高三数学高考热点专题解析几何全国通用.pdf

《高三数学高考热点专题解析几何全国通用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学高考热点专题解析几何全国通用.pdf（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、解析几何 每次和同学们谈及高考数学，大家似乎都有同感：高中数学难， 解析几何又是难中之难。 其实不然，解析几何题目自有路径可循，方法可依。只要经过认真的准备和正确的点拨，完 全可以让高考数学的解析几何压轴题变成让同学们都很有信心的中等题目。 我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势： （1）题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填 空题，一个解答题上，分值约为30 分左右，占总分值的20% 左右。 （2）整体平衡，重点突出： 考试说明中解析几何部分原有33 个知识点，现缩为19 个知识点，一般考查的知识点超过50，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有 遗漏，通

2、过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识 体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考对解析几何 内容的考查主要集中在如下几个类型： 求曲线方程（类型确定、类型未定）； 直线与圆锥曲线的交点问题（含切线问题）； 与曲线有关的最（极）值问题； 与曲线有关的几何证明( 对称性或求对称曲线、平行、垂直) ； 探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征； （3）能力立意，渗透数学思想：如2000 年第（ 22）题，以梯形为背景，将双曲线的概 念、性质与坐标法、定比分点的坐标公式、离心率等知识融为一体，有很强的综合性。一些 虽是常见的基本题型，但如果借助

3、于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案。 （4）题型新颖，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均 属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。加大与相关知识 的联系（如向量、函数、方程、不等式等），凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索 性题型的分量。 在近年高考中，对直线与圆内容的考查主要分两部分： （1）以选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，但每年必考， 考查内容主要有以下几类： 与本章概念（倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等）有关的问题； 对称问题（包括关于点对称，关于直线对称）要熟记解法； 与圆的位置有关

4、的问题，其常规方法是研究圆心到直线的距离 以及其他“标准件”类型的基础题。 （2）以解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系，此类题综合性比较强，难度也较大。 预计在今后一、二年内，高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、 重点考查内容等方面不会有太大的变化。 相比较而言，圆锥曲线内容是平面解析几何的核心内容，因而是高考重点考查的内容， 在每年的高考试卷中一般有23 道客观题和一道解答题，难度上易、中、难三档题都有，主 要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥的位置关系等，从近十年高考试题看大 致有以下三类： （1）考查圆锥曲线的概念与性质； （2）求曲线方程和求轨迹； （3）关

5、于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的问题. 选择题主要以椭圆、双曲线为考查对象，填空题以抛物线为考查对象，解答题以考查直 线与圆锥曲线的位置关系为主，对于求曲线方程和求轨迹的题，高考一般不给出图形，以考 查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，圆一般不单独 考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或 平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现解析几何的解答题一般为难题， 近两年都考查了解析几何的基本方法坐标法以及二次曲线性质的运用的命题趋向要引 起我们的重视 请同学们注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的问题

6、背景平面几 何的一些性质. 从近两年的试题看，解析几何题有前移的趋势，这就要求考生在基本概念、 基本方法、 基本技能上多下功夫. 参数方程是研究曲线的辅助工具. 高考试题中， 涉及较多的 是参数方程与普通方程互化及等价变换的数学思想方法。 一、选择题（每小题 5 分） 1.（ 2009 安徽卷文）直线过点（ -1 ，2）且与直线垂直，则的方程是 AB. C. D. 1.A 解析：可得l斜率为 33 :2(1) 22 lyx即3210xy，选 A。 2.（08 年广东卷文）经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程 是（） A、 B、 C、 D、 2.【 解析 】点 C，与直线垂直，可设待求的直线方

