立； 当kx时， )()
16、2()()(khkkhkhxh，所以0)()(khxh， 而此时02sin)(sin)( 43 xxfxxf，故)(2sin)(sin)( 43 xhxxfxxf； 当 2 kx时，) 2 () 1(2 2 3 () 2 3 ()( khk kh khxh) 2 ( kh )(xh，故)( 2 )()( sin)( 3 xh xhxh xxf，又02sin)( 4 xxf， 从而有)(2sin)(sin)( 43 xhxxfxxf。 于是，对任意的Rx，有)(2sin)(sin)( 43 xhxxfxxf。 综上所述，结论得证。 2006*7 、设函数xxxxxf 44 coscossinsi
17、n)(，则)(xf的值域为 答案： 8 9 ,0 解析： 44211 ( )sinsincoscos1sin2sin 2 22 f xxxxxxx。令sin2tx，则 2211911 ( )( )1() 22822 f xg tttt。因此 11 91 9 min( )(1)0, 82 4 t g tg 11 1919 max( )()0 2828 t g tg。 即得 9 0( ) 8 f x。 2005* 9、设,满足20，若对任意Rx， 0)cos()cos()cos(xxx，则 答案：. 3 4 解析： 设),cos()cos()cos()(xxxxf由 Rx ，0)(xf知，0)(f
18、， ,0)(, 0)(ff即, 1)cos()cos(, 1)cos()cos( .1)cos()cos(. 2 1 )cos()cos()cos( , 3 4 , 3 2 ,20又,. 只有. 3 2 3 4 （另一方面. 3 2 时，代回原式很容易验 证对x的任意性都成立） 2004*7 、在平面直角坐标系xOy中，函数axaxaxfcossin)(（0a）在一个最小正周期长 的区间上的图像与函数1)( 2 axg的图像所围成的封闭图形的面积为 答案：1 22 a a 解析：axaaxaxaxfsin1cossin)( 2 ，取一个周期的图像，割补得面积为长为 a 2 ，宽为12 2 a的
19、矩形，由对称性知，面积之半即为所求故填1 22 a a 2003*4 、若 3 , 12 5 x，则) 6 cos() 6 tan() 3 2 tan(xxxy的最大值是 A. 5 212 B. 6 211 C. 6 311 D. 5 312 答案： C 解析： 令 6 x，则 23 2 x，当 3 , 12 5 x时， 6 , 4 ，原函数即变 为 cos 2sin 2 y，在 6 , 4 上，cos,2sin都单调递增，从而y单调递增于是 6 时，y取得最大值 6 311 ，故选C 2002*12 、使不等式xaxaxcos1cossin 22 对一切Rx恒成立的负数a的取值范围是 答案：
20、2 , 解析： 因为xaxaxcos1cossin 22 对一切Rx恒成立， 即 4 1 2 1 cos 2 2 2 a a a x（0a） 所以当1cosx时，函数 2 ) 2 1 (cos a xy有最大值 2 ) 2 1 1( a 即 4 ) 1( ) 2 1 1 ( 2 22a a a ，即02 2 aa，解得2a或1a 又0a，所以2a，即所求负数a 的取值范围是2,。 2001*3 、在四个函数xysin，xycos，xycot，xysinlg| 中以为周期、 在 2 ,0 上 单调递增的偶函数是 A. xysin B. xycos C. xycot D. xysinlg 答案：
21、D 解析：xysin不是周期函数xycos以 2为周期xycot在 2 ,0 上单调递减只有 xysinlg满足全部条件 2000*2 、设0sin，0cos，且 3 cos 3 sin，则 3 的取值范围是 ( ) A. 3 2, 6 2kk，ZkB. 33 2 , 63 2kk ，Zk C. kk2, 6 5 2，ZkD. 3 2, 4 2kkkk2, 6 5 2Zk 答案： D 解析：满足0sin，0cos的的范围是 kk2, 2 2，于是 3 的取值范围是 33 2 , 63 2kk ，满足 3 cos 3 sin的 3 的取值范围为 4 5 2, 4 2kk故所求范 围是 3 2,
22、4 2kkkk2, 6 5 2，Zk选 D 2000*7 、)2000arcsin(sin 0 的值为_ 答案： 0 20 解析： 因为160180122000 00 2000 1997*5 、设xxxf 2 )(， 3 1 arcsin， 4 5 arctan，) 3 1 arccos(，) 4 5 arctan(， 则（） A.)()()()(ffff B. )()()()(ffff C. )()()()(ffff D. )()()()(ffff 答案： B 解析：)(xf的对称轴为 2 x， 易得， 6 5 4 3 3 2 2346 0选B 1997* 13、 （本题满分20 分）设 1
