时间序列的小波分析.pdf

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1、时间序列的小波分析 时间序列（ Time Series）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两 种基本形式。 其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析 （如 Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川 径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们 不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。 对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息

2、。显然，时 域分析和频域分析对此均无能为力。 20 世纪 80 年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis）为更好 的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在 不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学 领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分 形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原

3、理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析 的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R(L) t ( 2 且满足： 0dt) t (（1） 式中，) t (为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： ) a bt (a) t ( 2/1 b ,a 其中，0aR,ba,（2） 式中，) t ( b,a 为子小波； a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况 选择所需的

4、基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异， 有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定 基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若) t ( b,a 是由（ 2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R(L) t (f 2 ，其连续小波变换 （Continue Wavelet Transform ，简写为CWT）为： dt) a bt (f(t)a)b, a(W R 2/ 1- f （3） 式中，)b,a(Wf为小波变换系数； f(t) 为一个信号或平方可积函数；a 为伸

5、缩尺度；b 平移参数；) a bx ( 为) a bx (的复共轭函数。 地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数) tk(f，（ k=1,2, ,N; t 为取样间隔），则式（ 3）的离散小波变换形式为： ) a b-tk (t)f(kta)b, a(W N 1k 2/1- f （4） 由式（ 3）或（ 4）可知小波分析的基本原理，即通过增加或减小伸缩尺度a 来得到信号的低频或高频 信息，然后分析信号的概貌或细节，实现对信号不同时间尺度和空间局部特征的分析。 实际研究中，最主要的就是要由小波变换方程得到小波系数，然后通过这些系数来分析时间序列的时 频变化特征。 3. 小波方差 将小波系

6、数的平方值在b 域上积分，就可得到小波方差，即 db)ba,(W)a(Var 2 f (5) 小波方差随尺度a 的变化过程，称为小波方差图。由式(5)可知，它能反映信号波动的能量随尺度a 的 分布。因此，小波方差图可用来确定信号中不同种尺度扰动的相对强度和存在的主要时间尺度，即主周期。 二、小波分析实例- 时间序列的多时间尺度分析(Multi-time scale analysis) 例题 河川径流是地理水文学研究中的一个重要变量，而多时间尺度是径流演化过程中存在的重要特征。所 谓径流时间序列的多时间尺度是指：河川径流在演化过程中，并不存在真正意义上的变化周期，而是其变 化周期随着研究尺度的不

7、同而发生相应的变化，这种变化一般表现为小时间尺度的变化周期往往嵌套在大 尺度的变化周期之中。也就是说，径流变化在时间域中存在多层次的时间尺度结构和局部变化特征。 表 1 给出了某流域某水文观测站1966-2004 年的实测径流数据。 试运用小波分析理论，借助 Matlab6.5 、 suffer8.0 和相关软件 （Excel 等）， 完成下述任务： 计算小波系数； 绘制小波系数图（实部、 模和模方） 、 小波方差图和主周期变化趋势图，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。 表 1 某流域某水文观测站1966-2004 年实测径流数据（10 8m3） 年份径流量年份径流量年份径流

8、量年份径流量年份径流量 1966 1.438 1974 2.235 1982 0.774 1990 1.806 1998 1.709 1967 1.151 1975 4.374 1983 0.367 1991 0.449 1999 0.000 1968 0.536 1976 4.219 1984 0.562 1992 0.120 2000 0.000 1969 1.470 1977 2.590 1985 3.040 1993 0.627 2001 2.104 1970 3.476 1978 3.350 1986 0.304 1994 1.658 2002 0.009 1971 4.068 19

9、79 2.540 1987 0.728 1995 1.025 2003 3.177 1972 2.147 1980 0.807 1988 0.492 1996 0.955 2004 0.921 1973 3.931 1981 0.573 1989 0.007 1997 1.341 分析 1. 选择合适的基小波函数是前提 在运用小波分析理论解决实际问题时，选择合适的基小波函数是前提。只有选择了适合具体问题的基 小波函数，才能得到较为理想的结果。目前，可选用的小波函数很多，如Mexican hat 小波、 Haar 小波、 Morlet 小波和 Meyer 小波等。 在本例中， 我们选用Morle

