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1、黑池中学 2018 级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分. 1. 已知集合2,101，A，2xxB，则AB A2,1,1 B.2,1 C.2,1 D.2 2. 复数1zi, 则z对应的点所在的象限为 A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3 .下列函数中 , 是偶函数且在区间(0,+ ) 上单调递减的函数是 ? A 2 x yByxCyxD 2 1yx 4.函数 y=cos 2( x + 4 ) sin2(x + 4 )的最小正周期为 A. 2 B. C. 2 D. 4 5.以下说法错误的是（） A命题“若x 2-3x+2=0,
2、则 x=1”的逆否命题为“若 x1, 则 x 2-3x+2 0” B“ x=2”是“ x 2-3x+2=0 ”的充分不必要条件 C若命题p: 存在 x0R,使得 2 0 x -x 0+10）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是 10 和 6， 则 p 的值为 A2 B18 C2 或 18 D4 或 16 12. 已知函数 Rfxx 满足 2fxfx ，若函数 1x y x 与 yfx 图像的交点 为 11 xy， 22 xy，? ， mm xy，则 1 m ii i xy（） A. 0 B. mC. 2mD. 4m 第卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共
3、 20分. 13.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为357，现用分层 抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18 件，则样本容量n _ 14. 已知向量21a （ ， ） ，( , 1)bx，且 a b与 b共线，则 x 的值为 . 15. 已知随机变量 X 服从正态分布 2 (4,)N，且(26)0.98PX, 则 (2)P X . 16. 设不等式组 2 ,4 ,022 y x yx 表示的平面区域为 D， 在区域 D 内随机取一个点， 则此点到直线 x5=0的距离大于 7的概率是 . 三、解答题：本大题共 6小题，满分 70分，解答应写出文字说明，证 明过程或演算步
4、骤 . 17 ( 本题满分12 分) 在 ABC 中，已知 A= 4 ,cosB= 2 3 5 . （I）求 sinC 的值； （II）若 BC=25 ，D 为 AB 的中点，求CD 的长 . 18 ( 本题满分12 分) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形， PA平面ABCD，PA/BE，6,3.ABPABE （）求证：CE/平面PAD； （）求PD 与平面 PCE 所成角的正弦值. 19. （本小题满分12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，其中左焦点F( 2,0) (1) 求椭圆C的方程； (2) 若直线yxm与椭圆C交于不同的
5、两点,A B，且线段AB的中点M在 曲线 2 22xy上，求m的值 20. （本小题满分12 分） 如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁 店四天内销售情况的某项指标统计： （ I）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性； （）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行比对分析，共选了 3 次（有放回 选取） 设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X，求 X 的分布列及数学 期望 21.(本题满分12 分 ) 已知函数 e = 1 ax f x x （ ） （I ） 当1a时, 求曲线( )f x在(0,(0)f处的切线方程； （）求函数( )f x的
6、单调区间 . 请考生在第 22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分， 作答时请写清题号 . 22 ( 本小题满分10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知直线 l的参数方程为 x 3 2 2 t， y5 2 2 t （t为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2 5 sin . (1) 求圆C的直角坐标方程； (2) 设圆C与直线l交于点A，B. 若点P的坐标为 (3 ，5) ，求 |PA| |PB|. 23.(本小题满分10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为 1，1 (1)求
7、m的值； (2)若a，b，cR，且 1 a 1 2b 1 3c m，求a2b3c 的最小值 . A B C D E P y z x G P E D C B A 数学试题 (理四) 参考答案 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共 60分. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D A D B D B A C C B C B 二填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共 20分 . 13. 90 14. 2 15. 0.01 16. 25 4 三解答题：本大题共6小题，共 70分. 17 18、 ( 本题满分12 分) 解： （）设PA中点为 G，连结EG，DG 因为P