23、2 zyx，且 12 zyx，求乘积zyxcossincos的最大 值和最小值。 解析： 由于 12 zyx，故 3 2 1226 x 8 1 3 cos 2 1 )sin(cos 2 1 cos 2 1 )sin()sin( 2 1 coscossincos 22 zyxxzyzyxzyx 即为所求最小值 ( 由于zyx, 36 ，故0)sin(coszyx) ， 所以当 12 zy， 3 x时， 8 1 cossincoszyx 又zyxzzyxyxzzyx 22 cos 2 1 )sin(cos 2 1 cos 2 1 )sin()sin( 2 1 coscossincos， 且 8 3
24、2 6 cos1 2 1 12 cos 2 1 cos 2 122 z。由于 0cos,0)sin(zyx， 故当 12 , 12 5 zyx时zyxcossincos取得最大值 8 32 最大值 8 32 ，最小值 8 1 1996*4 、设0, 2 1 x，以下三个数：xsincos 1 , xcossin 2 , 1cos 3 x, 的大小关系是_ A. 123 B. 231 C. 213 D. 132 答案： D 解析：0sincos 1 x，0cossin 2 x，01cos 3 x，排除B、D 2 ) 4 sin(2cossinxxx，于是xxsin 2 cos， xxsincos
25、cossin，故 12，选 A 另解：也可以取 4 1 x代入计算可得 12 1995*5 、1coslog 1sin ，1tanlog 1sin ，1sinlog 1cos ，1tanlog 1cos 的大小关系是 ( ) A. 1coslog 1sin 1sinlog 1cos 1tanlog 1sin 1tanlog 1cos B. 1sinlog 1cos 1tanlog 1cos 1coslog 1sin 1tanlog 1sin C. 1tanlog 1sin 1tanlog 1cos 1sinlog 1cos 1coslog 1sin D. 1tanlog 1cos 1tanlo
26、g 1sin 1coslog 1sin 1sinlog 1cos 答案： C 解析： 因为 2 1 4 ，故1tan11sin1cos0所以01tanlog 1sin ，01tanlog 1cos ， 01coslog 1sin ，01sinlog 1cos ， 设a1coslog 1sin ，则得1sin1cos1sin a ，所以1a； b1sinlog 1cos ，则1cos1sin1cos b ，所以10b；即1sinlog 1cos 1coslog 1sin 设c1tanlog 1sin ，d1tanlog 1cos ，则得1tan1cos1sin dc ，( 结合指数函数图象进 行
27、比较 ) ，dc即1tanlog 1sin 1tanlog 1cos . 故选C 1994*4 、已知10b， 4 0a，则下列三数： a b ax sinlog sin， a b ay coslog cos， a b az coslog sin的大小关系是（） A. yzx B. xzy C. yxz D. zyx 答案： A 解析： 由 4 0a得1cossin0aa又10b，所以0coslogsinlogaa bb a b a sinlog sin a b a coslog sin a b a coslog cos即yzx选 A 1994*10 、设0，则 cos1 2 sin的最大值是
28、 _ _ 答案： 9 34 解析： 令 2 cos 2 sin2cos1 2 sin 2 y，知0y， 所以 3 2222 3 2 2 2 cos 2 cos 2 sin22y 即 9 34 y，当 2 2 2 tan时等号成立 1992*8 、在区间,0中，三角方程xx5cos7cos的解的个数是_ 答案：7 解析： 由题意得 kxx257 ，或 kxx257 ， ( Zk ) ， 得 kx ，kx 6 1 (Zk) ， 在区间,0内共有 7 解 1991*7 000202 80sin40sin50cos10cos 答案： 4 3 解析： 原式 00 00 40cos120cos 2 1 2