10、t 连续复小波变换来分析径流时间序列的多时间尺 度特征。原因如下： 1.1 径流演变过程中包含“多时间尺度”变化特征且这种变化是连续的，所以应采用连续小波变换来 进行此项分析。 1.2 实小波变换只能给出时间序列变化的振幅和正负，而复小波变换可同时给出时间序列变化的位相 和振幅两方面的信息，有利于对问题的进一步分析。 1.3 复小波函数的实部和虚部位相差为/2 ，能够消除用实小波变换系数作为判据而产生的虚假振荡， 使分析结果更为准确。 2. 绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图是关键 当选择好合适的基小波函数后，下一步的关键就是如何通过小波变换获得小波系数，然后利用相关软 件绘制小波系

11、数图、小波方差图和主周期变化趋势图，进而根据上述三种图形的变化识别径流时间序列中 存在的多时间尺度。 具体步骤 1. 数据格式的转化 2. 边界效应的消除或减小 3. 计算小波系数 4. 计算复小波系数的实部 5. 绘制小波系数实部等值线图 6. 绘制小波系数模和模方等值线图 7. 绘制小波方差图 8. 绘制主周期趋势图 下面，我们以上题为例，结合软件Matlab 6.5、Suffer 8.0 和 Excel，详细说明小波系数的计算和各图形 的绘制过程，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。 1. 数据格式的转化和保存 将存放在Excel 表格里的径流数据（以时间为序排为一列）转

12、化为Matlab 6.5 识别的数据格式（.mat） 并存盘。 具体操作为：在Matlab 6.5 界面下，单击“File-Import Data”，出现文件选择对话框“Import ”后， 找到需要转化的数据文件（本例的文件名为runoff.xls ） ，单击“打开” 。 等数据转化完成后，单击“Finish”， 出现图 1 显示界面；然后双击图1 中的 Runoff ，弹出“ Array Editor: runoff ”对话框，选择File 文件夹下的 “Save Workspace As”单击，出现图2 所示的“ Save to MAT-File: ”窗口，选择存放路径并填写文件名 （r

13、unoff.mat ），单击“保存”并关闭“Save to MAT-File ”窗口。 2. 边界效应的消除或减小 因为本例中的实测径流数据为有限时间数据序列，在时间序列的两端可能会产生“边界效用”。为消 除或减小序列开始点和结束点附近的边界效应，须对其两端数据进行延伸。在进行完小波变换后，去掉两 图 1 数据格式的转化图 2 数据的保存 端延伸数据的小变换系数，保留原数据序列时段内的小波系数。本例中，我们利用Matlab 6.5 小波工具箱 中的信号延伸（Signal Extension）功能，对径流数据两端进行对称性延伸。 具体方法为：在Matlab 6.5 界面的“ Command Wi

14、ndow ”中输入小波工具箱调用命令“Wavemenu”， 按 Enter 键弹 “Wavelet Toolbox Main Menu ”（小波工具箱主菜单） 界面 （图）； 然后单击“Signal Extension ” ， 打开 Signal Extension / Truncation窗口，单击“ File”菜单下的“ Load Signal ”，选择runoff.mat 文件单击 “打开”，出现图4 信号延伸界面。Matlab 6.5 的 Extension Mode 菜单下包含了6 种基本的延伸方式 （Symmetric 、Periodic、Zero Padding、Continuo

15、us、Smooth and For SWT ）和 Direction to extend 菜单下的 3种延伸模式（Both 、Left and Right），在这里我们选择对称性两端延伸进行计算。数据延伸的具体操作 过程是：在Extension Mode 下选择“Symmetric ”， Dircetion to extend 下选择“ Both”，单击“ Extend” 按钮进行对称性两端延伸计算，然后单击“File”菜单下的“ Save Tranformed Signal ”，将延伸后的数据结 果存为 erunoff.mat 文件。 从 erunoff 文件可知，系统自动将原时间序列数据向

