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1、1 一线三等角 理论：略 范例点睛 1. 正方形 ABCD 边长为 5，点 P、Q分别在直 线 CB 、DC上（点 P不与点 C、点 B重合）， 且保持 APQ=90 .当 CQ=1时， 写出线段BP 的长 2. 如图，在直角梯形ABCD中， A=90 ， B=120 ， AD=3，AB=6 在底边 AB上取 点 E， 在射线 DC上取点 F， 使得 DEF=120 （1）当点 E是 AB的中点时，线段DF的长 度是； （2）若射线EF经过点 C，则 AE的长是 3 （ 2007南京）在梯形ABCD中，AD BC ， AB=DC=AD=6， ABC=60 ，点E 、F 分别在 线段 AD 、D
2、C上（点 E与点 A、D不重合）， 且 BEF=120 ，设 AE=x，DF=y （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）当 x 何值时， y 有最大值， 最大值是多 少？ 4. 如图，RtABC中， BAC =90， AB=AC=2 ， 点 D 为 BC边上动点（ D不与 B、C 重合） ， ADE =45， DE交 AC于点 E （）BAD与CDE的大小关系为 请 证明你的结论； （） 设 BD=x ，AE=y，求 y 关于 x 的函数关 系式，并写出自变量x 的取值范围； （）当ADE是等腰三角形时， 求 AE的长； （）是否存在x，使DCE的面积是 ABD 面积的 2 倍？若存在，
3、求出x 的值，若 不存在，请说明理由 本王闯关 一. 基础技能 1. （2015?连云港）如图，在ABC 中， BAC=60 ， ABC=90 ，直线l1l2 l3， l1与 l2之间距离是1， l2与 l3之间距离是2， 且 l1，l2，l3分别经过点A， B， C，则边 AC= 2. 如图，已知 321 /lll，相邻两条平行直线 间的距离相等，若等腰直角ABC的三个项 点分别在这三条平行直线上，则sina 值是 （） A. 3 1 B. 17 6 C. 5 5 D. 10 10 3.(2012 苏州 ) 已知在平面直角坐标系中放 置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示） ， 点 B1在
4、 y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、 C3在 x 轴上若正方形A1B1C1D1的边长为1， B1C1O=60 ， B1C1B2C2B3C3，则点 A3到 x 轴的距离是（） 4. 如图，在边长为9 正三角形ABC中， BD=3 ， ADE=60 ，则AE= 5. （2012宁波）如图1 是由边长相等小正 方形和直角三角形构成的，可以用其面积关 系验证勾股定理。 图 2 是由图 1 放入矩形内 得到的， BAC=90 ，AB=3 ，AC=4 ，则 D，E， F，G ，H，I 都在矩形KLMJ的边上，则矩形 KLMJ的面积为 B C A D E 2 （A）90 （ B）100 （ C
5、）110 （D）121 6. 如图，将矩形纸片的两只直角分别沿EF 、 DF翻折，点 B恰好落在AD边上的点 B处， 点 C恰好落在边BF 上若 AE=3 ，BE=5 ， 则 FC= 7. 如图，在四边形ABCD中，ABC=90， AB=3，BC=4，CD=10，DA=55，则BD的长 为_ 8. 如 图 ， 在 ABC 中 ， BAC=90 ， AB=AC=1 ，点 D是 BC边上一动点 （不与 B、C 重合） ，在 AC边上取点E，使 ABD DCE ， 当 ADE为等腰三角形时，则AE= . 9. 如图， 在ABC中，AB=AC=10 ，点 D是边 BC上一动点（不与B，C重合） ， A
6、DE= B=，DE交 AC于点 E，且 cos= 5 4 下列结论中正确的结论是 ADE ACD ； 0CE 6.4 当 BD=6时， ABD与DCE全等 DCE为直角三角形时，BD为 8 或 2 25； 二. 计算与证明 1. 如图，点 P是正方形 ABCD 边 AB上一点（不 与点 A，B重合） ，连接 PD并将线段PD绕点 P顺时针方向旋转90得到线段PE ，PE交 边 BC于点 F，连接 BE ，DF当 AB AP等于多少 时， PFD BFP ？并说明理由 2在矩形ABCD 中，点 P在 AD上， AB=2， AP=1 将直角尺的顶点放在P处，直角尺的 两边分别交AB ，BC于点 E