29、 100cos1 2 20cos1 000 40cos80cos20cos 2 1 4 1 1 00000 2060cos2060cos20cos 2 1 4 1 1 4 3 1990*1 设 2 , 4 ,则 cos )(cos， cos )(sin， sin )(cos的大小顺序是 A. cos )(cos cos )(sin sin )(cosB. cos )(cos sin )(cos cos )(sin C. cos )(sin cos )(cos sin )(cos D. sin )(cos cos )(cos cos )(sin 答案： D 解析： 2 , 4 得1sincos0
30、， cos )(cos cos )(sin； sin )(cos cos )(cos；选 D 1990* 8设)0, 2(A为平面上一定点，)602cos(),602(sin( 00 ttP为动点， 则当t由 0 15变到 0 45 时，线段AP扫过的面积是 答案： 6 解析： 点P在单位圆上，)2150cos()602sin( 00 tt，)2150sin()602cos( 00 tt. 当t由 0 15变到 0 45时，点P沿单位圆从 2 3 , 2 1 运动到 2 3 , 2 1 线段 AP扫过的面积等于扇形面积 等于 6 1990*13 已 知ba,均 为 正 整 数 ， 且ba， 2
31、2 2 sin ba ab ， ( 其 中 2 0) ， nbaA n n sin)( 22 求证：对于一切自然数 n， n A均为整数 证明： 由 22 2 sin ba ab ，得 22 22 cos ba ba 记nbaB n n sin)( 22 当ba,均为正整数时，abA2 1 、 22 1 baB均为整数 22 24baabA， 2 22 2 22 2 2babaB也为整数 若kbaA k k sin)( 22 、kbaB k k sin)( 22 均为整数， 则 kk kk k BABAkkbakbaA 11 122122 1 sincoscossin)(1sin)(为整数 k
32、k kk k AABBkkbakbaB 11 122122 1 sinsincoscos)(1cos)(也为整数 由数学归纳原理知对于一切Nn， n A， n B为整数 1989*2 函数xxxfarcsin 2 1 arctan)(的值域是 ( ) A),( B 4 3 , 4 3 C 4 3 , 4 3 D 2 1 , 2 1 答案： D 解 析 ： 因1 , 1x， 故 4 , 4 arc t an x， 4 , 4 arcsin 2 1 x， 且 2 )1(f， 2 )1 (f选 D 1989*12 当s和t取 遍 所 有 实 数 时 ， 则 22 sin2cos35tsts所 能 达
33、 到 的 最 小 值 为 答案：2 解析： 令 txcos3 ， tysin2，则得椭圆1 49 22 yx 在第一象限内的弧段 再令 5sx ， sy ，则得5xy，表示一条直线 22 sin2cos35tsts表示椭圆弧 段上点与直线上点距离平方其最小值为点0,3与直线5xy距离平方等于2 1986*1 、设 01a ， aarcsin ，那么不等式 axsin 的解集为 ( ) AZnnxnx,) 12(2 BZnnxnx,) 12(2 CZnnxnx,2) 12( DZnnxnx,2) 12( 答案： D 解析：0 2 ，在0,内满足axsin的角为x，由单位圆易得解为D 1985*3
34、 、已知方程xarcsin 5 4 arccos 5 4 arccos，则 ( ) A 25 24 xB 25 24 xC0xD这样的x不存在 答案： D 解析： 即 5 4 arccos2arcsin x设 5 4 arccos，则 5 4 cos， 5 3 sin 25 24 2sin即2为锐角 2 2故选D 1984*7 、 若动点),(yxP以等角速度在单位圆上逆时针运动，则点),2( 22 xyxyQ的运动方式 是（） A以角速度在单位圆上顺时针运动 B以角速度在单位圆上逆时针运动 C以角速度 2 在单位圆上顺时针运动 D以角速度 2 在单位圆上逆时针运动 答案： C 解析： 令tx
35、cos，tysin则 ttxy2 2 3 cos2sin22 ttxy2 2 3 sin2cos 22 显然t2与t旋转方向相反故选C 1984*10 、方程x x cos 4 cos的通解是，在24,0内不相同的解有个 答案：kx 3 8 或mx 5 8 ；20 解析： 由题意得xk x 2 4 ，kx 3 8 或mx 5 8 当24 3 8 0k时，8,3 ,2 ,1k；当24 5 8 0m时，14, 3,2, 1m；而当5, 3 mk及 10,6 mk时，解是相同的，故共有202148个不同的解 1983* 一、 ( 本题满分8 分) 求证： 2 arccosarcsinxx，其中1 ,
