二次项定理10大典型例题(0617001029).pdf

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1、. . （1）知识点的梳理 1二项式定理： 011 ()() nnnrn rrnn nnnn abC aC abC abC bnNLL， 2基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做() n ab的二项展开式。 二项式系数 :展开式中各项的系数 r n C(0,1,2, )rn. 项数：共(1)r项，是关于a与b 的齐次多项式 通 项 ： 展 开 式 中 的 第 1r 项 rnrr n C ab叫 做 二 项 式 展 开 式 的 通 项 。 用 1 rn rr rn TC ab表示。 3注意关键点： 项数：展开式中总共有(1)n项。 顺序：注意正确选择a,b ,其顺序不能更改。() n ab与

2、() n ba是不同的。 指数：a的指数从n逐项减到 0，是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到n，是 升幂排列。各项的次数和等于n. 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 012 ,. rn nnnnn CCCCC项的系数是a与 b 的系数（包括二项式系数） 。 . . 4常用的结论： 令1,abx 0122 (1)() nrrnn nnnnn xCC xC xC xC xnNLL 令1,abx 0122 (1)( 1)() nrrnnn nnnnn xCC xC xC xC xnNLL 5性质： 二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 0n

3、nn CC， 1kk nn CC 二 项 式 系 数 和： 令1ab, 则 二 项 式系 数的 和 为 012 2 rnn nnnnn CCCCCLL， 变形式 12 21 rnn nnnn CCCCLL。 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1ab，则 0123 ( 1)(1 1)0 nnn nnnnn CCCCCL， 从而得到： 024213211 1 22 2 rrnn nnnnnnn CCCCCCCL 奇数项的系数和与偶数项的系数和： . . 0011222012 012 0011222021 210 0123 0123 () () 1,(1) 1,(1

4、) nnnnnnn nnnnn nnnnnnn nnnnn n n n n axC a xC axC axC a xaa xa xa x xaC a xC axC a xC a xa xa xa xa xaaaaaa xaaaaaa LL LL L L 令则 令则 024 135 (1)(1) ,() 2 (1)(1) ,() 2 nn n nn n aa aaaa aa aaaa L L 得奇数项的系数和 得偶数项的系数和 二项式系数的最大项： 如果二项式的幂指数n是偶数时， 则中间一项的二项式 系数 2 n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数 1 2

5、 n n C, 1 2 n n C 同时取得最大值。 系数的最大项：求() n abx展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开 式中各项系数分别 为 121 , n AAA，设第1r项系数最大，应有 1 12 rr rr AA AA ，从而解出r来。 （2）专题总结 专题一 题型一：二项式定理的逆用； 例： 12321 666 . nn nnnn CCCCL 解： 012233 (16)6666 nnn nnnnn CCCCCL与已知的有一些差距， 12321122 1 666(666 ) 6 nnnn nnnnnnn CCCCCCCLL 0122 111 (6661)(16)1(71)

6、666 nnnn nnnn CCCCL . . 练： 1231 393 . nn nnnn CCCCL 解：设 1231 393 nn nnnnn SCCCCL，则 12233012233 3333333331(13)1 nnnnn nnnnnnnnnn SCCCCCCCCCLL (13)141 33 nn n S 题型二：利用通项公式求 n x的系数； 例：在二项式 32 4 1 () n x x 的展开式中倒数第 3项的系数为 45，求含有 3 x的项的 系数？ 解：由条件知 2 45 n n C， 即 2 45 n C， 2 900nn， 解得9()10nn舍去 或， 由 21021 1

7、0 3434 11010 ()() r r rrrr r TCxxC x，由题意 102 3,6 43 r rr解得， 则含有 3 x的项是第 7项 633 6 110 210TC xx,系数为210。 练：求 291 () 2 x x 展开式中 9 x的系数？ 解： 2918 218 3 1999 111 ()()()() 222 rrrrrrrrrr r TCxC xxCx x ，令 1839r,则 3r 故 9 x的系数为 33 9 121 () 22 C。 题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式 2101 () 2 x x 的展开式中的常数项？ 解： 5 20 210 2 110

8、10 11 ()()( ) 22 r rrrrr r TCxCx x ，令 5 200 2 r，得8r，所以 . . 88 910 145 ( ) 2256 TC 练：求二项式 61 (2) 2 x x 的展开式中的常数项？ 解： 666 2 166 11 (2 )( 1) ()( 1)2( ) 22 rrrrrrrrr r TCxCx x ，令620r，得3r，所 以 33 46 ( 1)20TC 练：若 2 1 () n x x 的二项展开式中第 5项为常数项，则_.n 解： 42444212 5 1 ()( ) nn nn TCxC x x ，令 2120n，得6n. 题型四：利用通项公