8、A/BE，且6PA，3BE， 所以BE/AG且BEAG， 所以四边形BEGA为平行四边形 2 分 所以EG/AB，且EGAB 因为正方形ABCD，所以CD/AB，CDAB， 所以EG/CD，且EGCD 所以四边形CDGE为平行四边形 4 分 所以CE/DG 因为DG平面PAD，CE平面PAD， 所以CE/平面PAD6 分 （）如图建立空间坐标系，则(6,6,0)C， (6,0,3)E，(0,0,6)P，(0,6,0)D， 所以(6,6,6)PC，(6,0,3)PE， (0,6,6)PD 8 分 设平面PCE的一个法向量为( , , )mx y z， 所以 00 20 0 m PCxyz xz
9、m PE 令1x，则 1 1 2 x y z ，所以(1,1,2)m 10 分 设PD与平面PCE所成角为， 则 63 sincos, 666 2 m PD m PD PD m 所以PD与平面PCE所成角的正弦值是 3 6 12 分 19. （本小题满分 12分） 解： （）由题意得， c a 2 2 ，c2，解得： 22 2 a b .3分 所以椭圆C的方程为： x2 8 y2 4 1. .5分 （）设点A，B的坐标分别为 (x1，y1) ， (x2，y2) ，线段AB的中点为M(x0，y0) ， 由 22 1 84 xy yxm 消去y得 3x 24mx 2m 2 80， 由 96 8m
10、20，解得 2 3m23，9分 所以x0x1 x2 2 2m 3 ，y0x0m m 3 因为点M(x0，y0) 在曲线x 22y2 上， 所以 2 2 22 33 mm ，解得 3 3 2 mm或11 分 经检验， 3 3 2 mm或.12 分 20.（本小题满分 12 分） 解： （）由茎叶图可知，甲连锁店的数据是6,7,9,10， 乙连锁店的数据是5,7,10,10 2 分 甲、乙数据的平均值为8. 设甲的方差为 2 1 S, 乙的方差为 2 2 S 则 2 1 5 , 2 S 2 2 9 , 2 S 4 分 因为 22 12, SS所以甲连锁店该项指标稳定. 6 分 （）从甲、乙两组数据
11、中各随机选一个， 甲的数据大于乙的数据概率为 63 =, 168 7 分 由已知， 3 (3,), 8 XBX服从的分布列.8 分 X的分布列为： X 01 2 3 P 125 512 225 512 135 512 27 512 10 分 数学期望 39 3. 88 EX 12 分 21.( 本小题满分12 分） 解： （） 2 e( -2)e 1,=,= 1(1) xx x af xfx xx 当时 （ ）（ ） 又(0)1f，(0)2f， 所以( )f x在(0,(0)f处的切线方程为21yx 4 分 （II ） 2 e (1) ( ) (1) ax axa fx x 当0a时， 2 1
12、 ( )0 (1) fx x 又函数的定义域为|1x x 所以( )f x的单调递减区间为(,1),(1,) 6 分 当0a时，令( )0fx，即(1)0axa，解得 1a x a 7 分 当0a时， 1 1 a x a ， 所以( )f x ， ( )f x 随x的变化情况如下表 x(,1) 1 1 (1,) a a 1a a 1 (,) a a ( )fx无定义0 ( )f x 极小值 所以( )f x 的单调递减区间为(,1)， 1 (1,) a a , 单调递增区间为 1 (,) a a 10 分 当0a时， 1 1 a x a 所以( )f x ， ( )f x 随x的变化情况如下表
13、： x 1 (,) a a 1a a 1 (,1) a a 1 1 (,) a a ( )fx 0 无定义 ( )f x 极大值 所以( )f x 的单调递增区间为 1 (,) a a 单调递减区间为 1 (,1) a a ，(1,)12 分 22本小题满分10 分）选修 44：坐标系与参数方程 解（）由25sin ，得x 2 y 22 5y0， 即x 2( y5) 2 5. .4 分 法一（）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程， 得 3 2 2 t 22 2 t 25，即 t 23 2t40. 由于 (32) 24 420，故可设 t1，t2是上述方程的两实根， 所以 t1 t2 32，
14、t1 t2 4. 又直线l过点P(3，5) ， 故由上式及t的几何意义得 |PA| |PB| |t1| |t2| t1t2 3210分 法二（）因为圆C的圆心为 (0 ，5) ，半径r5， 直线l的普通方程为：yx35. 22 2 (2)5, 3 +2=0. 35, xy xx yx 由得得x 23x20. 12 2515 xx yy 解得或 不妨设A(1,2 5) ，B(2,1 5) ，又点P的坐标为 (3，5) 故|PA| |PB| 823210分 23.(本小题满分10 分）选修 45：不等式选讲 解（）因为f(x2)m|x|， 所以f(x2)0等价于 |x|m， 由|x|m有解，得 m0，且其解集为 x|mxm 又 f(x2)0 的解集为 1，1，故 m1. .5 分 （）由(1)知1 a 1 2b 1 3c1，又a，b，cR，由柯西不等式得 a2b3c(a2b3c) 1 a 1 2b 1 3c a 1 a 2b 1 2b 3c 1 3c 2 9. 所以 a2b3c 的最小值为 9.10 分