36、 1x 证明： 由于1 , 1x，故 xarcsin 与xarccos有意义， xarcsosxxcos)arccos 2 sin( ，由于 arccosx 0 ， 2 , 2 arccos 2 x 故根据反正弦定义，有xarcsinxarccos 2 故证 1982*5 、对任何 2 ,0都有（） A.coscoscossinsin B. coscoscossinsin C. sincoscoscossin D. sincoscoscossin 答案： D 解析： 由 2 sin0，得s ins inco s1cos0，得co sco ss in故选 D 1981*3 、设 2 k （,2,
37、 1,0k） ， c o tc o s t a ns i n t，则下列正确的是（） A.t取负值 B. t取非负值 C. t取正值 D. t取值可正可负 答案： C 解析： 0 1sincos 1cossin cotcos tansin 2 2 t 1981 年2018 年全国高中数学联赛一试试题分类汇编 2、函数与方程部分 2018A 5、 设)(xf是定义在R上的以2为周期的偶函数， 在区间1 , 0上严格递减， 且满足1)(f， 2)2(f，则不等式组 2)(1 21 xf x 的解集为 答案：28, 2 解析：由)(xf为偶函数及在区间1 , 0上严格递减知，)(xf在0, 1上递增
38、，结合周期性知，)(xf 在2,1上递增，又1)()2(ff，2)2()2()28(fff， 所以不等式等价于)28()()2(fxff，又22821 所以282x，即不等式的解集为28 ,2 2018A ，B 9、 （本题满分16 分） 已知定义在 R上的函数)(xf为 x x xf 4 1log )( 3 9, 90 , x x ，设cba,是三个互不相同的 实数，满足)()()(cfbfaf，求abc的取值范围。 解析：不妨设 cba ， 由于)(xf在3, 0上递减，在9 , 3上递增，在,9上递减，且0)3(f， 1)9(f，结合图像知：3,0a，9 , 3b，,9c，且1 ,0)(
39、)()(cfbfaf。 由)()(bfaf得2loglog 33 ba，即9ab，此时cabc9， 又ccf4)(，由140c得16, 9c，所以144,819cabc。 2018B 7、 设)(xf是定义在R上的以2为周期的偶函数， 在区间2, 1上严格递减， 且满足1)(f， 0)2(f，则不等式组 1)(0 10 xf x 的解集为 答案：4,62 解析： 由)(xf为偶函数及在区间2,1上严格递减知，)(xf在1,2上递增，结合周期性知， )(xf在1 ,0上递增，又1)()4(ff，0)2()62(ff，所以不等式等价于 )4()()62(fxff，又14620，即不等式的解集为4,
40、62. 2017A1、设)(xf是定义在R上函数，对任意的实数x有1)4()3(xfxf，又当70x 时，)9(log)( 2 xxf，则)100(f的值为 答案： 2 1 解析： 由条件知，1)()7(xfxf，即1)14()7(xfxf，故)14()(xfxf，即 函数)(xf的周期为14，所以 2 1 )5( 1 )2()100( f ff 2017B 3、设)(xf是定义在R上的函数，若 2 )(xxf是奇函数， x xf2)(是偶函数，则) 1(f的 值为 答案： 7 4 解析： 由条件知， 2 (1) 1( 1)( 1) )( 1)1fff， 1 (1)2( 1) 2 ff， 两式
41、相加消去( 1)f，可知： 1 2 (1)3 2 f，即 7 (1) 4 f. 2016A 3、正实数u，v，w均不等于1，若5loglogwvw vu ，3loglogvu wv ，则v w log 的值为 答案： 5 4 解析： 令av u log，bw v log，则 a u v 1 log， b v w 1 log，abawvvvw vuuu loglogloglog 条件化为5baba，3 11 ba ，由此可得 4 5 ab，因此 5 4 loglogloguvu vww 2016A 10、 （本题满分20 分）已知)(xf是R上的奇函数，1)1 (f，且对任意0x，均有 )()
42、1 (xxf x x f 。求) 51 1 () 50 1 () 98 1 () 3 1 () 99 1 () 2 1 () 100 1 () 1(ffffffff的值。 解析： 设n n fan)( 1 (=1，2， 3，） ，则1)1( 1 fa 在)() 1 (xxf x x f 中取*)( 1 Nk k x，注意到 1 1 1 1 1 1k k k x x ，及)(xf为奇函数 可 知 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 1 ( k f kk f kk f 5 分 即 ka a k k 1 1 ，从而 )!1( 11 1 1 1 1 1 1 nka a aa n k n kk k
