1、抛物线及等腰三角形（简沽”、（2011东背在平面口.珀坐标系中，现将块等腹I1.角三角板放在第象区，斜舔在两坐标轴上,且点A（0,2）,点C（1.0）,如图所示，弛物税y=a2-ax-2钱过点B.（I）求点B的坐标：（2）求枪物线的解析式：（3）在她物线上是否还存在点P（点B除外）,使AACP仍旧足以Ae为宜角边的等腰宜角三角形？若存在,求全部点P的坐标：若不存在,请说明理由.解：(1)过点B作BD1.X轴.垂足为D.BCD+ZAC0=90o.ZAC(HZOAC=90o.,./BCD=ZCAO.又；NBDC=NC0A=9:CB=AC,.,.BDCCAO,.BD=OC=1.CD=OA=2.点B的
2、坐标为(3.I)：(2)；撇物线y=a-a-2过点B(3,I)，：.I=9a-3a-2,1解得=2.11.拗物线的解析式为y=2x2-2X-2；(3)假设存在点P,使得AACP是出角三角形.若以AC为自角边，点C为直角1点.则延长BC至点Pi使得PiC=BC,得到等腰C角三角形ACPi.过点Pi作PiM1.x轴，如图(I).VCPi=BC.ZMCPi=ZBCD.ZPMC=ZBDC=90o.MP1.C5DBC,CMCD=2.PiM=BD=I.11.P1-I.-1）.经检验点P1.在抛初战y=22.2.2上：若以AC为F1.角边，点A为包角顶点,则过点A作AP21.CA,且使得AP2=AC得到等腰
3、H角三角形ACP2,过点P2作P2NJ_y轴，如图2）.同理可证ZiAPcNgacAo,NP2=OA=2.AN=OC=I.11Pz-2.1）.经检验P?-2.1）也在抛物线y=22-2x.2J-.若以AC为自用边，点A为R角顶点，则过点A作AP31.CA,且使得APJ=Ac得到等腰直用三角形ACPa,过点Pa作PMUy轮,如图.同理可证ZiAPjHKACAO,HP=OA=2,AH=OC=I.11.,.Pi2,3）,经检验Pa2,3）不在拗物战y=2s-2？上；故符合条件的点有Pi（-1.-I）,P2（-2,1）两点.2.（2009年广西崇左市）在平面直角坐标系中,现将块等腰皮角三角板A5C放在
4、其次象限,斜靠在两坐标轴上,且点A（0,2）,点。（一1Q）,如图所示：抛物线y=+r-2经过点8.（1）求点B的坐标：,25.(1)过点8作5_1.x轴，垂足为VZBCD+ZACO=90,ZACO+ZCAO=90:.NBCD=，CA0：I分又,；4BDC=ACOA=90：CB=AC.BCDCAO2分：.BD=OC=I,CD=OA=I3分二点A的坐标为(-34)：4分(2)枪物战y=axz+a.x-2经过点B(-3),则得到1=9。一M-2S分解得,所以抛物线的解析式为：7分(3)假设存在点P,使得aACP仍旧是以AC为口.角边的等股立角三角形：若以点C为口,角顶点；则延长HC至点，使得/；C
5、8C,得到等腰直角：角形八C/；8分过点4作J.A轴，.C7；=BC.N7CM=NBCD,ZIMC=ZfiDC=9()：.C5DC10分.CM=CD=2,M=BD=1.可求得点/；(1,-1)：I1.分若以点A为直.角Tfi点；则过点A作A8JCA,且使得人6=AC,得到等IR直角三角形4ACA12分过点鸟作ENJ.),轴，同理uJiZA4NgZXCAO:13分.NP,=O=2.AN=OC=1.可求得点：14分经检脸，点4。，-1)及点鸟(2,1)都在抛物找上.16分3-2011年浙江省衢州市)已知两直线I-1.分别经过点A(1.0).点B(M),并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时,恰好