7、，F，连接 EF （如 图） （1）当点 E与点 B重合时， 点 F 恰好与点C 重合（如图） ，求 PC的长； （2）探究：将直尺从图中的位置开始， 绕点 P顺时针旋转， 当点 E和点 A重合时停 止这个过程中， 请你观察、 猜想， 并解答： tan PEF的值是否发生变化？说明理由； 直接写出从开始到停止，线段EF的中点 经过的路线长 3. 如图 1，已知直线y=2x+2 与 y 轴、x 轴分 别交于 A、B 两点，以B 为直角顶点在第二 象限作等腰RtABC （1） 求点 C坐标，并求出直线AC的关系式 （2）如图 2，直线 CB交 y 轴于 E，在直线 CB上取一点 D，连接 AD ，
8、若 AD=AC ，求证： BE=DE （3）如图3，在（ 1）的条件下，直线AC 交 x 轴于 M ，P （- 2 5 ，k）是线段 BC上一点， 在线段 BM上是否存在一点N，使直线PN平 分 BCM 的面积？若存在，请求出点N的坐 标；若不存在，请说明理由 4. 如图，在矩形ABCD中， AB=2 ， BC=3 ，P 是线段 AD边上任意一点（不含端点A、D） ， 连结 PC ， 过点 P作 PE PC交 AB于 E. D C A B E P 3 （1）在线段AD上是否存在不同于P点 Q ， 使得 QC QE ？若存在， 求线段 AP与 AQ之间 的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）
9、当点 P在 AD上运动时， 对应点 E也随 之在 AB上运动，求BE取值范围 6. （ 1）如图 1，在正方形ABCD 中， M是 BC 边（不含端点B、C）上任意一点 ,P 是 BC延 长线上一点， N是DCP的平分线上一点 若 AMN=90 ，求证：AM=MN （2） 若将 (1) 中的“正方形ABCD ”改为“正 三角形 ABC ”（如图2）,N 是ACP的平分 线上一点，则当 AMN=60 时，结论AM=MN 是否还成立？请说明理由 (3) ）在 (2) 的基础上 , 当点 M在线段 BC的 延长线上，且满足CM=BC （其它条件不变） 时，请直接写出ABC与 AMN 的面积之比 （4
10、） 若将 （1） 中的“正方形ABCD ”改为“正 n 边形 ABCD X”，请你做出猜想： 当AMN= 时，结论AM=MN 仍然成立 7. 在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2 在 第二象限上的点， 连接 OA ， 过点 O作 OB O A， 交抛物线于点B，以 OA 、OB为边构造矩形 AOBC 当点 A横坐标为 - 1 2 时， 将抛物线 y=x 2 作关于 x 轴轴对称变换得到抛物线y2=-x 2， 试判断抛物线y=-x 2 经过平移交换后，能否 经过 A、B、C三点？如果可以，说出变换过 程；如果不可以，请说明理由 8. 在矩形 ABCD 中，AB=13cm ， AD=4cm ， 点
11、 E， F 同时分别从D，B两点出发， 以 1cm/s 的速 度沿 DC ，BA向顶点 C，A运动，点G ，H 分 别为 AE ，CF的中点，设运动时间为t （s） ， (1) 求证：四边形EGFH是平行四边形 (2) 填空：当t 为 s时， 四边形 EFGH 是菱形； 当 t 为 s时，四边形EDFH是矩形 9. （2013福州）如图，等腰梯形ABCD 中， AD BC ，B=45 ，P是 BC边上一点， PAD 的面积为 2 1 ，设 AB=x，AD=y （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若 APD=45 ，当y=1 时，求 PB?PC 的值； （3）若 APD=90 ，求y 的
12、最小值 10、ABC中， AB=AC ，D为 BC的中点， 以 D 为顶点作 MDN= B （1）如图（ 1）当射线DN经过点A时， DM 交 AC边于点 E ，不添加辅助线， 写出图中所 有与 ADE相似的三角形 （2）如图（2） ，将 MDN 绕点 D沿逆时针方 向旋转， DM ，DN分别交线段AC ，AB于 E，F 点（点 E 与点 A 不重合），写出图中所有的 相似三角形，并证明你的结论 （3）在图（ 2）中，若AB=AC=10 ，BC=12 ， 当 DEF的面积等于ABC的面积的时，求 线段 EF的长 M N P D C E B A 1 M N PCB A 2 A B C D P E