7、程为，将点 C 的坐标代入求出，故所求直线方程为( 或由图形快速排除得正确答案.) 答案： C 3.（ 08年 全 国 卷2 理 ） 等 腰 三 角 形 两 腰 所 在 直 线 的 方 程 分 别 为和 ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 A B. C. D. 3.【解析】 ： A 设底边斜率为，直线与的斜率分别为 ，又原点在底边上，所以 4.（07 年天津卷文）“”是“直线平行于直线”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D 既不充分也不必 要条件 4.答案： C 解析： 当则直线平行于直线, 则是充分条件; 直线 平行于直线时有 : , 则是必要条

8、件 , 故是充分必要条件. 5.（ 06 年福建卷文）已知两条直线和互相垂直，则等于 （A）2 （B）1 （C）0 （D） 5.答案： D 解析 : 两条直线和互相垂直，则， a= 1，选 D. 6.（ 08 年全国卷2 文）原点到直线的距离为（） A1 BC2 D 6.【解析】：D 7.（ 08 年宁夏、海南卷文）点P（ x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足14 xy7， 则点 P到坐标原点距离的取值范围是（） A. 0，5 B. 0， 10 C. 5， 10 D. 5，15 7.【解析 】根据题意可知点在线段上，线段过原点，故点到原 点最短距离为零，最远距离为点到原点距离且距离为

9、，故选； 答案： B 8.（ 2009 重庆卷理）直线1yx与圆 22 1xy的位置关系为（） A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离 8.B 解 析 ： 圆 心(0, 0)为 到 直 线1yx， 即10xy的 距 离 12 22 d， 而 2 01 2 ，选 B。 9.（ 06 年湖南卷理）若圆上至少有三个不同的点到直线 的距离为, 则直线的倾斜角的取值范围是 AB C D 9.答案： B 解析：圆整理为， 圆心坐标为 (2 ， 2) ，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则 圆心到直线的距离应小于等于， ， ， ， ，直线的倾斜角的取值范围是，选 B. 10.(2

10、009湖北卷理) 已知双曲线 22 1 22 xy 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b 的焦点，则直线 2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A. 1 1 , 2 2 K B. 11 , 22 K C. 22 , 22 K D. 22 , 22 K 10.A 解析：易得准线方程是 2 2 1 2 a x b 所以 2222 41cabb即 2 3b所以方程是 22 1 43 xy 联立2 ykx可得 22 3+(4k +16k)40xx由0可解得 A 11.（06 年辽宁卷理）直线与曲线的公共 点的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 11.答案： D 解析 : 将代入得：

11、 ，显然该关于的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有4 个， 故选择答案D。 12.（07 年福建卷理）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方 程是（） A B CD 12.答案： A 解析：右焦点即圆心为 （5， 0） ， 一渐近线方程为， 即， 圆方程为，即 A ，选 A 13.（08 年浙江卷理）如图，AB是平面的斜线段 ， A为斜足，若点 P在平面内运动，使 得 ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是 ( ) （A）圆（B）椭圆 （C）一条直线（D）两条平行直线 13.解析： 【方法一】本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面 积为定值，底边一定，从而P到

12、直线 AB 的距离为定值，若忽略平面的限制，则P轨迹类 似为一以AB为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！ 【方法二】还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大， 故面积也为无穷大，从而排除C与 D，又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂 直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！ 二、填空题（每小题 5 分） 14.（2009 天津卷理）设直线 1 l 的参数方程为 1 1 3 xt yt （t 为参数）， 直线 2 l的方程为y=3x+4 则 1 l与 2 l的距离为 _ 14. 3 10 5 解析：由题直线 1 l的普通方程为 023yx，故它与与 2

13、 l的距离为 5 103 10 |24| 。 15.（07 年上海卷理）已知与，若两直线平行，则的值 为 15.答案： 解析： 16.（2009 全国卷理）已知ACBD、为圆O: 22 4xy的两条相互垂直的弦，垂足为 1,2M, 则四边形ABCD的面积的最大值为。 16.5 解析 ：设圆心O到ACBD、的距离分别为 12 dd、, 则 222 12 3ddOM+. 四边形ABCD的面积 2222 1212 1 | |2 (4)8()5 2 SABCDdddd)(4- 17.（08 年福建卷文）若直线与圆没有公共点， 则实数m的取值范围是。 17.【标准答案】 【试题解析】圆心为，要没有公共点