16、前对称延伸12 个单位，向后延伸13 个单位。 3. 计算小波系数 选择 Matlab 6.5 小波工具箱中的Morlet 复小波函数对延伸后的径流数据序列（erunoff.mat ）进行小波 变换，计算小波系数并存盘。 小波工具箱主菜单界面见图3，单击“ Wavelet 1-D” 下的子菜单 “Complex Continuous Wavelet 1-D ” ， 打开一维复连续小波界面，单击 “File” 菜单下的“Load Signal” 按钮， 载入径流时间序列erunoff.mat（图 5）。 图 5 的左侧为信号显示区域，右侧区域给出了信号序 列和复小波变换的有关信息和参数，主要包括

17、数据长 度 （ Data Size）、小波函数类型 （ Wavelet： cgau、shan、 fbsp 和 cmor）、取样周期（Sampling Period）、周期 设置（ Scale Setting）和运行按钮（Analyze），以及 显示区域的相关显示设置按钮。本例中，我们选择 cmor (1-1.5)、取样周期为1、最大尺度为32，单击 “Analyze ” 运行按钮， 计算小波系数。 然后单击“File” 菜单下的“Save Coefficients ”，保存小波系数为 cerunoff.mat 文件。 注意 ：上面涉及到的数据保存，其格式均为.mat。 4. 计算 Morlet

18、 复小波系数的实部 将复小波系数转存到Excel 表格，去掉两端延伸数据的小波系数，并计算小波系数实部。 图 3 小波工具箱主菜单图 4 径流时间序列的延伸 图 5 小波变换菜单界面 在 Matlab 6.5 界面下的Workspace 中将 cerunoff.mat 文件导入， 然后双击打开， 全部复制到Excel 后去 掉延伸数据的小波变换系数（本例中去掉前12 列和后13 列），或只复制原时间序列的小波变换系数到 Excel，最后使用Excel 中的 IMREAL函数计算原时间序列的小波系数实部（图6）。 图 6 复小波系数及实部计算示意图 Excel 中 IMREAL函数的调用方法为：

19、单击“插入”菜单下的“函数（F）”按钮，弹出图7 所示的 “插入函数”窗口，在“搜索函数（S）：”框中输入：“IMREAL ”后单击“转到”，再单击“确定”， 出现函数参数窗口（图8）。在“ Inumber”一栏的空白处输入所要计算的数据（图6），单击“确定”即 可得到小波系数实部值。 图 7 IMEAL 函数调用图 8 IMEAL 函数参数 需要说明的是， 从 cerunoff.mat 文件中转到Excel 里的复小波系数，在其实部和虚部中间包含许多“空 格”，在计算之前需要先将其去掉。 5. 借助 Suffer 8.0，绘制小波系数实部等值线图 5.1 小波系数实部等值线图的绘制 首先，将

20、小波系数实部数据按照图9 格式排列，其中列A 为时间，列B 为尺度，列C 为不同时间和 尺度下所对应的小波系数实部值。 图 9 小波系数实部数据格式 其次， 将图 9 数据转化成Suffer 8.0 识别的数据格式。具体操作为：在Suffer 8.0 界面下，单击“网格” 菜单下的“数据”按钮，在“打开”窗口选择要打开的文件（小波系数实部.xls），单击“打开”后弹出 “网格化数据”对话框（图10）。它给出了多种不同的网格化方法、文件输出路径及网格线索几何学等信 息。这里我们选择“克里格“网格方法”，单击“确定”，完成数据格式的转化。 最后，绘制小波系数实部等值线图。在Suffer 8.0 界

