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1、1 机密启用前 山东省普通高校招生（春季）考试 数学试题 注意事项： 1. 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分. 满分 120 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答 题卡一并交回。 2. 本次考试允许使用函数型计算机，凡使用计算器的题目， 最后结果精确到0.01. 卷一（选择题，共 60 分） 一、选择题（本题25 个小题，每小题 3分，共 75 分） 1. 若集合3 , 2, 1,4 , 3 , 2 , 1NM，则下列关系式中正确的是（） A. MNM B. NNM C. MN D. MN 2若 p 是假命题， q是真命题，则下列命题为真命题的是（） A. q B
2、. qp C. )(qp D. qp 3. 过点 p(1,2) 且与直线013yx平行的直线方程是（） A. 053yx B. 073yx C. 053yx D. 053yx 4. “bca2 ”是“ a,b,c ”成等差数列的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2 5. 函数54 2 xxy的定义域是（） A. 5 , 1 B. 1, 5 C. ), 5 1,( D. ), 1 5,( 7. 若函数) 3 sin(2xy的最小正周期为，则的值为（） A. 1 B. 2 C. 2 1 D. 4 8. 已知点 M(-1， 6),N(3， 2)
3、,则线段 MN 的垂直平分线方程为（） A. 04yx B. 03yx C. 05yx D. 0174yx 9. 五边形 ABCDE 为正五边形，以 A,B,C,D,E 为顶点的三角形的个数是（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 10. 二次函数) 1)(3(xxy的对称轴是（） A. 1x B. 1x C. 2x D. 2x 11. 已知点)2,9(mmP在第一象限，则m的取值范围是（） A. 92m B. 29m C. 2m D. 9m 12. 在同一坐标系中，二次函数axay 2 )1 (与指数函数 x ay的图象 可能的是（） A. B. C. D. 13. 将卷号为 1
4、 至 4 的四卷文集按任意顺序排放在书架的同一层上，则自左到右 卷号顺序恰为 1,2,3,4的概率等于（） A. 8 1 B. 12 1 C. 16 1 D. 24 1 14. 已知抛物线的准线方程为2x，则抛物线的标准方程为（） A. xy8 2 B. xy8 2 C. xy4 2 D. xy4 2 x y o 1 1 x y o x y o x y o 3 15. 已知2)tan(，则 2 cos等于（） A. 5 4 B. 5 3 C. 5 2 D. 5 1 16. 在下列函数图象中，表示奇函数且在), 0(上为增函数的是（） . A. B. C. D. 17. 5 ) 12( x的二项
5、展开式中 3 x 的系数是（） A. -80 B. 80 C. -10 D. 10 18. 下列四个命题： （1）过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行； （2）过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直； （3）平行于同一个平面的两个平面平行； （4）垂直于同一个平面的两个平面平行。 其中真命题的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 19. 设10ba，那么5loga与5logb的大小关系（） A. 5log5log ba B. 5log5log ba C. 5log5log ba D. 无法确定 20. 满足线性约束条件 0 0 02 y x yx 的可行域如图所示，
6、则线性目标函数 yxz22取得最大值时的最优解是（） A.(0,0) B.（1,1 ） y 0 x y 0 x y 0 x y 0 x 0 2 2 x y 4 C.（2,0 ） D. （0,2 ） 21. 若),0(abba则下列关系式中正确的是（） A. ba B. 22 bcac C. ba 11 D. bcac 22. 在ABC中已知3a，4b，37c，则ABC的面积是（） A. 2 3 B. 3 C. 23 D. 33 23. 若点)3 ,(log3 n m p关于原点的对称点为),9, 1 ( / p则m与n的值分别为 ( ) A. 3 1 ,2 B. 3,2 C. 3 1 ,-2
7、D. -3,-2 24. 某市 2012 年的专利申请量为10 万件，为了落实“科教兴鲁”战略，该市 计划 2017年专利申请量达到20万件，其年平均增长率最少为（） A. 12.0 0 25 B. 13.0 0 32 C. 14.0 0 78 D. 18.0 0 92 25. 如图所示，点 p 是等轴双曲线上除顶点外的任意一点， 21, A A是双曲线的顶 点，则直线 1 pA 与 2 pA 的斜率之积为（） A. 1 B. -1 C. 2 D.-2 卷二（非选择题，共 60 分） 二、填空题（本题5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 26. 已知函数 2 )(xxf，则) 1(tf_
8、. 27. 某射击运动员射击5 次，命中的环数为9,8,6,8,9则这 5 个数据的方差为 _. 28. 一个球的体积与其表面积的数值恰好相等，该球的直径是 _. 29. 设直线 023yx 与圆25 22 yx的两个交点为A,B，则线段 AB的长度 为_. p A1 A2 y x o 5 30. 已知向量),sin,(cosa)3 ,0(b，若ab取最大值，则a的坐标为 _ . 三、解答题（本题5 个小题，共 55 分，请在答题卡的相应的题号处写出解答 过程） 31. （本题 9 分）在等比数列 n a中，4 2 a，8 3 a。求： （1）该数列的通向公式； （2）该数列的前 10 项和。