6、1.1I1.2.经过点A、B、C的拗物线的对称轴及n&h交于点K,如图所示.(I)求点C的坐胡，并求出抛物线的函数蟀析式：(2州物线的对称轴被虫城1.,抛物城，宜城】2和X轴依次裁得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由.=-yX2-x+3解法2：例勾股定理,W(OCi+OB)+(OC2+OA2)=BC-+AC2=AB2又；OB=3,OA=I.AB=4.0C=5.点C的坐标是(0.3)由遨窗可设附物线的函数解析式为y=a(x-1.)(x+3).把C(06)代入函数解析式得，所以，抛物的函数解析式为(2)解法1：IK得三条线段的数做关系为KD=DE=EF理由如下：可求得直线1.的解析式为
7、y=-3x+3,互线k的解析式为抛物线的对称轴为出城X=1由此可求得点K的坐标为(一1,2万)，点D的坐标为(一1,卓)，点E的坐标为(一1，=),点F的坐标为(I0)KD=2,DE=,EF=333KD=DE=EF好法2：截得：.条线段的数Jit关系为KD=DE=EF理由如下:由题意可知R1.ZABC中，NABC=30,NCAB=60,则可得EF=BFXtan300=臂，KF=AFXtan60。=21.由顶点D坐标(一I,W)得23/.KD=DE=EF=3(3)蟀法I：以点K为圆心,线段KC长为半径行明退,交她物晚于点M1.,由抛物税对称性可知点M1.为点C关于宜城X=T的对称点点M1.的坐标
8、为(-2.3),此时M1CK为等腰三角形(ii)当以点C为回心，戏段CK长为半径画圆弧时，及拊物战交点为点MI和点A,而三点A、c,K在同始终线E.不能构成三角形(iii)作跷段KC的中垂线I,由点D是KE的中点，且1.1.12,可知I经过点D,AKD=DC43此时，有点即点D坐标为(一1,使4M,CK为等腹三角形；综上所述，当点M的坐标分别为(-2,vz3),(-1.W)时，MCK为等腹三月形.解法2：当点M的坐标分别为(-2.3).(-1.孚)时.AAICK为等腰三角形.理由如下:连接BK.交他物纹干点G易知点G的坐标为(-2.S又；点C的坐标为(0,3),则GCAB；可求汨AB=BK=4
9、且/ABK=60.即AABK为正三角形CGK为正三角形二当12及抛物线交于点G即1.AB时,符合题意,此时点M1.的坐标为(-2.3)(ii)连接CD.H1.KD=生，CK=CG=2.ZCKD=SOo.易知aKDC为等腰三角形3.当1,过她物线顶点D时，符合鹿意，此时点M、坐标为（一1,）*3（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M及点A重合时，满意CM=CK,但点A、C、K在同始终线上，不能构成三角形擦上所述,当点M的坐标分别为（一2,3）.（-1,芈时，ZiMCK为等腰三角形.4、（2011湖州如图I.已知正方形OABC的边长为2.痍点A、C分别在x、y轴的正半轴匕M是BC的中点.
10、P（0,m跄线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D.（I）求点D的坐标（用含m的代数式发示：（2）当AAPD是等腰三角形时，求m的俏；（未解决）3设过P、M、B三点的抛物戏及X轴正半轴交于点E,过点。作出战ME的歪线，垂足为H（如图2），当点P从点。向点C运动时，点H也随之运动.请千腌写出点H所经过的路径长.不必写解答过程专施：代数几何综合也：分类探讨.分析：（D证明RSPMCgRSDMB,即可证明DB=2-m,AD=4-m,从而求解:2）分AP=AD,PD=PA,PD=DA三种状况，依据勾股定理即可求解；（3）运动时，路途长不变，可以取当P在O点是，求解即可.解答：解：1
