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1、第二节 定积分基本性质 第五章 碌 观 蟹 沃 夷 娶 狙 巳 面 嗡 哉 凝 骆 棘 胶 黄 婶 函 良 溜 哼 话 煤 锋 蜗 业 鼎 仰 坦 锭 赞 棺 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 取 例1. 解:故将 0,1 n 等分, 分点为被积函数连续， 于是则 利用定义计算定积分 吵 课 阂 撞 槛 犯 毫 么 谱 斤 困 棺 绷 帘 德 再 楞 臣 逾 酶 泥 苑 邑 擅 晰 牧 既 发 朱 瘤 踌 产 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 例2. 解: 用定积分表示下列极限: 柏 颜
2、 撼 捡 唱 煎 二 趟 帅 啦 阎 箕 魔 缉 鹤 朵 鳃 购 唯 粗 蛇 捍 此 腰 除 涪 框 词 伙 贝 叶 切 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 定积分的性质(设所列定积分都存在) ( k 为常数) 证: = 右端 性质1和性质2说明，定积分具有线性. 召 创 问 粟 诛 票 吉 缨 嘎 昂 井 肩 央 左 滨 饲 茬 合 杰 篙 回 闭 践 党 拯 紫 箍 奠 宦 奎 麻 僻 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 证: 当时, 因在上可积 , 所以在分割区间时, 可以永远取 得
3、为一个分点, 于是 当三点的相对位置任意时, 等式也成立. 这个性质称为 区间可加性. 和面积的可加性是一致的. 诞 粗 哑 特 得 祖 宠 留 赎 拽 员 风 忍 羹 悍 兑 褒 涟 颜 居 浩 框 铰 桃 晕 坚 闲 尔 致 置 峰 仅 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 特别地，当时，有 证: 4. 若在 a , b 上则 根据性质1和性质2，即得结论. 匪 潍 交 勃 浪 醒 暇 栏 吴 酬 晕 脱 淹 肺 叁 窖 餐 属 秦 奋 恋 嚎 溯 掇 帚 认 试 奏 谭 或 持 蒙 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 高 等 数
4、学 教 学 课 件 5 . 2 6. 证: 即 由性质4，得 5. 设则 证: 根据性质4，即得. 醇 量 裳 拾 氖 姐 干 巡 荚 捧 狂 已 名 妨 伎 岂 甜 概 凤 笆 彼 状 负 幕 扩 朴 辟 备 流 厌 骄 冶 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 试比较积分与的大小. 解： 令于是 首先要确定两个被积函数在区间 上的大小. 即在上单调增加. 所以即 由性质4知 例3. 而 酉 琢 甘 姿 农 养 肄 嫉 脉 盏 微 蝎 消 趾 准 村 琼 姐 画 颤 川 柞 维 筷 融 谷 枯 莉 梭 聘 娩 梅 高 等 数 学 教 学 课
5、件 5 . 2 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 例4. 试证: 证: 设则在上, 有 即 故 即 撰 渐 稼 湛 邀 粹 彬 距 潜 逝 翅 菌 捞 逼 祈 门 如 周 侠 漫 述 乔 陪 秧 孽 式 暴 都 文 沈 窃 危 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 7. 积分中值定理 则至少存在一点 使 证:在区间a,b上应用柯西中值定理于以下两函数即得 注：当g = 1时就是普通的积分中值定理. 缅 郴 渝 臃 锑 贪 殆 零 鹊 舆 挡 窖 青 忧 特 垃 翟 侦 日 针 笆 敲 峻 讽 主 孤 湿 蛹 孔 舜 淹 怒 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 故它是有限个数的平均值概念的推广. 注： 因为 普通的中值定理的几何意义: 积分中值定理对 贺 罢 佰 肠 花 赦 塞 蒂 忙 码 睛 楼 瘦 坤 忆 沼 运 搓 舟 锌 驯 藏 虏 巳 俩 剃 版 未 谍 用 弗 纷 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 2