2018年福建省中考数学试卷(a卷)(含答案解析).pdf

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1、2018 年福建省中考数学试卷（A卷） 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10 小题，每题 3 分，共 40 分） 1 （4.00 分）在实数 | 3| ，2，0， 中，最小的数是（） A| 3| B2 C0 D 2 （4.00 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（） A圆柱B三棱柱C 长方体D 四棱锥 3 （4.00 分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（） A1，1，2 B1，2，4 C2，3，4 D2，3，5 4 （4.00 分）一个 n 边形的内角和为 360，则 n 等于（） A3 B4 C5 D 6 5 （4.00 分）如图，等边三角形 ABC 中，AD B

2、C ，垂足为 D，点 E在线段 AD上，EBC=45 ， 则ACE 等于（） A15B30C 45D 60 6 （4.00 分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1 到 6 的点数，则下列 事件为随机事件的是（） A两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C 两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 7 （4.00 分）已知 m=+，则以下对 m的估算正确的（） A2m 3 B3m 4 C4m 5 D5m 6 8 （4.00 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一 条索，索比竿子长一托折回索

3、子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一 条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺； 如果将绳索对半折后再去量竿， 就比竿短 5 尺 设 绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则符合题意的方程组是（） AB C D 9（4.00 分） 如图，AB是O的直径，BC与O相切于点 B， AC交O于点 D， 若ACB=50 ， 则BOD 等于（） A40B50C 60D 80 10 （4.00 分）已知关于 x 的一元二次方程（ a+1）x 2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根， 下列判断正确的是（） A1 一定不是关于 x 的方程 x 2+bx+a=0的根 B0 一定不是关于 x 的方程

4、x 2+bx+a=0的根 C 1 和1 都是关于 x 的方程 x 2+bx+a=0的根 D 1 和1 不都是关于 x 的方程 x 2+bx+a=0的根 二、细心填一填（本大题共6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，请把答案填在答題卷相应题 号的横线上） 11 （4.00 分）计算：（） 01= 12 （4.00 分）某 8 种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，126，120，118， 124，则这组数据的众数为 13 （4.00 分）如图， RtABC中，ACB=90 ， AB=6 ，D是 AB的中点，则 CD= 14 （4.00 分）不等式组的解集为 15 （4.0

5、0 分）把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三 角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D 在同一直线 上若 AB=，则 CD= 16 （4.00 分）如图，直线 y=x+m与双曲线 y=相交于 A，B两点，BC x 轴，AC y 轴， 则ABC 面积的最小值为 三、专心解一解（本大题共9 小题，满分 86 分，请认真读题，冷静思考解答题应写出必要 的文宇说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 17 （8.00 分）解方程组： 18 （8.00 分）如图， ?ABCD 的对角线 AC ，BD相交于点 O ，EF过点

6、 O且与 AD ，BC分别相交 于点 E，F求证： OE=OF 19 （8.00 分）先化简，再求值：（1），其中 m=+1 20 （8.00 分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比 要求：根据给出的 ABC及线段 AB，A（A= A） ，以线段 AB为一边，在 给出的图形上用尺规作出ABC ，使得ABC ABC ， 不写作法，保留作图痕迹； 在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程 21 （8.00 分）如图，在 RtABC中，C=90 ，AB=10 ，AC=8 线段 AD由线段 AB绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到， EFG由ABC 沿 CB方向平移得到

7、，且直线EF过点 D （1）求 BDF的大小； （2）求 CG的长 22 （10.00 分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下： 甲公司为“基本工资 +揽件提成”，其中基本工资为70 元/ 日，每揽收一件提成2 元； 乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资若当日揽件数不超过40，每件提成 4 元；若 当日搅件数超过 40，超过部分每件多提成2 元 如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图： （1）现从今年四月份的30天中随机抽取 1 天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40 （不含 40）的概率； （2）根据以上信息，以今年四月份的数

8、据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该 公司各揽件员的 揽件数，解决以下问题： 估计甲公司各揽件员的日平均件数； 小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用 所学的统计知识帮他选择，井说明理由 23 （10.00 分）如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙 MN ，某人利用旧墙和木栏 围成一个矩形菜园 ABCD ，其中 AD MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米 木栏 （1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园 ABCD 面积的最大值 24 （12.00 分）已知四边形 AB