11、由题意得CM=BM,vzpmc=zdmb.RtPMCgRIADMB.（2分）DB=PC,DB=2-m.AD=4-m,（1分）.点D的坐标为（2,4-m）.（I分）（2）分三种状况3771=9若Ap=AD.则4+11=（4-m）2,解得4（2分）若PD=PA过P作PF1.AB于点F（如图11则AF=FD=2ad=2（4-m）又OP=AF,14m=9（4n）m=Q/./J（2分）若PADA,VPMCDMB.I1.1.pm=2pd=2ad=2(4-m),vpc2+cm2=pm2.(2m)2+1=：(4n)2，2m1=O,n2=2解得(台去).(2分)342综上所述，当AAPD足等腰：角形时，m的值为
12、2或3或3（3）点H所羟过的路径长为什（2分点评：本题是：次函数的综合魄型，其中涉及的到大学同点力微物战的顶点公式和三角形的面枳求法.在求有关动戊问鹿时要留道分析题遐分状况探讨结果.24、（2010北京）在平面内角坐标系x中，拊物Iy=-xi+-x+m2-3m+2及X轴的交点分44别为原点。和点月，点B（2,/）在这条拗物代上.求占点的坐标;（2）点夕在级段以上，从。点动身向4点运动，过点作X轴的垂线.及直线倒交于点以延长必.到点，使得阶咫,以即为斜边，在川右恻作等腰直角三角形/6（当尸点运动时，C点、。点也随之运动）.当等腰直的三角形打力的顶点。落在此抛物设上时.求伊的长：y若点从。点动身向
13、H点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点。从4点动身向。点作匀速运动,速度为秘秒2个单位（当。点到达。点时停止运动，尸点也I可时停止运动.过。点作K轴的垂线,及直线切交于点R延长在到点M使得F%QF,以j41/为料边，在4“的左IM作等媵直角三知形的（当。点运动时，UO5点、.V点也随之运动.若尸点运动到r杪时，两个等腰I1.角三角形分别有一条边怡好落在同一条出城匕求此刻，的侪.24.解：（I）：Itt物税V=-弓一1.r2+独x+“F-3,n+2经过区点，二.”尸-3h2=O,解忠MI=I,”“=2.44由趟旗知加#1,.m=2,.抛物线的解析式为产-jgx,.点8=A1x,
14、求得总规OB的解析式为vDZ/产2r,二Y点是抛物也及X轴的一个交点，可求得八点的X坐标为（10,0）,设P点的峪标为Xs0）,则点的坐标为QQ(a,勿),依据题意作等腰直角三角形Ped如图1.可求得点C的坐标为(初，加),由C点在她物线上，如ISQII”“2=02=x(3)2+3“，即一“=0,解得1=42429().OP=-.9依超意作等腰宜角三为形QAfN,设直线AH的解析式为严如+儿由点A(IO.0).点仇2,4),求得直观A8的解析式为产-gx+5,当P点运动到，秒时，两个等腋直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种状况：第一种状况：CD及NQ在同一条直线上.如图2所示
15、可证/)PQ为等腰之角三角形.此时。RDP.A。的长可依次表示为八4/.2,个单.位.Q=)P=4r.,.r+4+2r=10：r=1.7其次种状况：Pe及MN在同一条直规上.如图3所示.可证APQAf为等腰直为三角形.此时。AAQ的长可依次友示为h2,个电位.”X尸10-2/,：尸点在直线八8上.FQ=t.MQ=2.J.PQ=MQ=CQ=2t.,.r+2r+2r=10.,.r=2.第三种状况：点A0重合时,PD.QM在同一条直线上，如图4所示,此时。人AQ的长可依次表示为八2,个单位.r+2f=10,二尸耳.徐匕符合遨意的直跳y=3x-23经过点C.交y轴于29.如图，矩形A8C。的边A8在
16、X轴上，旦A8=3,C=23.点G(I)点C、D的坐标分别是C(,D)：2)求顶点在互线y=1.v-2j上且羟过点C、。的她物线的解析式：(3)将(2)中的拊物战沿直规y=5x-25平移，平移后的微物跷交y轴于点顶点为点凡平移后是否存在这样的拈物就，使AEFG为等腿三角形？若存在，息求出此时拊物线的解析式：若不存在，请说明理由.29.解：C(4,23).D(I,23)4分(2.她物戏经过(7(4,23),D(I,23)两点二由她物线的对称性可知，顶点的横坐标为年又Y顶点在直线y=3-23E.-=3-23=.Ri点坐标为，=4，+/1一2币AF当m0时iXiEF=EG,则孝J+j1.25-(5m
