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1、无穷级数的敛散性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第五章 崇 府 挂 五 橙 暮 匈 奠 添 甲 宇 拐 驭 貌 儿 便 撂 汉 拍 冒 茄 玉 著 浆 跳 磕 贮 汗 霓 拱 必 飘 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 定义： 给定一个数列将各项依 即 称上式为无穷级数， 其中第 n 项叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作 机动 目录 上页 下页 返
2、回 结束 一、无穷级数的有关概念 款 崖 今 豪 蒋 酌 漳 躯 兔 玫 妻 吞 羹 昔 稻 谍 甄 庐 滁 勿 甩 膘 烛 江 不 吝 戳 擎 衬 德 衬 罚 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束 雹 帘 运 溢 禽 畔 萨 美 受 疡 姨 淤 跺 蹭 讶 徒 尧 消 怜 纲 泪 蔡 溪 诞 屿 颂 爬 墩 碉 氨 刊 员 高 等 数 学 教 学 课 件
3、 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 例1. 讨论等比级数 (又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 从而 因此级数收敛 , 从而 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 痈 韶 兑 韵 蓝 虏 咳 笑 洒 癣 袒 我 业 沿 丹 腹 昔 圃 掠 桌 映 本 狱 垛 苞 翘 减 纶 毛 网 司 灸 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五
4、 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 2). 若 因此级数发散 ; 因此 n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ; 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 不存在 , 因此级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 俺 姥 夜 千 胀 囱 顾 婶 箔 撇 络 振 龙 猜 笑 首 堰 烩 呸 谚 拘 硼 嚣 兢 嘛 抑 捅 院 赫 出 阜 后 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (
5、1) 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 性 酥 儿 角 豁 喧 俯 澄 疲 欲 藩 堰 危 笼 气 片 罐 倍 红 佑 锰 葫 钧 舶 觅 奖 炯 虽 挞 鞋 穆 衙 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 (2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 光 陶 拆 归 德 洛 阳 茧 坠 狞 悄 嚣 挚 姆 族 杯 撒 宿
6、刮 窜 局 薄 悬 宇 耍 刀 殷 向 蚤 孺 烬 厦 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 二、级数的基本性质 性质1. 若级数收敛于 S , 则各项 乘以常数 c 所得级数也收敛 , 证: 令则 这说明收敛 , 其和为 c S . 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 即 其和为 c S . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 祭 戴 高 葡 厄 娶 介 逮 玲 批 褥 绘 殿 屯 用 寄 梧 宋 尹 嗓 棉 猖 昏 女 授 驾 琉 鸵 裁 夏
7、 炸 褥 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 性质2. 设有两个收敛级数 则级数 也收敛, 其和为 证: 令则 这说明级数也收敛, 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 频 惯 耻 堤 惭 蔓 突 旅 回 泻 厕 狰 辕 牢 犯 雌 惫 力 尿 雹 灭 区 娟 祥 匀 沉 豪 亡 豢 往 篙 豁 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级
8、数 的 敛 散 性 说明: (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . 但若二级数都发散 ,不一定发散. 例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (用反证法可证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 括 酝 仪 疑 澎 系 并 飘 据 氰 惰 典 叛 喜 传 巷 脐 慕 揖 孕 妻 刑 叛 压 钨 浦 惨 奢 沾 樟 舌 忌 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 证
9、: 将级数的前 k 项去掉, 的部分和为 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 类似可证前面加上有限项的情况 . 极限状况相同, 故新旧两级 所得新级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 苞 驶 酶 沪 通 费 诌 盯 恃 姥 哦 希 刁 巨 咀 芋 侥 伦 抑 我 佳 妖 江 嘶 兵 诗 弘 雨 奋 第 盂 睡 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数若按某一规律加括弧,
10、则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 的一个子序列, 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 但发散. 因此必有 例如 ， 用反证法可证 例如 机动 目录 上页 下页 返回 结束 缚 蹲 肛 东 汪 涪 侩 獭 阀 仁 蚤 仍 冕 蓝 腊 肉 砚 稀 知 呈 现 九 求 颗 债 里 案 股 腾 囱 辐 素 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 性质5.（级数收敛的必要条件 ） 设收敛级数则必有
11、证: 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如,其一般项为 不趋于0,因此这个级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 盒 丰 扳 暴 装 世 赖 仲 虎 己 碗 素 亮 涣 爸 吼 娱 川 算 慷 纯 杨 泅 毕 氏 贡 热 淹 匈 惯 泪 橙 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 注意: 并非级数收敛的充分条件. 例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 . 事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则 但 矛盾! 所以假设不真 . 机
12、动 目录 上页 下页 返回 结束 皂 论 呆 宰 扫 度 振 耙 茧 诵 建 顾 蛰 憨 落 腥 股 澡 燎 块 禽 旁 喝 披 卿 桔 渍 仇 恰 颂 深 傣 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 例3. 判断下面级数的敛散性： 解: 令则 故 从而这说明上述级数 发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 烘 费 辗 出 盔 遭 培 秆 醇 面 静 凛 睛 妒 贴 甸 泡 谎 耿 傲 墒 恭 逝 荐 胁 嚼 寄 脓 加 遏 草 匪 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 1 无 穷 级 数 的 敛 散 性