14、，根据圆心到直线的距离大于半径可得 ，即， 【高考考点】直线与圆的位置关系的判断. 【易错提醒】本题出现最多的问题应该是计算上的问题 【备考提示】 平时要强化基本功的练习因为使用新课标后他们小学的计算都是按计算器过 来的，而高考又不能用，所以有的学生计算能力就相当差了 18.（2009 湖南卷文）过双曲线C： 22 22 1 xy ab (0,0)ab的一个焦点作圆 222 xya 的两条切线，切点分别为A，B，若120AOB（O是坐标原点），则双曲线线C 的离心率为 . 18.2 解析 : 12060302AOBAOFAFOca, 2. c e a 19.（2009 福建卷理）过抛物线 2

15、2(0)ypx p的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线 于 A、B两点，若线段AB的长为 8，则p_ 19.2 解析：由题意可知过焦点的直线方程为 2 p yx，联立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx ，又 2 22 (1 1 )(3 )482 4 p ABpp。 20.(05年 全 国 卷 ) 圆 心 为 (1,2)且 与 直 线相 切 的 圆 的 方 程 为 _ 20.答案： (x-1) 2+(y-2)2=4 21.(07年 四 川 卷 )已 知的 方 程 是，的 方 程 是 ，由动点向和所引的切线长相等，则运点的轨迹方程 是_ 21.答案： 解析：圆心，半径

16、；：圆心，半径设， 由切线长相等得， 22.（07 年上海卷理）已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）。 直 线的 倾 斜 角 为弧 度 ， 则的 图 象 大 致 为 22.答案： 解析： 三、解答题 23.（2009 宁夏海南卷理） （本小题满分12 分） 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在s 轴上，它的一个顶点到两个焦 点的距离分别是7和 1. （）求椭圆C的方程； （）若P 为椭圆 C 上的动点， M为过 P 且垂直于x 轴的直线上的点，=，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 23.解析 :( ) 设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得 ， 所以椭圆的标准方

17、程为 （）设，其中。由已知及点在椭圆上可得 。 整理得，其中。 （i ）时。化简得 所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。 （ii ）时，方程变形为，其中 当时， 点的轨迹为中心在原点、 实轴在轴上的双曲线满足的部分。 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分； 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆； 24.（05 年山东卷理）(14 分 ) 已知动圆过定点，且与直线相切，其中. （I ）求动圆圆心的轨迹的方程； （II ） 设 A、 B是轨迹上异于原点的两个不同点， 直线和的倾斜角分别为 和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定 点的坐标 . 24.

18、解析：（I ）如图，设为动圆圆心，记为，过点作直 线的垂线， 垂足为，由题意知：即动点 到定点与定直线的距离相等 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中 为焦点，为准线 轨迹方程为； （II ）如图，设，由题意得（否则）且 直线的斜率存在，设其方程为 显然 将与联立消去，得 由韦达定理知 （1）当时，即时， ， 由知： 因此直线的方程可表示为，即 直线恒过定点 （2） 当时，由， 得= 将式代入上式整理化简可得：，则， 此时，直线的方程可表示为即 直线恒过定点 综上， 由（1） （2）知，当时， 直线恒过定点，当时直线 恒过定点. 25.（05 年上海卷）（16 分） 已知抛物线的焦点为F，

19、A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点， A到抛物线准线的距离等于5. 过 A作 AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M. （1）求抛物线方程； （2）过 M作，垂足为 N，求点 N的坐标； （3）以 M为圆心， MB为半径作圆M ，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆 M的位置关系 . 25.解析： (1) 抛物线 y 2=2px 的准线为 x=-, 于是 4+=5, p=2. 抛物线方程为y 2=4x. (2) 点 A是坐标是 (4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又 F(1,0), kFA=;MNFA, kMN=-, 则 FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x