17、25)=51.2j-(-25)解得，”=0(舍去)或m.此时微物战的解析式为产乎当2邛ii)若产G=0,K1I=-i)r+3m-2-(23)=2m解得/=0(含去)或m=口经.此时他物线的解析式为V=岁(X-吗gJ史普iii)若FG=ER则/EFG=I2(F(不合SS博:，舍去当小VO时，；NEFG为钝角.当ZSEFG为等校:角形时,只能GF=EF25-(邛/+臣-2赤)=一斗,”解得，=0(含去)或，=.此时他物战的解析式为2-乎12分63.如图.已知以点A(2.-1)为顶点的地物线经过点8(4.0).6分当点E及8重合时，EO=2,EN=2.AEV=ED当点E及。堂合时，ED=2,EV=
18、2.IEN=ED当点4及4重合时.ED=1.EN=x2-x=212分解得x=22513分点E的坐标为(2+23.2)和(2-23.2)14分方法二若AEDN为号边三%形，EN=ED=DN,且EM1.N轴ZEFD=Mo.EF=FN=212分在RI)尸中，si，EDF=脸：.DF=EF-coA是抛物线的对称轴,且。0）,依据他物线的对称性得点E的坐标为（2+2i,2）和（2-23.2）14分100.如图，一次函数）=-4x-4的图象及X轴、）轴分别交于A、C两点，抛物城）=*+h+c的图象经过A、C两点，且及X轴交于点艮（1）求搬物城的函数表达式：（2）设拈物线的顶点为。,求四边形ABDC的面积：
19、3）作出城MN平行于X轴,分别交线段AC、BC千点M、N.问在X轴上是否存在点P,使得AQMN是等腰直角三角形？假如存在，求出全部满意条件的点的坐标；假如不存在，请说明理由.100.解:（1）：对于一次函数）=-4x-4令K=0.得y=-4,故点C的坐标为（0,-4）I分令$=0,得X=-1，故点人的坐标为（-1,02分顶点。的坐标为(1.-y)4分VA.8两点关于对称粕X=I对称点8的坐标为(3.0)5分连接CO、BD.OD.SHrB=SziXMC+SOC1.+SOBD6=441.441.y3y=127分把八、C两点坐标代入F=gJ+hr+c,解存b=-,c=-4她物线的函数表达式为产我一
20、表一43分(3存在Ji?.：.MNx轴.：.ACMNsMAB.二嘿=会当MP=MN或NP=MN时，设MN=a，则孑=号i) 当NPMN=90。时：MP/OC.WPSAACO.PM-Pj112.Jf.11p-1.OC-AO,即4-1-,2：.PI(-0)ii)当NWM=90时,JNP/OC.：.ABNPsAbco.PNBPh1123-OP.，3-OCssBO1.4-0p*2；.P1.当NAfW=9r,PM=PN时作P。，垂足为。，则PQ=QM=QN设PQ=4则QM=QN=4,MN=2,.W.VCH,2d4-d1=CO得丁=.(/=j过点N作NGx轴，或足为G,则PQ=GN=QN=PG=3,JNG
21、/OC.：.1.BNGsARCo4叨3一幽.-i,即4q,oG-I8分9分10分11分J.OP=OB-BG-PG=3-=Ps12分综合、，存在满意条件的点尸有3个，坐标分别是：P1(-.0)、P24,0),P3(.0)方法二：由点、B(3,0)、C(0.-4)得直线B3的解析式为y=x-4MNx轴I,/.CN=xv=y：.Pi(.0)10分当N,WW=9(r,PM=PN时过戊尸作PQ1.MM垂足为Q,则PQ=QM=QN设PQ=d,则QM=QN=d,MN=2,CH*2d4-d由方=9得了=丁.12分综合、，存在潜建条件的点尸有3个，坐标分别是：Pi(y.0)、P1.+（*-6+1）.尸38；/.