43、n 10 分 因此 49 0 50 1 50 1 101 )!99(! 1 )!100()!1( 1 iii ii iiii aa !99 2 2 2 1 !99 1 )( !99 1 !99 1 98 99 49 0 99 9999 49 0 99 i ii i i CCC20 分 2015A1、设a、b为两不相等的实数，若二次函数baxxxf 2 )(满足)()(bfaf，则)2(f 的值为 答案：4 解 析 ： 由 己 知条 件 及二 次 函 数 图 像 的 轴 对 称性 ， 可 得 22 aba ， 即20ab， 所 以 (2)424fab 2015A 9、 （本题满分16 分）若实数
44、cba,满足 cba 242， cba 424，求c的最小值。 解析： 将2 ,2 ,2 abc 分别记为, ,x y z，则,0x y z 由条件知， 222 ,xyz xyz，故 2222224 ()2zyxzyzy zy8 分 因此，结合平均值不等式可得， 4 223 3 2 11111 13 (2)3 22 2444 yy zyy yyyyy 12 分 当 21 2y y ，即 3 1 2 y时，z的最小值为 3 3 2 4 （此时相应的x值为 3 3 2 4 ，符合要求） 由于 2 logcz，故c的最小值 3 22 35 log (2)log 3 43 16 分 2016B 4 、
45、已知)(xf,)(xg均为定义在 R上的函数， )(xf的图像关于直线1x对称，)(xg的图 像关于点)2, 1(中心对称，且19)()( 3 xxgxf x ，则)2()2(gf的值为 答案：2016 解析： 由条件知002,fg 22818190.fg 由,fxg x 图像的对称性，可得02 ,024,ffgg结合知， 224002.fgfg 由、解得248,242,fg从而2248422016.fg 另解：因为 3 91 x fxg xx， 所以2290.fg 因为 fx 的图像关于直线1x对称，所以2.fxfx 又 因 为 g x的 图 像 关 于 点1, 2中 心 对 称 ， 所 以
46、 函 数12h xg x是 奇 函 数 ， hxh x ，1212gxg x，从而24.g xgx 将、代入，再移项，得 3 2295. x fxgxx 在式中令 0x ，得226.fg 由、解得248,246.fg于是222016.fg 2014A1、若正数a、b满足)(loglog2log2 632 baba，则 ba 11 的值为 答案：108 解析： 设kbaba)(loglog3log2 632 ，则 2 2 k a， 3 3 k b， k ba6，从而 10832 32 611 32 32kk k ab ba ba 。 2015B1、已知函数 ), 3(log 3 ,0 )( 2
47、xa xxa xf x ，其中a为常数，如果)4()2(ff，则a的取值 范围为 答案：,2 解析：(2)2,(4)2fafa，所以22aa，解得：2a 2015B 2、已知 3 )(xxfy为偶函数，且15)10(f，则)10(f的值为 答案： 2015 解析： 由己知得 33 ( 10)( 10)(10)10ff，即( 10)(10)2000ff=2015 2014A 3、若函数|1|)( 2 xaxxf在),0上单调递增，则实数a的取值范围为 答案：0 ,2 解析： 在), 1 上，aaxxxf 2 )(单调递增，等价于1 2 a ，即2a。在 1 ,0上， aaxxxf 2 )(单调递
48、增，等价于0 2 a ，即 0a ，因此实数a的取值范围是0 ,2 2014B1、若函数)(xf的图像是由依次连接点)0 ,0(，)1 , 1(，)3,2(的折线，则)2( 1 f 答案： 2 3 解析：可求得直线2y与函数图像的交点为 2, 2 3 ，即2 2 3 f，根据反函数的性质知 2 3 )2( 1 f。 2014B 8、设( )(1)g xxx，是定义在区间0,1上的函数， 则函数( )yxg x的图像与x 轴所围成图形的面积为 答案： 16 解析：显然)(xg的图像与x轴围成一个半圆， 我们用A表示)(xxg与x轴围成的图形。 直线12x 是半圆的对称轴，它将 A分成左右两个部分。我们知道： )()()1()()1()1()(xgxgxxxgxgxxxg（ 2 1 0x） ，这个式子