9、式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式 93 ()xx展开式中的有理项？ 解： 1271 9 362 199 ()()( 1) r rrrrr r TCxxC x， 令 27 6 r Z,(09r)得39rr或， 所以当3r时， 27 4 6 r ， 3344 49 ( 1)84TC xx， 当9r时， 27 3 6 r ， 3933 109 ( 1)TC xx。 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若 2 32 1 () n x x 展开式中偶数项系数和为256，求n. 解：设 2 32 1 () n x x 展开式中各项系数依次设为 01 , n aaa 1x令,则

10、有 01 0, n aaa，1x令,则有 0123 ( 1)2 , nn n aaaaa 将-得： 135 2()2 , n aaa 1 135 2, n aaa 有题意得， 18 22562 n ，9n。 . . 练：若 35 2 11 () n xx 的展开式中， 所有的奇数项的系数和为1024， 求它的中间项。 解： 024213211 2 rrn nnnnnnn CCCCCCCQL， 1 21024 n ， 解得11n 所以中间两个项分别为6,7nn， 5654 35 5 12 11 () ()462 n TCx xx ， 61 15 6 1 462Tx 题型六：最大系数，最大项； 例

11、：已知 1 (2 ) 2 n x，若展开式中第 5项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数 列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解： 4652 2,21980, nnn CCCnnQ解出714nn或，当7n时，展开式 中二项式系数最大的项是 45 TT和 343 47 135 () 2, 22 TC的系数， 434 57 1 () 270, 2 TC的系数当14n时，展开式中二项式系数最大的项是 8 T， 777 814 1 C() 23432 2 T 的系数。 练：在 2 () n ab的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系

12、数最大，即 21 1 2 nn TT， 也就是第1n项。 练：在 3 1 () 2 n x x 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项 是多少？ 解：只有第 5项的二项式最大， 则15 2 n ，即8n,所以展开式中常数项为第七 项等于 62 8 1 ()7 2 C 练：写出在 7 ()ab的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？ 解：因为二项式的幂指数7 是奇数，所以中间两项 (4,5第项)的二项式系数相等， . . 且同时取得最大值， 从而有 343 47 TC a b的系数最小， 434 57 TC a b系数最大。 练：若展开式前三项的二项式系数和等于79 ，求 1 (

13、2 ) 2 n x的展开式中系数最大 的项？ 解：由 012 79, nnn CCC解出12n,假设 1r T 项最大， 121212 11 (2 )( ) (1 4 ) 22 xxQ 11 11212 11 12 1212 44 44 rrrr rr rrrr rr AACC AA CC ，化简得到 9.410.4r，又012rQ， 10r，展开式中系数最大的项为 11 T,有 1210101010 1112 1 ( )416896 2 TCxx 练：在 10 (12 )x的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设 1r T项最大， 110 2 rrr r TCxQ 11 10101 11 1

14、2 1010 222(11) 12(10) 22, rrrr rr rrrr rr CCAArr AArr CC 解得，化简得到 6.37.3k，又010rQ，7r，展开式中系数最大的项为 7777 8102 15360.TCxx 题型七：含有三项变两项； 例：求当 25 (32)xx的展开式中x的一次项的系数？ 解法： 2525 (32)(2)3 xxxx， 25 15( 2)(3 ) rrr r TCxx，当且仅当1r 时， 1r T的展开式中才有 x 的一次项，此时 124 125( 2) 3 r TTCxx， 所以x得一次项为 144 542 3 C Cx 它的系数为 144 542

15、3 240C C。 解法： 255505145051455 555555 (32)(1) (2)()(22 )xxxxC xC xCC xC xC 故展开式中含x的项为 45544 55522240C xCC xx， 故展开式中 x的系数为 240. 练：求式子 31 (2)x x 的常数项？ 解： 3611 (2)()xx x x ，设第1r项为常数项，则 . . 66 2 6 166 1 ( 1)()( 1) rr rrrr r TCxCx x ，得 620r,3r, 33 3 16 ( 1)20TC. 题型八：两个二项式相乘； 例： 342 (12 ) (1)xxx求展开式中的系数 .

16、解： 3 33(12 )(2 )2, mmmmm xxxQ的展开式的通项是CC 4 44 (1)C()C1,0,1,2,3,0,1,2,3, 4, nnnnn xxxmn的展开式的通项是其中 34 2,02,11,20,(12 ) (1)mnmnmnmnxx令则且且且因此 2002211112200 3434342( 1)2( 1)2( 1)6xCCCCCC的展开式中的系数等于 . 练： 6103 4 1 (1) (1)x x 求展开式中的常数项. 解： 43 6103 3412 610610 4 1 (1) (1) mnmn mnmn xC xC xCCx x 展开式的通项为 0,3,6,

17、0,1,2,6,0,1,2,10,43 , 0,4,8, mmm mnmn nnn 其中当且仅当即或或 003468 6106106104246CCCCCC时得展开式中的常数项为. 练： 2* 3 1 (1)(),28,_. n xxxnNnn x 已知的展开式中没有常数项且则 解： 34 3 1 ()CC, nrn rrrnr nn xxxx x 展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得 44142 C,C,C,28 rnrrnrrnr nnn xxxnQ 展开式中不含常数项 441424,83,72,6,5.nrnrnrnnnn且且，即且且 . . 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和