22、3=38-那%不合题意.舍去：4,G（X2.3）则初=4一即，GC=6-.nS,“wet;F=彳(4f+6-)3=WX12Wx+x2=8,.HC轴.N)EFSADBG.EF_DE.x-2I,B(jDBx2-24即4x-i=6由、解得X1.=号，X2=学Fy,O).G(y.3)13分2ki+bi=-14丁后+加=0直缓DF的函数关系式为y=hv+如，则；.直线0/的函数关系式为Y=I.V-综上所述，所求总线为x=2或尸斗弓14分113.如图1,直线yu-x+3及X轴、下轴分别交于点8、点C经过8、C两点的抛物线yux+bx+c及X轴的另一个交点为4顶点为R1）求该拊物践的解析式：（2）在该抛物找
23、的对林釉上是否存在点M,使以C、凡M为顶点的三角形为等腰二角形？若存在,谙干脆写出全部符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由：（3）连结Ac在X轴I；是否存在点0.使以R8、。为顶点的三角形及Z1.A8C相像？若存在，恳求出点Q的坐标：若不存在,请说明埋由：4）当0；直线,v=r+3及X轴、轴分别交于点8、点C：.H(3.O).C(0.3)：粒物戏yx2+bx+c经过8、C两点(0=9+3Z+cib=-4,解得：，(3=c(r=3.该抛物线的解析式为y三2-4+32分(2)(2.7),M2(2.25-1.)rAf36分(3)令.v=/-4x+3=0.解料M=I.x：=3,：B3.0),：.
24、A=2-4t+3=(x-2)2-1.一点P-1)设她物戏对称轴及X轴的交点为凡W1.F(2,0)IFB=FP=1.P=2./FBP=W：./FBP=ZABC若点0在点B左侧当*=等时，S八BC8。=三侬BP=羊X镜=3.42：.BQ=黄.BP=当心r=时，AQ8PsA8C;g.0)若点Q在点B右IW：/IPBQ=180n-Zff=I35o,BAC=I8O0-(ZAfiC+ZACfi)和6+0,使以P、3、Q为顶点的二地形及八BC相像12分(4当03时，在此抛物统上任取一点E连接CE、BE,过点E作K轴的乖线FE.交出战Bc于点匕设点E(x,x2-4r+3).则F(x,-x+3)：.EF=-x+
25、3-(x2-4x+3)=-x1+3xSr=SWE三-SW=3EFOB=73=-4rj+r=-4(-v-4)7+.当XH1.时,Se有最大值y=x2-4.r+3=-?151.如图.岫物线y=f+2r+CsWO）及y轴交于点C（O.4）,及X轴交于A、8两点，点A的坐标为（-4,0）.（1）求该拊物城的解析式：（2）点0是线段八8上的动点,过点Q作QE/AC,交BC于点E,连接CQ.当AC0E的而枳最大时.求点Q的坐标：（3）若平行于X轴的动H级/及该抛物畿交于点R及宜城AC交于点A点。的坐标为（-2,0）.何是否有这样的百线/，使得Zi。尸足等腹三角形？若存在，息求出点。的坐标；若不存在，请说明
26、理由.0=1.6rt-8rt+c151.解：(I)由题懑，得4=c1=一彳解得：2e=4.所求施物税的解析式为y=-2-+4(2设点。的坐标为(孙0),过点作EG1.t轴于点G由y=-x+4,ff1.r=-4.X2=2.点8的坐标为(2.0)4分.B=6,BQ=2-n：QE/AC.ffE,4C,；加=7111.区_2-/.4一2，”八即4-6,G-35分Scqe=S;ODF中若OF=DO,=1.J.AH3在等用直角aAFW中,FH=AH=3,F-1.3)由一;/-x+4=3,得M=布-1.X2=-3-I此时，点P的坐标为:P(3-1.3)i&P(-3-1.,3)10分若。F=OC,.O=OC=
27、4,f1.ZOC=90n,C=42点。到AC的距离为2而。F=OZ)=2v26此时，不存在这样的出线/.使得AOW是等腰三角形I1.分综上所述,存在这样的直线/.使得/,足等腰三角形.所求点。的坐标为：P(5-h2)或尸-5-1.2)或P(3-1.3)或P(-3-1.3)12分24、(231湖州)如图I.已加正方形OABC的边长为2,原点A、C分别在x、y釉的正半轴上,M是BC的中点.P0,m)是线段OC上一动点(C点除外).宜线PM交AB的延长线于点D.1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)：2)当4APD是等腰：.角形时，求m的值；(3)设过P、M、B三点的拗物缄及X轴正半轴交于点E,过点