9、CD 是O的内接四边形， AC是O的直径， DE AB ，垂足为 E （1）延长 DE交O于点 F，延长 DC ，FB交于点 P，如图 1求证： PC=PB ； （2） 过点 B作 BC AD ， 垂足为 G ， BG交 DE于点 H， 且点 O和点 A都在 DE的左侧，如图 2 若 AB=，DH=1 ，OHD= 80，求 BDE 的大小 25 （14.00 分）已知抛物线y=ax 2+bx+c 过点 A（0，2） （1）若点（，0）也在该抛物线上，求a，b 满足的关系式； （2）若该抛物线上任意不同两点M （x1，y1） ，N（x2，y2）都满足：当 x1x20 时， （x1 x2） （y1

10、y2）0；当 0x1x2时， （x1x2） （y1y2）0以原点 O为心， OA为半径的圆 与拋物线的另两个交点为B，C，且 ABC有一个内角为 60 求抛物线的解析式； 若点 P与点 O关于点 A对称，且 O ，M ，N三点共线，求证： PA平分 MPN 2018 年福建省中考数学试卷（A卷） 参考答案与试题解析 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10 小题，每题 3 分，共 40 分） 1 （4.00 分）在实数 | 3| ，2，0， 中，最小的数是（） A| 3| B2 C0 D 【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案 【解答】解：在实数 | 3| ，2，0，

11、中， | 3|=3，则 20| 3| ， 故最小的数是： 2 故选： B 2 （4.00 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（） A圆柱B三棱柱C 长方体D 四棱锥 【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得 【解答】解： A、圆柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是圆，不符合题意； B、三棱柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是三角形，不符合题意； C 、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形，符合题意； D 、四棱锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图是四边形，不符合题意； 故选： C 3 （4.00 分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（） A1，1，2 B1，2，4 C

12、2，3，4 D2，3，5 【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解 【解答】解： A、1+1=2，不满足三边关系，故错误； B、1+24，不满足三边关系，故错误； C 、2+34，满足三边关系，故正确； D 、2+3=5，不满足三边关系，故错误 故选： C 4 （4.00 分）一个 n 边形的内角和为 360，则 n 等于（） A3 B4 C5 D 6 【分析】n 边形的内角和是（ n2）?180，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关 于边数的方程，解方程就可以求n 【解答】解：根据 n 边形的内角和公式，得： （n2）?180=360， 解得 n=4 故

13、选： B 5 （4.00 分）如图，等边三角形 ABC 中，AD BC ，垂足为 D，点 E在线段 AD上，EBC=45 ， 则ACE 等于（） A15B30C 45D 60 【分析】先判断出 AD是 BC的垂直平分线，进而求出ECB=45 ，即可得出结论 【解答】解：等边三角形ABC中，AD BC ， BD=CD ，即： AD是 BC的垂直平分线， 点 E在 AD上， BE=CE ， EBC= ECB ， EBC=45 ， ECB=45 ， ABC 是等边三角形， ACB=60 ， ACE= ACB ECB=15 ， 故选： A 6 （4.00 分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别

14、刻有1 到 6 的点数，则下列 事件为随机事件的是（） A两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C 两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生 的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进 行分析即可 【解答】解： A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误； B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误； C 、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；

15、D 、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确； 故选： D 7 （4.00 分）已知 m=+，则以下对 m的估算正确的（） A2m 3 B3m 4 C4m 5 D5m 6 【分析】直接化简二次根式，得出的取值范围，进而得出答案 【解答】解： m=+=2+， 12， 3m 4， 故选： B 8 （4.00 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一 条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一 条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺； 如果将绳索对半折后再去量竿， 就比竿短 5 尺 设 绳索长 x 尺，竿长 y 尺，

16、则符合题意的方程组是（） AB C D 【分析】设索长为x 尺，竿子长为 y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比 竿子短一托”，即可得出关于x、y 的二元一次方程组 【解答】解：设索长为x 尺，竿子长为 y 尺， 根据题意得： 故选： A 9（4.00 分） 如图，AB是O的直径，BC与O相切于点 B， AC交O于点 D， 若ACB=50 ， 则BOD 等于（） A40B50C 60D 80 【分析】根据切线的性质得到ABC=90 ，根据直角三角形的性质求出A，根据圆周角定 理计算即可 【解答】解： BC是O的切线， ABC=90 ， A=90 ACB =40， 由圆周角定理得，

17、BOD=2 A=80 ， 故选： D 10 （4.00 分）已知关于 x 的一元二次方程（ a+1）x 2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根， 下列判断正确的是（） A1 一定不是关于 x 的方程 x 2+bx+a=0的根 B0 一定不是关于 x 的方程 x 2+bx+a=0的根 C 1 和1 都是关于 x 的方程 x 2+bx+a=0的根 D 1 和1 不都是关于 x 的方程 x 2+bx+a=0的根 【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1 或 b=（a+1） ，当 b=a+1 时， 1 是 方程 x 2+bx+a=0的根；当 b=（a+1）时，1 是方程 x2+bx+a

