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1、2018考研数学冲刺模拟卷（数学二） 一、选择题： 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1）若函数 2 1cos ,0 ( ) ,0 x x f x ax b x 在0x处连续，则（） (A) 1 4 ab(B) 1 2 ab(C)0ab(D)2ab （2）设二阶可导函数( )f x满足(1)( 1)1,(0)1fff且 ( ) 0fx，则（） (A) 1 1 ( )0f x dx（ B ） 1 1 ( )0f x dx（ C ） 01 10 ( )( )f x dxf x dx（ D ）
2、01 10 ( )( )f x dxf x dx （3）设数列 n x收敛，则（） （A）当lim tan0 n n x时，lim0 n n x（ B）当 3 lim()0 nn n xx时，lim0 n n x （C）当 2 lim()0 nn n xx时，lim0 n n x（D）当lim(sin)0 nn n xx时，lim0 n n x （4）微分方程 2 44(1 sin2 ) x yyyex的特解可设为 * y（） （A） 22 (cos2sin 2 ) xx AeeBxCx（B） 22 (cos2sin2 ) xx AxeeBxCx （C） 222 (cos2sin2 ) xx
3、Ax eeBxCx（D） 22 (cos2sin2 ) xx AxeeBxCx （5）设( , )f x y具有一阶偏导数，且对任意的( ,)x y，都有 ( , )( ,) 0,0 f x yf x y xy ，则 （） （A）(0,0)(1,1)ff（B）(0,0)(1,1)ff（C）(0,1)(1,0)ff（ D）(0,1)(1,0)ff （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位： m）处，图中实线表示甲的速度 曲线 1( ) vv t（单位：/m s） ，虚线表示乙的速度曲线 2( ) vv t，三块阴影部分面积的数值 依次为 10,20,3，计时开始后乙超过上甲的时刻记为
4、 0 t（单位： s） ，则（） 0 51015 2030 ( )t s (/ )v m s 10 20 3 25 （A） 0 10t（B） 0 1520t（C） 0 25t（D） 0 25t （7）设A为mn阶矩阵，且 ( ) rAmn=，则下列结论正确的是（） （A）A的任意m阶子式都不等于零（B）A的任意m个列向量线性无关 （C）方程组AXb=一定有无穷多解（D）矩阵A经过初等行变换可化为 () m EO （ 8 ） 设 () 11 1,0,2, T ca =， () 22 0,2,1, T ca =， () 33 1,2,3, T ca =， () 4 1,0,1,0 T a=， 其中
5、 () 1,2,3 i c i =为任意实数，则（） （A） 1234 ,a aa a必线性相关（B） 1234 ,a a aa必线性无关 （C） 123 ,a aa必线性相关（D） 234 ,aaa必线性无关 二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答 题纸 指定位置上 . (9) 曲线 2 1 ln(1) x yxe x 的斜渐近线方程为_ (10) 设函数( )yy x由参数方程 0 sin t t u xte yuedu 确定，则 2 2 0t d y dx _ (11) 2 1 ln x dx x _ (12) 设函数( , )f x y具有一阶连续偏导数
6、，且,(1) yyff yexy e xy ，(0,0)0f， 则( ,)_f x y. （13）已知 1 tan ( ) x t fxdt t ，则 1 0 ( )_f x dx. （14）设,a b为四维非零的正交向量，且 T Aab=，则A的所有特征值为. 三、解答题： 1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上 .解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （15） （本题满分10 分）求极限 00 30 0 lim xu t x x ute dt du t dt （16） （本题满分10 分）设函数f u在0,内具有二阶导数，且 22 zfxy满 足等式 22 22
7、22 22 11 2 zzzz xyz xyxyxy xy ，若00,01,ff求 函数fu的表达式 . （17）求 2 1 lnln lim n n k knkn n （18） （本题满分10 分）设函数fx连续， 且 2 0 1 3arccot 2 x tfxt dtx. 已知21f， 求 3 2 fx dx的值 . （19）（本题满分10 分） 设( )yf x是区间0,1上的任一非负连续函数，( )f x在区间(0,1) 内可导 , 且 2 ( ) ( ), f x fx x 试证明在(0,1)内， 1 ( )( )0 x xf xf t dt 存在唯一实根. （ 20） （ 本 题
8、满 分11 分 ） 已 知 平 面 区 域 22 ,|2,Dx yxyx计 算 二 重 积 分 2 1 D ydxdy。 （21） （本题满分11 分）设( )y x是区间 3 0, 2 内的可导函数，且(1)1y，点P是曲线 L: ( )yy x上任意一点， L 在点 P 处的切线与x 轴相交于点,0 p X，法线与y 轴相交于点 0, p Y，若 pp XY，求 L 上点的坐标, x y满足的方程。 （22） （本题满分11 分）设 1234 ,a aa ab均为四维列向量， () 1234 ,Aa a a a=，非齐次 线性方程组AXb=的通解为 ()() 1,2,0,32,3,1,5 TT k -+- ( ) 求方程组 () 234,Xa aab= 的通解； ( ) 求方程组 () 12344 ,Xa aaa abb+=的通解 . （ 23） 设 二 次 型 () 222 123123121323 ,53266fx xxxaxxx xx xx x=+-+-的 矩 阵 合 同 于 100 010 000 骣 琪 琪 琪 琪 桫 . ( ) 求常数a；( ) 用正交变换法化二次型 () 123 ,fx xx为标准形 .