21、面下，单击“地图”菜单下的“等值线图-新建等 值线图”按钮，弹出“打开网格”窗口后，选择“小波系数实部.grd”文件，单击“打开”，完成等值线 图 10 小波系数实部数据格式转化图 11 Suffer8.0 中的小系数实部等值线图 图的绘制并存盘（图11）。 5.2 小波系数实部等值线图在多时间尺度分析中的作用 小波系数实部等值线图能反映径流序列不同时间尺度的周期变化及其在时间域中的分布，进而能判断 在不同时间尺度上，径流的未来变化趋势。为能比较清楚的说明小波系数实部等值线图在径流多时间尺度 分析中的作用，我们利用Suffer 8.0 对其进一步处理和修 饰，得到图12 显示的小波系数实部等值

22、线图。其中，横坐 标为时间（年份） ，纵坐标为时间尺度，图中的等值曲线为 小波系数实部值。当小波系数实部值为正时，代表径流丰 水期，在图中我们用实线绘出，“H” 表示正值中心； 为负时， 表示径流枯水期，用虚线绘出，“L”表示负值中心。 由图12 可以清楚的看到径流演化过程中存在的多时 间尺度特征。总的来说，在流域径流演变过程中存在着 1832 年， 817 年以及 37 年的 3 类尺度的周期变化规律。 其中，在1832 年尺度上出现了枯-丰交替的准两次震荡； 在 817 年时间尺度上存在准5 次震荡。 同时，还可以看出 以上两个尺度的周期变化在整个分析时段表现的非常稳 定，具有全域性；而3

23、10 年尺度的周期变化，在1980s 以 后表现的较为稳定。 6. 绘制小波系数模和模方等值线图 6.1 小波系数模和模方等值线图的绘制 参考 4、5 两步，绘制小波系数模和模方等值线图（图13、 14）。 说明 ：在 Excel 中，复数模的计算函数为“IMABS ”。 1970197519801985199019952000 5 10 15 20 25 30 (b) 年份 1970197519801985199019952000 5 10 15 20 25 30 (c) 年份 图 13 小波系数模等值线图图 14 小波系数模方等值线图 6.2 小波系数模等值线图在多时间尺度分析中的作用 M

24、orlet 小波系数的模值是不同时间尺度变化周期所对应的能量密度在时间域中分布的反映，系数模值 愈大，表明其所对应时段或尺度的周期性就愈强。从图13 可以看出，在流域径流演化过程中，1832 年时 间尺度模值最大，说明该时间尺度周期变化最明显，1822 年时间尺度的周期变化次之，其他时间尺度的 周期性变化较小； 6.2 小波系数模方等值线图在多时间尺度分析中的作用 小波系数的模方相当于小波能量谱，它可以分析出不同周期的震荡能量。由图 14 知， 2532 年时间尺 度的能量最强、周期最显著，但它的周期变化具有局部性（1980s 前） ；1015 年时间尺度能量虽然较弱， 但周期分布比较明显，几

25、乎占据整个研究时域(19742004 年 )。 1970197519801985199019952000 5 10 15 20 25 30 (a) 年份 H H HH H H H H L L L L L L L L 图 12 小系数实部等值线图 7. 绘制小波方差图 7.1 小波方差图的绘制 将不同时间尺度下的小波系数代入式(5)可得径流变化的小波方差，以小波方差为纵坐标，时间尺度a 为横坐标，可绘制小波方差图（图15）。 7.2 小波方差图在多时间尺度分析中的作用 小波方差图能反映径流时间序列的波动能量随尺 度 a 的分布情况。可用来确定径流演化过程中存在的 主周期。 流域径流的小波方差图中