18、=0的根再结合 a+1（a+1） ， 可得出 1 和1 不都是关于 x 的方程 x 2+bx+a=0的根 【解答】解：关于x 的一元二次方程（ a+1）x 2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根， ， b=a+1或 b=（a+1） 当 b=a+1时，有 ab+1=0，此时 1 是方程 x 2+bx+a=0的根； 当 b=（a+1）时，有 a+b+1=0 ，此时 1 是方程 x 2+bx+a=0的根 a+10， a+1（ a+1） ， 1 和1 不都是关于 x 的方程 x 2+bx+a=0的根 故选： D 二、细心填一填（本大题共6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，请把答案填在答題卷

19、相应题 号的横线上） 11 （4.00 分）计算：（） 01= 0 【分析】根据零指数幂： a 0=1（a0）进行计算即可 【解答】解：原式 =11=0， 故答案为： 0 12 （4.00 分）某 8 种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，126，120，118， 124，则这组数据的众数为120 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数 【解答】解：这组数据中120 出现次数最多，有3 次， 这组数据的众数为120， 故答案为： 120 13 （4.00 分）如图， RtABC中，ACB=90 ， AB=6 ，D是 AB的中点，则 CD= 3 【分析】

20、根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答 【解答】解： ACB=90 ， D为 AB的中点， CD= AB= 6=3 故答案为： 3 14 （4.00 分）不等式组的解集为x2 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可 【解答】解： 解不等式得： x1， 解不等式得： x2， 不等式组的解集为x2， 故答案为： x2 15 （4.00 分）把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三 角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D 在同一直线 上若 AB=，则 CD= 1 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2 ，BF=A

21、F=1 ，再利用勾股定理求出DF ，即 可得出结论 【解答】解：如图，过点A作 AF BC于 F， 在 RtABC中，B=45 ， BC=AB=2 ，BF=AF=AB=1 ， 两个同样大小的含45角的三角尺， AD=BC=2 ， 在 RtADF中，根据勾股定理得， DF= CD=BF+DFBC=1+2=1， 故答案为：1 16 （4.00 分）如图，直线 y=x+m与双曲线 y=相交于 A，B两点，BC x 轴，AC y 轴， 则ABC 面积的最小值为6 【分析】根据双曲线 y=过 A，B两点，可设 A （a， ） ，B （b， ） ，则 C （a，） 将 y=x+m 代入 y=，整理得 x

22、2+mx 3=0，由于直线 y=x+m与双曲线 y= 相交于 A，B两点，所以 a、 b 是方程 x 2+mx 3=0的两个根，根据根与系数的关系得出 a+b=m ，ab=3，那么（ ab） 2=（a+b）24ab=m2+12再根据三角形的面积公式得出 SABC=AC?BC=m 2+6，利用二次函数 的性质即可求出当 m=0时， ABC 的面积有最小值 6 【解答】解：设 A（a，） ，B（b，） ，则 C （a，） 将 y=x+m代入 y=，得 x+m= ， 整理，得 x 2+mx 3=0， 则 a+b=m ，ab=3， （ab） 2=（a+b）24ab=m2+12 SABC=AC?BC =

23、（） （ab） =?（ab） =（ab） 2 =（m 2+12） =m 2+6， 当 m=0时， ABC 的面积有最小值6 故答案为 6 三、专心解一解（本大题共9 小题，满分 86 分，请认真读题，冷静思考解答题应写出必要 的文宇说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 17 （8.00 分）解方程组： 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：， 得： 3x=9， 解得： x=3， 把 x=3 代入得： y=2， 则方程组的解为 18 （8.00 分）如图， ?ABCD 的对角线 AC ，BD相交于点 O ，EF过点 O且与 AD ，BC分别相交 于点 E

24、，F求证： OE=OF 【分析】 由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 OA=OC， AD BC ， 继而可证得 AOE COF（ASA ） ， 则可证得结论 【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形， OA=OC，AD BC ， OAE= OCF ， 在OAE 和OCF 中， ， AOE COF （ASA ） ， OE=OF 19 （8.00 分）先化简，再求值：（1），其中 m=+1 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入即可解答本题 【解答】解：（1） = = =， 当 m=+1 时，原式 = 20 （8.00 分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相