18、； 例： 2006 (2),2,_.xxSxS在的二项展开式中含 的奇次幂的项之和为当时 解： 20061232006 01232006 (2)xaa xa xa xaxL设=- 20061232006 01232006 (2)xaa xa xa xaxL=- 35200520062006 1352005 2()(2)(2)a xa xa xaxxxL得 200620062006 1 (2)( )(2)(2) 2 xS xxx展开式的奇次幂项之和为 3 2006 2 20062006300812 2,(2)(22)(22)2 22 xS当时 题型十：赋值法； 例：设二项式 3 1 (3) n

19、x x 的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为 s,若 272ps,则n等于多少？ 解：若 23 012 1 (3) nn n xaa xa xa x x ，有 01n Paaa， 0 2 nn nn SCC， 令1x得4 n P，又272ps,即42272(217)(216)0 nnnn 解得 216217() nn 或舍去，4n. 练：若 n x x 1 3的展开式中各项系数之和为64 ， 则展开式的常数项为多少？ 解：令1x，则 n x x 1 3的展开式中各项系数之和为264 n ，所以6n， 则展开式的常数项为 333 6 1 (3)()Cx x 540. 练： 2009

20、1232009200912 0123200922009 (1 2 )(), 222 aaa xaa xa xa xaxxRL若则的值为 . . 解： 200920091212 00 2200922009 1 ,0, 2222222 aaaaaa xaa令可得 200912 0 22009 01,1. 222 aaa xa在令可得因而 练： 554321 54321012345 (2),_.xa xa xa xa xa xaaaaaa若则 解： 0012345 032,11,xaxaaaaaa令得令得 12345 31.aaaaa 题型十一：整除性； 例：证明： 22* 389() n nnN能

21、被 64整除 证： 2211 389989(81)89 nnn nnn 0111211 11111 888889 nnnnn nnnnn CCCCCn 01112 111 8888(1)189 nnn nnn CCCnn 01112 111 888 nnn nnn CCC 由于各项均能被64 整除 22* 389()64 n nnN能被整除 1、(x1)11展开式中 x 的偶次项系数之和是 1、设 f(x)=(x-1) 11, 偶次项系数之和是 10242/)2( 2 )1(f) 1(f11 2、 n n n2 n 21 n 0 n C3C3C3C2、 2、4n 3、 20 3 ) 5 1 5

22、(的展开式中的有理项是展开式的第项 3、3,9,15,21 4、(2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5 展开式系数之和，故令 x=1，则所求和为 35 5、求(1+x+x2)(1-x) 10 展开式中 x4的系数 . . 5、 93102 )x1)(x1 ()x1)(xx1(,要得到含 x4的项，必须第一个因式中的1 与(1-x)9展开式中的项 44 9 )x(C作积，第一个因式中的x3与(1-x)9展开式中的项 )x(C 1 9 作积，故 x4的系数是 135CC 4 9 1 9 6、求(1+x)+(1+x) 2+(

23、1+x)10 展开式中 x3的系数 6、 )x1(1 )x1 (1)x1( x1)x1()x1 ( 10 102 ）（= x xx)1()1( 11 ，原式中 x3实为这分子中的 x4，则所求系数为 7 11 C 7、若)Nnm()x1()x1()x(f nm 展开式中， x 的系数为 21，问 m、n 为何 值时， x2的系数最小？ 7、由条件得 m+n=21，x2的项为 22 n 22 m xCxC，则. 4 399 ) 2 21 n(CC 22 n 2 m 因 nN， 故当 n=10 或 11时上式有最小值， 也就是 m=11和 n=10， 或 m=10 和 n=11 时，x2的系数最小

24、 8、自然数 n 为偶数时，求证： 1nn n 1n n 4 n 3 n 2 n 1 n 23CC2CC2CC21 8、原式 = 1n1nn1n n 5 n 3 n 1 n n n 1n n 2 n 1 n 0 n 2.322)CCCC()CCCCC( 9、求 11 80被 9 除的余数 9、)(1811818181)181(80 10 11 101 11 110 11 1111 ZkkCCC, kZ,9k-1Z， 11 81被 9除余 8 10、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数 10、 5552 )2x()1x()2x3x( 在(x+1) 5展开式中，常数项为 1，含 x 的项

25、为 x5C1 5 ，在(2+x) 5 展开式中，常数 项为 25=32，含 x 的项为x80x2C 41 5 展开式中含 x 的项为x240)32(x5)x80(1，此展开式中 x 的系数为 240 11、求 (2x+1) 12 展开式中系数最大的项 11、设 Tr+1的系数最大，则 Tr+1的系数不小于 Tr与 Tr+2的系数，即有 . . 1r 12 r 12 1r 12 r 12 r111r 12 r12r 12 r131r 12 r12r 12 CC2 C2C 12C2C 2C2C 4r, 3 1 4r 3 1 3 展开式中系数最大项为第5 项，T5= 444 12 x7920xC16