28、0作直成AIE的乖戏，垂足为H(如图2),当点P从点0向点C运动时，点H也随之运动,请干脆写出点H所经过的路径长.(不必写解答过程)专题：代数几何综合愿;分类探讨.分析:(1)证明RtAPMegRtADMB,即可证明DB=2-m,AD=4-m.从而求解:(2)分AP=AD,PD=PA,PD=DA:种状况，依据勾股定理即可求解：(3)运动时，路途长不变，可以取当P在0点是，求解即可.解答:解：由88/用CM=BM,Vzpmc=Zdmb.RtPMC5RtDMB.(2分)DB=PC.DB=2-m.AD=4-m.（1分），点D的坐标为（2,4-m）.”分）.则AF=FD=2八口=214-m）又OP=A
29、F.111m=o（4m）m=q：./3（2分）若PD=DA,VPMCDMB.I1.1.pm=2pd=2ad=24-m）.PC2+CM2=PM2.（2.m）2+1=：（4m）22叫=Q,m?=2蚱得COA.,即.CX)=3.点C的坐标是(0.8由趣意，可设帕物线的函数解析式为y=ax:+bx+3把A(1.,O),B(-3.0)的坐标分别代入y=a+bx+5,得解这个方程组.得.枪物战的函数解析式为y=-斗2-芈x+6解法2：由勾股定理，fy(OC2+OB:)+(OC:+OA2)=BC:+AC2=AB2又.OB=3.OA=I.AB=4OC=3.点C的坐标是(0,3)由鹿息可设拊物线的函数解析式为y
30、a(x-1.)(x+3),把C(0,6)代入函数解析式得.所以,抛物线的函数解析式为(2)解法I：截得三条线段的数J1.t关系为KD=DE=EF理由如下；可求得HI1的斛析式为y=-3x+3,i1.的解析式为她物战的对称物为出线x=1I1.1.此可求得点K的坐标为(-1.2).点D的坐标为(-1.誓).点E的坐标为(-1.W).点F的坐标为(1,0):KD=-y-,DE=EF=333AKD=DE=EF解法2:截得：条线段的数量:关系为KD=DE=EF理由如下:由题您可知R1.AABC中，ZABC=30,.ZCAB=60.则可得EF=BFXtan300=臂，KF=AFXtan60。=21.由顶
31、点D坐标(一I,W)得23/.KD=DE=EF=3解法1：以点K为圆心.线段KC长为半径IQi网弧.交抛物线于点MI.由抛物线对称件可知点M1.为点C关于a段X=T的对称点.点M1.的坐标为（一2.3）,此时M1CK为等腰三角形（ii）当以点C为阳心，线段CK氏为半径画明弧时，及1物线交点为点MI和点A而三点A、C,K在同始终线上，不能构成三地形（iii）作线段KC的中垂线I,由点D是KE的中点,且1.Jdz，可知经过点DAKD=DC此时，有点M?即点D坐标为（一I,华）.使M,CK为等腰-：角形：综上所述,当点M的坐标分别为（-2.3）.（-1.半）时,ZXMCK为等腰三角形.解法2：当点M
32、的坐标分别为（一2,3）.（-1,芈）时，AkMCK为等腰三角形。理由如下:（i）连接BK,交撇物战于点G,易知点G的坐标为（-2，3）又Y点C的坐标为（0,6则GCAB；可求得AB=BK=4.J1.ABKF0,即AABK为正三角形CGK为正三角形.当1.及抛物线交于点G,即kAB时，符合趣趣，此时点M1.的坐标为（-2,5（ii）连接CD,由KD=i.CK=CG=2.NCKD=30，易知AKDC为等腰三角形34-7.当I,过她物线顶点D时，符合题意，此时点M、坐标为（一1,）*3（iii）当点M在效物线对称轴右边时，只有点M及点A重合时，满意CM=CK,但点A、C、K在同始终线上，不能构成三角形嫁上所述,当点M的坐标分别为（一2,3）.（-1,芈时，ZiMCK为等腰三角形，
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