9、 32. （本题 11 分）已知点 p（4,3 ）是角终边上一点，如图所示。 求)2 6 sin(的值。 33. （本题 11 分）如图所示，已知棱长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD (1) 求三棱锥BCDC1的体积； (2) 求证：平面BDC1平面CDBA 11 . F D1 C1 B1 A1 D C 0 y x P(4,3) 6 34. （本题 12 分）某市为鼓励居民节约用电，采取阶梯电价的收费方式，居民 当月用电量不超过100 度的部分，按基础电价收费；超过100 度不超过 150 度的部分，按每度 0.8 元收费；超过 150 度的部分按每度1.2 元收费. 该居 民当月
10、的用电量x( 度)与应付电费 y ( 元) 的函数图象如图所示。 （1）求该市居民用电的基础电价是多少？ （2）某居民 8 月份的用电量为 210 度，求应付电费多少元？ （3）当150,100x时，求x与 y的函数关系式（x为自变量） 35. （本题 12 分）已知椭圆的一个焦点为) 0, 3( 1 F, 其离心率为 2 3 。 （1）求该椭圆的标准方程； （2）圆 5 422 yx的任一条切线与椭圆均有两个交点A,B， 求证：OBOA(O 为坐标原点 ) 。 山东省 2013 年普通高校招生（春季）考试答案 一、选择题（本题25个小题，每小题 3 分，共 75 分） 1.C 2.B 3.A
11、 4.C 5.D 6.A 7.B 8.B 9.B 10.D 11.A 12.C 13.D 14.B 15.D 16.A 17.B 18.B 19.C 20.C 21.D 22.D 23.A 24.C 25.A 二、填空题（本题5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 0 x（度）150 100 50 50 90 150 y（元） 7 26. 2 ) 1(t或12 2 tt 27. 5 6 或 1.2 28.6 29.8 30.（0,1 ） 三、解答题（本题5 个小题，共 55 分，请在答题卡的相应的题号处写出解答 过程） 31.（本题 9 分） （1）解法一：由等比数列的定义可知：公比2 4
12、 8 2 3 a a q 2分 由q a a 1 2 ，得2 1 a 2分 因此，所求等比数列的通项公式为 nnn n qaa222 11 1 1分 解法二：设等比数列的通项公式为 1 1 n n qaa 由已知列方程组 8 4 2 1 1 qa qa 2分 解之得 2 2 1 q a 2分 因此，所求等比数列的通项公式为 nnn n qaa222 11 1 1分 （2）由等比数列的前n和公式，得 q qa S 1 )1 ( 10 1 10 2分 21 )21 (2 10 =2046 1分 即：该数列的前10 项和为 2046. 32. （本题 11 分） 解：由 p（4,3 ）是角 终边上一
13、点，知3, 4 yx 得5430 22 pr 1分 所以 5 3 sin， 5 4 cos 2分 所以 25 7 sincos2cos 22 2分 8 25 24 cossin22sin 2分 所以2sin 6 cos2cos 6 sin)2 6 sin( 2分 50 3247 2分 33. （本题 11 分） 解： （1）由正方体的棱为1，可得BCD的面积为 2 1 11 2 1 2分 所以， 6 1 1 2 1 3 1 1 BCDC V 2分 （2）证明：由 CD平面 11BCC B, 又 1 BC平面 11BCC B, 得 1 BCCD 2分 又正方形 11BCC B中， 11 BCCB
14、 1分 且CCDCB1,CB1平面CDBA 11 , CD平面CDBA 11 所以 1 BC平面CDBA 11 2分 1 BC平面BDC1 所以，平面BDC1平面CDBA 11 2分 35. （本题 12分） 解： （1）由椭圆的一个焦点坐标为)0,3( 1 F。得3c 1分 由椭圆的离心率为 2 3 ，得 2 3 a c 1分 因此得2a 1分 从而134 222 cab 1分 由已知得焦点在 x 轴上，所以椭圆的标准方程为1 4 2 2 y x 1分 （2）证明：当圆的切线斜率存在时， 设其方程为tkxy 1分 9 将其代人1 4 2 2 y x ，整理得0448)41( 222 tktx
15、xk 1分 设),(),( 2211 yxByxA，由韦达定理得， 2 21 2 2 21 41 8 , 41 44 k kt xx k t xx 所以 2 22 2121 41 4 )( k kt tkxtkxyy 1分 由点到直线的距离公式知，原点到切线tkxy的距离为 2 1 5 52 k t 即 2 2 415 4 k t ，得 22 445kt 1分 因此OA 2121 OByyxx 2 2 41 44 k t 22 22 2 22 41 0 41 445 41 4 kk kt k kt 所以OA0OB，即OBOA 1分 当圆的切线斜率不存在时，切线方程为5 5 2 x 此时其中一条
16、切线与椭圆的交点), 5 52 , 5 52 (A) 5 52 , 5 52 (B 显然OA0OB, 即OBOA 同理可得，另一条切线也具有此性质。 所以，切线斜率不存在时，OBOA也成立。 综上，OBOA。 1分 34. （本题 12 分） 解： （1）设该市居民用电的基础电价是每度 1 k 元， 则所用电量x( 度) 与应付电费 y(元)的函数关系是)1000( 1 xxky 1分 由函数图象过点（ 100,50 ） ，得 1 10050k ，即5. 0 1 k 1分 所以，既基础电价为每度0.5 元。 1分 （2）由阶梯电价曲线可知，在 210 度电中， 其中， 100 度的电费为501005. 0 1 y（元） ； 1分 1 0 50 度的电费为40508 . 0 2 y（元） ； 1分 60 度的电费为72602. 1 3 y（元） ； 1分 所以，该居民 8 月份应付电费 50+40+72=162元。 1分 （3）设函数的解析式为150,100(, 2 xbxky 1分 由题意可知8 .0 2 k 1分 由因为函数图象过点（ 150,90） ，因此b8. 015090 1分 解得30b 1分 所以，所求函数的解析式为150,100,308 . 0xxy。 1分