矢量分析基础.pdf

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1、矢量分析基础矢量分析基础 （2009 年 7 月 20 日） 正交曲线坐标系正交曲线坐标系 课程要求：熟练掌握各种坐标系的数学表述，并能根据物理问题的对称性灵活运用。 正交曲线坐标系定义 空间中任一点矢量表示法：r 与坐标系选取无关 1 直角坐标系（笛卡尔坐标系） 分量表示法： r = xi + yj + zk 向量表示法： 基矢： ， ， 几何表示法： 2 平面极坐标系 分量表示法： r = rr 0 极坐标系与平面直角坐标系间转换 极坐标系中的坐标r,可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x = rsin,y = rcos 直角坐标系中x,y坐标由下面的公式转换为极坐标下的坐标值 r

2、 = x2+ y2, = tan1 y x (x 0) 向量表示法： 基矢： ， 几何表示法： 3 柱坐标系 分量表示法： r = rr 0+ zk 柱坐标系与直角坐标系间转换 柱坐标系中的坐标r,z可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x = rsin,y = rcos,z = z 直角坐标系中坐标x,y,z可以由下面的公式转换为柱极坐标下的坐标值 r = x2+ y2, = tan1 y x (x 0),z = z 向量表示法： 基矢： ， ， 几何表示法： 4 球坐标系 分量表示法： r = rr 0 球坐标系与平面直角坐标系间转换 球坐标系中的坐标r,可以由下面的公式转换为直角坐

3、标系下的坐标值 x = rsincos,y = rsinsin,z = rcos 直角坐标系中x,y,z坐标由下面的公式转换为极坐标下的坐标值 r = x2+ y2+ z2, = tan1x 2+ y2 z , = tan1 y x 向量表示法： 基矢： ， ， 几何表示法： 思考： (a) 两个空间点(x1 y1z1), (x2y2z2)之间的间隔如何向量表示？ (b) 两个完全不相干的空间点(x1 y1z1), (x2y2z2)如何向量表示？ 5 正交曲线坐标系 除了上面四种常用坐标系外，在考虑不同对称性体系时，使用一些特定的坐标系对 数学处理尤其是构建物理图象或解释是至关重要的 二维坐标

4、系 直角坐标系 极坐标系 抛物线坐标系 双极坐标 系 双角坐标系 双心坐标系 双曲坐标系 椭圆 坐标系 三维坐标系 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 三维抛物线 坐标 抛物柱面坐标系 抛物面坐标系 扁球面坐 标系 长球面坐标系 椭球坐标系 椭圆柱坐标 系 圆环坐标系 双球坐标系 双极圆柱坐标 系 圆锥坐标系 Flat-Ring cyclide coordinates Flat-Disk cyclide coordinates Bi-cyclide coordinates Cap-cyclide coordinates 现一般引进一新的坐标系(q1 q2q3)，这一新坐标系中的坐标q1,q2,q

5、3可以由下 面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x = x(q1,q2,q3),y = y(q1,q2,q3),z = z(q1,q2,q3) 如果这种变换满足 Jacobi 条件 (x,y,z) (q1,q2,q3) 0 （线性独立） 那么沿坐标轴线qi的弧长 dsi= (dx)2+ (dy)2+ (dz)2= ( x qi) 2+ (y qi) 2+ ( z qi) 2 dqi Dhidqi 其中 hi= ( x qi) 2+ (y qi) 2+ (z qi) 2 称为坐标线qi的度规因子； 如果三族坐标线是处处相互正交的，则称正交曲线坐标系。 (q1 q2q3) (q1+ dq1 q2+

6、 dq2q3+ dq3)的距离 ds = (ds1)2+ (ds2)2+ (ds3)2= (h1dq1)2+ (h2dq2)2+ (h3dq3)2 六个面元中，任一面元qi,qi+ dqi,qj,qj+ dqj的面积元 d = hidqihjdqj= hihjdqi dqj 六个坐标面q1,q1+ dq1,q2,q2+ dq2,q3,q3+ dq3构成的长方体积元 d = h1dq1h2dq2h3dq3= h1h2h3 dq1 dq2dq3 自行练习： 球坐标下度规因子：hr= 1,h= r,h= rsin 柱坐标下度规因子：hr= 1,h= r,hz= 1 球的表面积和体积？柱的侧面和底面表

7、面积以及体积？ 标量、矢量、标量场、矢量场、矢量代数标量、矢量、标量场、矢量场、矢量代数 课程要求： 理解标量与标量场、矢量与矢量场的表述。 概念： 标量： 只有大小而没有方向的量。如电压 U，电荷量 Q，电流 I，面积 S 等 矢量： 具有大小和方向特征的量。如电场强度、磁感应强度、作用力、速度等。 标量场：在指定时刻，空点中每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定 义为标量场。如物理体系中的温度、压力、密度等 矢量场：在指定时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义 为矢量场。例如流体空间中的流速分布等 描述： 标量和标量场：可以用变量和变量函数来描述 标量： U 标

