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1、利用轴对称变换求最小（大）值应用举例 纵观近几年中考题，虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。其次是精心设计， 题目新型。而且注重知识的典型性和迁移性，实现由知识到能力的过渡。因此，注重知识的延伸 和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养创新思维能力。在学与练的过程 中去体味奇妙的数学、领略数学的奥妙，从而提高数学解题能力。 一、课本原型： 如图（ 1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地 方，才能使从A，B 到它的距离之和最短？ 解：如图（ 2），只要画出A 点关于直线L 的对称点 C，连结 BC 交直线 L 于 P，则 P 点 就
2、是所求。这时PA+PB=PC+PB 为最小，（因为两点之间线段最短）。 证明：如图（ 2），在L 上任取一点P1，连结 P1A，P1B，P1C， 因为 P1A+P1B=P1C+P1BBC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。 二、应用和延伸： 例 1、如图（ 3） ， AOB 内有一点P，在 OA 和 OB 边上分别找出M、N，使 PMN 的周长 最小。 解：如图（ 4） ，只要画出P点关于 OB 、 OA的对称点P1，P2 ， 连结 P1、P2交 OB 、OA于 M 、N， 此时 PMN 的周长 PM+PN+MN=P1P2为最小。（证明略） 例 2、如图， A到直线
3、L 的距离 AC 3 千米， B 到直线 L 的距离 BD 1 千米，并且CD 4 例 2 图 l 街道 图（1 ） B A l 街道 图（ 2） D P B A C B A 图（3） O P B A 图（ 4 ） N M O P P2 P1 LP A1 A C B D H 图（7） 图（6） E1 C E D P B A 图（ 5） C E D P B A (5,5) (2,1) Y X MO Q P Q1 123456-1 -1 1 2 3 4 5 6 (5,5) (2,1) Y X O Q P 123456-1 -1 1 2 3 4 5 6 千米，在直线L 上找一点P，使 PA+PB的值
4、最小。求这个最小值。 解：如图所示，只要过A1点画直线L 的平行线与BD的延长线交于H， 在 RtA1BH中， A1H=4千米， BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米。 三、迁移和拓展： 例 3、如图（ 5） ，在菱形ABCD 中， AB=4a,E 在 BC上， EC=2a ， BAD=120 0, 点 P在 BD上，则 PE+PC 的最小值是（） （A ）6a , (B) 5a, (C)4a (D)23a 。 解： 如图（ 6） ，因为菱形是轴对称图形，所以BC中点 E关于对角线BD的对称点E一定落在 AB的中点 E1，只要连结CE1，CE1即为 PC+PE 的最小值。 这时三
5、角形CBE1是含有 30 0 角的直角三角 形， PC+PE=CE 1=23a 。所以选（ D） 。 例 4、如图（ 7） ， 在直角坐标系XOY中， X 轴上的动点M （X，0）到定点P（5，5）和到 Q （2，1）的距离分别为MP和 MQ ，那么当 MP+MQ 取最小值时，点M的横坐标X=_ _.（你能求 出当 MP-MQ 最大时点M的横坐标X= ？) 解：如图（ 8） ，只要画出点Q关于 X轴的对称点Q1（2，-1 ） ，连结 PQ1交 X于点 M ，则 M点 即为所求。点 M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5 ） ， 令 y=0， 求得 x=5/2 。 （也
6、可以用勾股定理和相似三角形求出答案）。 （四） 、思考与练习： 1、如图（ 9） ， AOB=45 0，角内有一点 P，PO=10 ， 在角两边上有两点Q、R（均不同于点O ） ，则 PQR 的周长最小值是_。 （提示：同例1 方法，答案：P1P2=10 2） 。 当 PQR 周长最小时，QPR 的度数 =_。 （答案： 90 0） 2、已知点 A（-2 ，1） ，点 B（3，4） 。在 X轴上求一点P ，使得 PA+PB的值最小。这个最小值 是_。 （同例 4 方法） 图（8） B A 图（9） O P 图（ 13 ） 牧童 小河 A B 3、已知点 A（1，3） 、B（5， 2） ，在 x
7、 轴上找一点P，使最大，则满足条件的 点 P的坐标是。 （提示：结合例4，用引例的思想方法） 4、如图（11） ，在矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AC 、AB上各取一点M 、N，使 BM+MN 的值最小，求这个最小值。 提示：要使BM+MN 的值最小，应设法把折线BM+MN 拉直，从而想到用轴对称性质来做。画出 点 B 关于直线AC的对称点B1，则 B1N 的长就是最小值；又因为N 也是动点，所以，当B1NAB 时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为16。初三的同学也可以 用射影定理和面积公式求解。 5、如图（ 12）在菱形 ABCD 中， DAB=
8、120 0，点 E平分 BC ，点 P在 BD上，且 PE+PC=1 ，那么 边长 AB的最大值是 _。 （因为当PE+PC 最小时， AB=CD 达到最大，这个最大值是3 3 2 ） 。 6、如图（ 13） ，一个牧童在小河南4 英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋 B西 8 英里北 7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的 最短距离是（） （提示：同例2 方法） （A）4+185英里（B） 16英里 （C） 17 英里（ D） 18 英里 7、如图（ 14） ，正方形 ABCD的边长为3，E在 BC上，且 BE=2 ，P在 BD上，则 PE+PC
9、的最小 值= ,这时 PB= （与例 3 类似，这个值为13） 。 8 、如图（ 15） ，在河湾处M点有一个观察站，观察员要从M点出发，先到AB岸，再到CD岸 然后返回M点，则该船应该走的最短路线是_. （先画图，再用字母表示）。 （提示：，用例 1 方法） 9、如图（ 16） ， O的直径 AB=2 ， O的半径 OC AB ，点 D 在AC 上, AD =2CD ，点 P是半径 OC j 图（ 14） A CD B P E AP-BP 图（ 16 ） O A B C P D D B 图 (15) C A M 图（ 11 ） C D A B M N 图（ 12 ） D B A C P E
10、上一个动点，那么AP+PD 的最小值是 _。 （用例 3 的方法） 10、在直角坐标系中，有四个点A（-8 ，3） 、B（-4 ，5） 、C（0， n） 、D （ m,0）, 当四边形ABCD 的周长最小时，比值 n m 为_。 （因为 A、B 是定点且长度不变，只要使其它的三条线段的和最小，所以考虑用轴对称的方法将 BC、CD、AD 这三条折线拉直。画点A 关于 X 轴的对称点A1，点 B 关于 Y 轴的对称点 B1，只 要求出直线A1B1的函数解析式就可以求出点C 和点 D 的坐标。） 11如图 3，在等腰三角形ABC中，120ABC ，点P是底边AC上一个动点，MN，分 别是ABBC，的
11、中点，若PMPN的最小值为2，则ABC的周长是（） A2B23C4D42 3 图 3 12.如图，在锐角三角形ABC中， AB=42， BAC=45 0， BAC 的平分线交 BC 于 D，M、 N 是 AD 上的动点，则BM+MN的最小值是 13五边形 ABCDE 中， A=120 ， B=E=90，AB=BC=1 ，AE=DE=2 ，在 BC、DE 上分 别找一点M、N，使得 AMN 的周长最小，则AMN 周长的最小值为（） A 26B 27C 42D 5 14已知 ABC 中， A=20 o，AB=AC=20cm ，M、N 分别为 AB 、AC 上两点，求 BN+NM+MC 的最小值。 A B C P M N C D B AE M N D A C B M N