25、似比 要求：根据给出的 ABC及线段 AB，A（A= A） ，以线段 AB为一边，在 给出的图形上用尺规作出ABC ，使得ABC ABC ， 不写作法，保留作图痕迹； 在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程 【分析】 （1）作 ABC= ABC ，即可得到 ABC ； （2）依据 D是 AB的中点， D是 AB 的中点，即可得到=，根据 ABC ABC ， 即 可得 到=， A= A，进 而得 出 ACD ACD ， 可 得 =k 【解答】解：（1）如图所示， ABC 即为所求； （2）已知，如图， ABC ABC ，=k，D是 AB的中点， D是 AB 的中点， 求证

26、：=k 证明： D是 AB的中点， D是 AB 的中点， AD= AB ，AD=AB ， =， ABC ABC ， =，A=A， =，A=A， ACD ACD ， =k 21 （8.00 分）如图，在 RtABC中，C=90 ，AB=10 ，AC=8 线段 AD由线段 AB绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到， EFG由ABC 沿 CB方向平移得到，且直线EF过点 D （1）求 BDF的大小； （2）求 CG的长 【分析】 （1）由旋转的性质得， AD=AB=10 ，ABD=45 ，再由平移的性质即可得出结论； （2）先判断出 ADE= ACB ，进而得出 ADE ACB ，得出比例式求出 A

27、E ，即可得出结论 【解答】解：（1）线段 AD是由线段 AB绕点 A按逆时针方向旋转90得到， DAB=90 ， AD=AB=10 ， ABD=45 ， EFG 是ABC沿 CB方向平移得到， AB EF ， BDF= ABD=45 ； （2）由平移的性质得， AE CG ，AB EF， DEA= DFC= ABC ，ADE+ DAB=180 ， DAB=90 ， ADE=90 ， ACB=90 ， ADE= ACB ， ADE ACB ， ， AB=8 ，AB=AD=10 ， AE=12.5， 由平移的性质得， CG=AE=12.5 22 （10.00 分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快

28、件的员工）的日工资方案如下： 甲公司为“基本工资 +揽件提成”，其中基本工资为70 元/ 日，每揽收一件提成2 元； 乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资若当日揽件数不超过40，每件提成 4 元；若 当日搅件数超过 40，超过部分每件多提成2 元 如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图： （1）现从今年四月份的30天中随机抽取 1 天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40 （不含 40）的概率； （2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该 公司各揽件员的 揽件数，解决以下问题： 估计甲公司各揽件员的日平均件数； 小明

29、拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用 所学的统计知识帮他选择，井说明理由 【分析】 （1）根据概率公式计算可得； （2）分别根据平均数的定义及其意义解答可得 【解答】解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的有 4 天， 所以甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含 40）的概率为=； （2）甲公司各揽件员的日平均件数为=39件； 甲公司揽件员的日平均工资为70+392=148元， 乙公司揽件员的日平均工资为 =40+ 4+6 =159.4 元， 因为 159.4148， 所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘 23 （10.00 分）如图

30、，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙 MN ，某人利用旧墙和木栏 围成一个矩形菜园 ABCD ，其中 AD MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米 木栏 （1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园 ABCD 面积的最大值 【分析】 （1）设 AB=xm ，则 BC= （1002x）m ，利用矩形的面积公式得到x（1002x）=450， 解方程得 x1=5，x2=45，然后计算 1002x 后与 20 进行大小比较即可得到AD的长； （2）设 AD=xm ，利用矩形面积得到S= x（100x） ，配方得到 S=（x50）

31、 2+1250，讨 论：当 a50 时，根据二次函数的性质得S 的最大值为 1250；当 0a50 时，则当 0x a 时，根据二次函数的性质得S的最大值为 50aa 2 【解答】解：（1）设 AB=xm ，则 BC= （1002x）m ， 根据题意得 x（1002x）=450，解得 x1=5，x2=45， 当 x=5 时，1002x=9020，不合题意舍去； 当 x=45 时，1002x=10， 答：AD的长为 10m ； （2）设 AD=xm ， S= x（100x）=（x50） 2+1250， 当 a50 时，则 x=50 时，S的最大值为 1250； 当 0a50 时， 则当 0xa

32、时， S随 x 的增大而增大，当 x=a时， S的最大值为 50aa 2， 综上所述，当 a50 时，S的最大值为 1250；当 0a50 时，S的最大值为 50aa 2 24 （12.00 分）已知四边形 ABCD 是O的内接四边形， AC是O的直径， DE AB ，垂足为 E （1）延长 DE交O于点 F，延长 DC ，FB交于点 P，如图 1求证： PC=PB ； （2） 过点 B作 BC AD ， 垂足为 G ， BG交 DE于点 H， 且点 O和点 A都在 DE的左侧，如图 2 若 AB=，DH=1 ，OHD=80 ，求 BDE 的大小 【分析】 （1）先判断出 BC DF ，再利用