8、量场： T(r ,t) 矢量和矢量场：可以采用有向线段、文字、单位矢量、分量来描述 位置矢量： r = rr 0 矢量场： F (r ,t) = Fr(r ,t)r 0+ F(r ,t)0+ F(r ,t) 0 场的“场图”表示 标量场(r ,t)，用等值面图表示。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等 值面，如：气象图上的等压线，地图上的等高线等。等值面方程(r ,t)=常数值 矢量场F (r ,t)， 则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布， 称为力线或流线。 力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即dr F (r ,t) = 0，即为力 线的微分方程。 式中dr 为力线切

9、向的一段矢量。 根据力线确定矢量场中各点矢量的 方向，又可根据各点力线的疏密程度判断出各处矢量的大小及变化趋势。 矢量代数 求和差：平行四边形法则、分量法 求点积： (1) A B = ABcos = AxBx+ AyBy+ AzBz (2) A B = B A 求矢积： (1) A B = ABsine n= i j k AxAyAz BxByBz (2) A B = B A 场的微分和积分表述场的微分和积分表述 课程要求： 熟练掌握位置矢量的微分运算，并能根据物理问题的对称性规范处理运动学和 动力学对象；基本了解场的微分和积分的表述方式以及物理含义，对场的微分计算一般不 做要求。 空间坐标

10、位置矢量的微分运算 位置矢量 r 直角坐标系 r = xi + yj + zk 一阶微分形式： dr = dxi + dyj + dzk 二阶微分形式： d2r = d2xi + d2yj + d2zk 这里 d2f Dd(df) 线元形式： dl = ds = (dx)2+ (dy)2+ (dz)2 面元形式： d = dxdy 或 d = dydz 或 d = dxdz 体元形式： d = dxdydz 平面极坐标系 r = rr 0 一阶微分形式： dr = drr 0+ rd 0 注： dr 0= d 0 d0= dr 0 二阶微分形式： d2r = (d2r rdd)r 0+ (rd

11、2 + 2drd 0) 线元形式： dl = ds = (dr)2+ (rd)2 面元形式： d = rdrd 柱坐标系: r = rr 0+ zk 一阶微分形式： dr = drr 0+ rd 0+ dzk 二阶微分形式： d2r = (d2r rdd)r 0+ (rd2 + 2drd 0) + d2zk 线元形式： dl = ds = (dr)2+ (rd)2+ (dz)2 面元形式： d = rdrd 或 d = rddz 体元形式： d = rdrddz 场的微分和积分表述 标量场的梯度： (1) 定义：表征标量场等值面的最大变化率。标量场 u 在某点的梯度是一个矢量， 其方向为 u

12、增加的最大的方向，即等值面的法线方向n ；其大小为 u 在该方向 上的增加率du dn（方向导数） (2) 数学表示：u，沿三条坐标线的变化率 u = u si e i 3 i=1 = 1 hi u qi e i 3 i=1 直角坐标系： u = u x i + u y j + u z k 柱坐标系： u = u r r 0+ 1 r u 0+ u z k 球坐标系： u = u r r 0+ 1 r sin u 0+ 1 r u 0 (3) 梯度与方向导数：标量场沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的 投影，即 du dn = u e n 矢量场的散度： (1) 面元矢量 (a) 如

13、果d 为一个开表面上的面元， 其方向与围成该该平面的闭合回路的方向 呈右螺旋关系 (b) 如果d 为一个闭合面上的面元，其方向为该闭合面的外法线方向 (2) 通量定义：矢量场A 沿某一有向曲面 的面积分，即： A d (3) 矢量场的散度：闭合面内每一点附近的通量，即在矢量场A 中，围绕 P 点做一 闭合面，所围体积元为，若垂直穿过闭合面的通量与之比的极限存在，则 该极限称为矢量场A 在 P 点的散度，即 A = lim 0 A d (4) 物理含义：表征通量的体密度，即通过包围单位体积闭合面的通量 (5) 数学表示：如图所示，在正交曲线坐标系(q1 q2q3)，场量A 表示为 A = A1q

14、 1 0 + A2q 2 0 + A3q 3 0 以记体积元的边界面，d 表示大小为d，方向为面积元的外法向的矢量 坐标面q1的通量： (A1 )h 2dq2h3dq3 | q1 坐标面q1+ dq1的通量： (+A1 )h 2dq2h3dq3 | q1+dq1 净通量：(A1h2h3)|q1+dq1 (A1h2h3)|q1dq2dq3= (A1h2h3) q1 dq1dq2dq3 体积元：d = h1h2h3 dq1 dq2dq3 散度： A = 1 h1h2h3 (A1h2h3) q1 + (A2h1h3) q2 + (A3h1h2) q3 (6) 高斯定理： A d = A d 自行练习