26、（图15）存在 4 个较为 明显的峰值，它们依次对应着28 年、 14 年、 8 年和 4 年的时间尺度。 其中， 最大峰值对应着28 年的时间尺 度，说明 28 年左右的周期震荡最强，为流域年径流变 化的第一主周期；14 年时间尺度对应着第二峰值，为 径流变化的第二主周期，第三、第三峰值分别对应着 8 年和 4 年的时间尺度，它们依次为流域径流的第三 和第四主周期。这说明上述4 个周期的波动控制着流 域径流在整个时间域内的变化特征。 8. 主周期趋势图的绘制及其在多时间尺度分析中的作用 根据小波方差检验的结果，我们绘制出了控制流域径流演变的第一和第二主周期小波系数图（图 16） 。 从主周期

27、趋势图中我们可以分析出在不同的时间尺度下，流域径流存在的平均周期及丰-枯变化特征。图 16a显示，在 14 年特征时间尺度上，流域径流变化的平均周期为9.5 年左右， 大约经历了4 个丰 -枯转换期； 而在 28 年特征时间尺度上（图16b） ，流域的平均变化周期为20 年左右，大约2 个周期的丰 -枯变化。 a 14特征时间尺度 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 196519701975198019851990199520002005 年份 小 波 系 数 b 28特征时间尺度 -3 -2 -1 0 1 2 3 19651970197519

28、8019851990199520002005 年份 小 波 系 数 图 16 大沽夹河流域年径流变化的13 年和 28 年特征时间尺度小波实部过程线 参考文献 王文圣，丁晶，李耀清. 2005. 水文小波分析 M. 北京：化学工业出版社 曹素华等 . 1998. 实用医学多因素统计方法M. 上海：上海医科大学出版社 方开泰. 1989. 实用多元统计分析M. 上海：华东师范大学出版社 何清波，苏炳华，钱亢. 2002. 医学统计学及其软件包M. 上海：上海科学技术文献出版社 胡秉民. 1987. 微电脑在农业科学中的应用M. 北京：科学出版社 孙尚拱. 1990 实用多元变量统计方法与计算程序

29、M. 北京：北京医科大学、中国协和医科大学联合出版社 唐守正. 1986. 多元统计分析方法M 。北京：中国林业出版社 王学仁. 1982. 地址数据的多变量统计分析. 北京：科学出版社 徐振邦，金淳浩，娄元仁. 1986. 2 距离系数和 2 距离系数尺度在聚类分析中的应用M. 赵旭东等主编，中国数学地质（1）. 北京：地质出 (d) 0 20 40 60 80 100 120 140 05101520253035 时间尺度 /a 小 波 方 差 图 15 小波方差图 版社 於崇文. 1978. 数学地质的方法与应用M. 北京：冶金工业出版社 Anderson T. W. 1967. Int

30、roduction to multivariate statistical analysis, 2 ndM. New York: Wiley Gauch H. G. J. 1982. Multivariate analysis in community ecologyM. Britain: Cambridge University Press Horel A. E. ,Wennard. R. W. and Baldwin K. F. 1975. regression: some simulations. Communications in StatisticsJ, 4: 105123 练习 试

31、运用小波分析理论，分析某市年平均降水过程中存在的多时间尺度变化特征。 表 2 某市 1957-2004 年实测年均降水量（mm ） 年份降水量年份降水量年份降水量年份降水量 1957 320.0 1969 324.8 1981 506.0 1993 384.4 1958 481.2 1970 412.3 1982 282.1 1994 503.9 1959 522.6 1971 366.5 1983 508.6 1995 406.7 1960 339.3 1972 262.4 1984 523.9 1996 465.7 1961 719.9 1973 521.9 1985 518.9 1997

32、 345.3 1962 373.5 1974 351.7 1986 320.1 1998 454.9 1963 332.9 1975 398.4 1987 340.0 1999 327.9 1964 741.2 1976 320.2 1988 478.5 2000 406.2 1965 454.3 1977 445.4 1989 402.4 2001 404.7 1966 604.3 1978 534.8 1990 552.4 2002 401.9 1967 451.9 1979 509.7 1991 313.9 2003 605.1 1968 424.3 1980 395.5 1992 591.0 2004 385.4