20、, 解方程组得x=,y=, N的坐标 (,). (1)由题意得 , ,圆 M.的圆心是点 (0,2), 半径为 2, 当 m=4时 , 直线 AK的方程为x=4, 此时 , 直线 AK与圆 M相离 . 当 m 4 时, 直线 AK的方程为y=(x-m), 即为 4x-(4-m)y-4m=0, 圆心 M(0,2) 到直线 AK的距离 d=, 令 d2, 解得 m1 当 m1时, AK 与圆 M相离 ; 当 m=1时, AK 与圆 M相切 ; 当 m1时, AK 与圆 M相交 . 26.（02 年全国卷文） （12 分） 已知点到两定点、距离的比为，点到直线的距离为1，求直 线的方程。 26.解析

21、： 设的坐标为，由题意有，即 ，整理得 因为点到的距离为1， 所以，直线的斜率为 直线的方程为 将代入整理得 解得， 则点坐标为或 或 直线的方程为或 27.（06 年辽宁卷）（14 分） 已知点是抛物线上的两个动点，是坐 标原点，向 量满足， 设圆的方程为 （1）证明线段是圆的直径； （2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值 27.解析： （I ）证法一： 即 整理得 12分 设点 M （ x,y ）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则 即 展开上式并将代入得 故线段是圆的直径。 证法二： 即， 整理得 3 分 若点在以线段为直径的圆上，则 去分母得 点满足上方程，展开并将代入得

22、所以线段是圆的直径 . 证法三： 即， 整理得 以为直径的圆的方程是 展开，并将代入得 所以线段是圆的直径 . （）解法一：设圆的圆心为，则 ， 又 所以圆心的轨迹方程为： 设圆心到直线的距离为，则 当时，有最小值，由题设得 14 分 解法二：设圆的圆心为，则 又 9 分 所以圆心得轨迹方程为 11 分 设直线与的距离为,则 因为与无公共点 . 所以当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小， 最小值为 将代入，有 14 分 解法三：设圆的圆心为，则 若圆心到直线的距离为，那么 又 当时，有最小值时，由题设得 28.（2009 浙江理）（本题满分15 分）已知椭圆 1 C： 22 22 1(0)

23、yx ab ab 的右顶点为 (1,0)A，过 1 C的焦点且垂直长轴的弦长为1 （I ）求椭圆 1 C的方程； （II ） 设点P在抛物线 2 C： 2 ()yxh hR上， 2 C在点P处 的切线与 1 C交于点,M N当线段AP的中点与MN的中 点的横坐标相等时，求h的最小值 28.解析： （I ）由题意得 2 1 2 , 121 b a b b a 所求的椭圆方程为 2 2 1 4 y x， （ II ） 不 妨 设 2 1122 (,),(,),( ,),MxyN xyP t th则 抛 物 线 2 C在 点P 处 的 切 线 斜 率 为 2 xt yt， 直 线MN 的 方 程 为

24、 2 2ytxth， 将 上 式 代 入 椭 圆 1 C的 方 程 中 ， 得 222 4(2)40xtxth，即 22222 4 14 ()()40txt th xth，因为直线MN 与椭圆 1 C有两个不同的交点，所以有 422 1 162(2)40thth， 设线段 MN 的中点的横坐标是 3 x，则 2 12 3 2 () 22(1) xxt th x t ， 设线段 PA的中点的横坐标是 4 x，则 4 1 2 t x，由题意得 34 xx， 即有 2 (1)10th t， 其中的 2 2 (1)40,1hh或3h； 当3h时有 2 20,40hh，因此不等式 422 1 162(2)40thth不 成立；因此1h，当1h时代入方程 2 (1)10th t得1t，将1,1ht代入不 等式 422 1 162(2)40thth成立，因此h的最小值为1