33、同角的补角相等判断出F=PCB ，即可得出结论； （2）先判断出四边形DHBC是平行四边形，得出BC=DH=1 ，再用锐角三角函数求出 ACB=60 ，进而判断出 DH=OD，求出 ODH=20 ，即可得出结论 【解答】解：（1）如图 1，AC是O的直径， ABC=90 ， DE AB ， DEA=90 ， DEA= ABC ， BC DF ， F=PBC ， 四边形 BCDF 是圆内接四边形， F+DCB=180 ， PCB+ DCB=180 ， F=PCB ， PBC= PCB ， PC=PB ； （2）如图 2，连接 OD ，AC是O的直径， ADC=90 ， BG AD ， AGB=9

34、0 ， ADC= AGB ， BG DC ， BC DE ， 四边形 DHBC 是平行四边形， BC=DH=1 ， 在 RtABC中，AB=，tan ACB=， ACB=60 ， BC= AC=OD， DH=OD， 在等腰三角形 DOH 中， DOH= OHD=80 ， ODH=20 ， 设 DE交 AC于 N ， BC DE ， ONH= ACB=60 ， NOH=180 （ ONH+ OHD ）=40， DOC= DOH N OH=40 ， OA=OD， OAD= DOC=20 ， CBD= OAD=20 ， BC DE ， BDE= CBD=20 25 （14.00 分）已知抛物线y=a

35、x 2+bx+c 过点 A（0，2） （1）若点（，0）也在该抛物线上，求a，b 满足的关系式； （2）若该抛物线上任意不同两点M （x1，y1） ，N（x2，y2）都满足：当 x1x20 时， （x1 x2） （y1y2）0；当 0x1x2时， （x1x2） （y1y2）0以原点 O为心， OA为半径的圆 与拋物线的另两个交点为B，C，且 ABC有一个内角为 60 求抛物线的解析式； 若点 P与点 O关于点 A对称，且 O ，M ，N三点共线，求证： PA平分 MPN 【分析】 （1）由抛物线经过点 A可求出 c=2，再代入（，0）即可找出 2ab+2=0 （a 0） ； （2）根据二次函数

36、的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向下，进而可得出b=0， 由抛物线的对称性可得出ABC为等腰三角形，结合其有一个 60的内角可得出 ABC 为等 边三角形，设线段 BC与 y 轴交于点 D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用 待定系数法可求出 a 值，此题得解； 由的结论可得出点M的坐标为（ x1，+2） 、点 N的坐标为（ x2，+2） ，由 O 、 M 、N三点共线可得出 x2=，进而可得出点 N及点 N 的坐标，由点 A、M的坐标利用待 定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N 在直线 PM 上，进而即可证出PA平分 MPN 【解答】解

37、：（1）抛物线 y=ax 2+bx+c过点 A（0，2） ， c=2 又点（，0）也在该抛物线上， a（） 2+b（ ）+c=0， 2ab+2=0（a0） （2）当 x1x20 时， （x1x2） （y1y2）0， x1x20，y1y20， 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 同理：当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， 抛物线的对称轴为y 轴，开口向下， b=0 OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C ， ABC 为等腰三角形， 又 ABC 有一个内角为 60， ABC 为等边三角形 设线段 BC与 y 轴交于点 D ，则 BD=CD ，且OCD=30 ， 又OB=OC=OA=2

38、， CD=OC?cos30=，OD=OC?sin30 =1 不妨设点 C在 y 轴右侧，则点 C的坐标为（，1） 点 C在抛物线上，且 c=2，b=0， 3a+2=1， a=1， 抛物线的解析式为y=x 2+2 证明：由可知，点M的坐标为（ x1，+2） ，点 N的坐标为（ x2，+2） 直线 OM 的解析式为 y=k1x（k10） O 、M 、N三点共线， x10，x20，且=， x1+=x2+， x1x2=， x1x2=2，即 x2=， 点 N的坐标为（，+2） 设点 N关于 y 轴的对称点为点 N ，则点 N 的坐标为（，+2） 点 P是点 O关于点 A的对称点， OP=2OA=4， 点 P的坐标为（ 0，4） 设直线 PM的解析式为 y=k2x+4， 点 M的坐标为（ x，+2） ， +2=k2x1+4， k2=， 直线 PM的解析式为 y=+4 ?+4=+2， 点 N 在直线 PM 上， PA平分MPN