15、：写出直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下矢量场的散度？ 矢量场的旋度： (1) 矢量场的环流：矢量A 沿某一有向闭曲线l的线积分，即： A d c l，它反映了闭 合曲线内源的性质 (2) 矢量的旋度：闭合曲线内每一点处的环流，即在矢量场A 中，围绕 P 点做一闭 合回路，所围面积为，A 的旋度是在 0时环流面密度的最大值，其方向 为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即 A = lim 0 A d c l max e n (3) 物理含义：表征环流面密度 (4) 数学表示：如图所示，在正交曲线坐标系(q1 q2q3)，场量A 表示为 A = A1q 1 0 + A2q 2 0 + A3q 3

16、 0 以l1计坐标面q1上的面积元d1= h2dq2h3dq3的边界线，其走向是关于e 1成右 手螺旋的，则 ( A )1= A d l1 l d1 而 A d l1 l= A OA dl+ A AB dl+ A BC dl+ A CO dl = A2h2dq2 | q3+ A3h3dq3 | q2+dq2+ (A2)h2dq2 | q3+dq3 + (A3)h3dq3 | q2= (A3h3) q2 (A2h2) q3 dq2dq3 于是 ( A )1= 1 h2h3 (A3h3) q2 (A2h2) q3 e 1 综合三个方向： A = 1 h2h3 (A3h3) q2 (A2h2) q3

17、 e 1+ 1 h1h3 (A1h1) q3 (A3h3) q1 e 2 + 1 h1h2 (A2h2) q1 (A1h1) q2 e 3 (5) 斯托克斯定理： A d l l= ( A ) d 自行练习：写出直角坐标系下矢量场的旋度？ 几个常用的矢量场恒等式 (1) A = 0 (2) (u) = 0 (3) 1 R = 1 R， 其中 R = r r 课堂讲授例题 矢量微分运算训练 1. 平面极坐标系矢量微分表述 2. 三维单摆运动方程的推导 3. 定轴转动惯量： J = miri2 i = r2dm 计算匀质薄圆盘的转动惯量 4. 质心： R c= mi i ri mi i = r d

18、m dm 计算半球状匀质薄碗的质心 5. 角动量： J= ri i mivi = r v dm 计算绕定轴匀速转动的匀质球体的角动量 多体问题的向量表示：机械振动规范求解（简正模式） 6. a、b、c、d 是位于光滑平面桌上的四个小物块，它们的质量均为 m，a、b 间有 一自然长度为 l，劲度系数为k1的弹簧联结；c、d 之间有一自然长度为 l，劲度 系数为k2的弹簧联结。四个物块的中心在同一直线上。如果 b、c 发生碰撞，碰 撞是完全弹性的，且碰撞时间极短。开始时，两个弹簧都处于自然长度状态， 物块c、 d静止， 物块a、 b以相同的速度v0向右运动， 试定量论述：（1） 若k1= k2，

19、四 个物块相对于桌面怎样运动？ （2） 若k1= 4k2， 四个物块相对于桌面怎样运动？ （第 21 届决赛） 7. 三个质量均为 m 的物块 A、B、C 用两根自然长度为 l，劲度系数为 k 的弹簧联 结，物块 A 受到外力F = Acos(t)的持续作用，描述体系稳定运动的状态。 8. 在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球 A 和质量为 2m 的小球 B。A 用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为 l。 现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方 向的坐标轴 Ox， 原点 O 与此时 A 球的位置重合， 试求任意时刻两球

20、的坐标。 （第 22 届复赛） 9. 两个质量都为 M 的质点， 连接于三个相同的弹簧上。 每个弹簧的质量可以忽略， 其弹簧常数为 k，忽略重力。两质量间连接一其质量可忽略的阻尼减震器，如图 所示， 阻尼减震器施出的力为 bv， 这里 v 是它两端的相对速度。 该力阻止运动。 令x1与x2为两质点离开其平衡位置的位移。 1) 求每个质点的运动方程； 2) 证明运动方程可以用新的因变量y1= x1+ x2和y2= x1 x2来求解； 3) 证明：如果质点原来是静止的，并给质量 1 以初速度v0，则在足够长的时 间以后，两个质量的运动为：x1= x2= v0 2 sint，计算出 课堂例题 1 解答 课堂例题 2 解答 课堂例题 3 解答 课堂例题 4 解答 课堂例题 5 解答 课堂例题 6 解答 课堂例题 7 解答 课堂例题 8 解答 课堂例题 9 解答