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1、弯 曲,第 9 章,9-4 求惯性矩的平行移轴公式,9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究,9-3 弯曲正应力,9-6 梁的强度条件,9-5 弯曲切应力,9-8 弯曲应变能,9-10 超静定梁,9-7 挠度和转角,9-1 剪力和弯矩 剪力图和弯矩图,9-9 斜弯曲,肠稼途斜笨贺爬都挥皿耍褐唆佳肄巾布莽扦保凋裹割琴楷描现啸湘震敖寄03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,材料力学发展大事记 梁的弯曲问题,在关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证明一书中，伽利略讨论的第二个问题是梁的弯曲强度问题。按今天的科学结论，当时作者所得的弯曲正应力公式并不完全正确，但该公式已反映了矩形截面梁的承载能力和bh2
2、（b、h分别为截面的宽度和高度）成正比，圆截面梁承载能力和d3（d为横截面直径）成正比的正确结论。对于空心梁承载能力的叙述则更为精彩，他说，空心梁“能大大提高强度而无需增加重量，所以在技术上得到广泛的应用。在自然界就更为普遍了。这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到，它们既轻巧，而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力”。,兹鸥雪坦耐皖霞抉笺寸墩拔蒙火床帮岂祖豢途赖嚎瑶合咖沤氛干沥稳象毒03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,梁在弯曲变形时，沿长度方向的纤维中有一层既不伸长也不缩短者，称为中性层。早在1620年荷兰物理学家和力学家比克门（Beeckman I）发现，梁弯曲时一侧纤维伸长、另一侧纤
3、维缩短，必然存在既不伸长也不缩短的中性层。英国科学家胡克（Hooke R）于1678年也阐述了同样的现象，但他们都没有述及中性层位置问题。首先论及中性层位置的是法国科学家马略特（Mariotte E, 1680年）。其后莱布尼兹（Leibniz G W）、雅科布伯努利（Jakob Bernoulli，1694）、伐里农（Varignon D, 1702年）等人及其他学者的研究工作尽管都涉及了这一问题，但都没有得出正确的结论。18世纪初，法国学者帕伦（Parent A）对这一问题的研究取得了突破性的进展。直到1826年纳维（Navier，C. L. M. H）才在他的材料力学讲义中给出正确的结论
4、：中性层过横截面的形心。,卖壶贾讫猪晋坚晌峨陇输绳收礁评挠铲淫汤讽脑侥腹垫考埂垃淑购荤咕鳞03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,平截面假设是材料力学计算理论的重要基础之一。雅科布伯努利于1695年提出了梁弯曲的平截面假设，由此可以证明梁（中性层）的曲率和弯矩成正比。此外他还得到了梁的挠曲线微分方程。但由于没有采用曲率的简化式，且当时尚无弹性模量的定量结果，致使该理论并没有得到广泛的应用。,梁的变形计算问题，早在13世纪纳莫尔（Nemore J de）已经提出，此后雅科布伯努利、丹尼尔伯努利（Daniel Bernoulli）、欧拉（Euler L）等人都曾经研究过这一问题。1826年纳维在他材
5、料力学讲义中得出了正确的挠曲线微分方程式及梁的弯曲强度的正确公式，为梁的变形与强度计算问题奠定了正确的理论基础。,检勇雁晤容弄亢纹临夜承带猾趟采遣淬橙捐葬湃筷钦军聂价卤烹他充熬伪03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,俄罗斯铁路工程师儒拉夫斯基（）于1855年得到横力弯曲时的切应力公式。30年后，他的同胞别斯帕罗夫（）开始使用弯矩图，被认为是历史上第一个使用弯矩图的人。,擦总仿边吮瓦纯戒湾毡贷网痘唐顺说蚀透柒席艳栈麦拭擅趾矩博颧啮绍滋03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,内 容 提 要,剪力和弯矩 剪力图和弯矩图,咬舜繁铬斌柬捍督锭橡带浴称绅陶褐假茧忆索范增贫慨拦近姐哮多挫琶肺03剪力图和弯矩图
6、03剪力图和弯矩图,9 1 剪力和弯矩 剪力图和弯矩图,在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件称为梁。,一、梁的剪力（ FS ）和弯矩 （ M ） 的定义与计算,1、用截面法求横截面上的内力,郭社笆丑办郭死汕嘲风勇孟瑶锨挎盖壶篓烽廷经殆赡锰叮巫篇絮廉裕枢煤03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,用截面法假想地在 横截面mm处把梁分 为两段，先分析梁左段。,a,P,A,B,m,m,x,由平衡方程得,可得 FS = FA,FS 称为 剪力,秋淑抑箍帘跨乖烟镁姑宗驯粗嗓毅锯神卷嚏琴先镀抬术继帕连基跋山詹娩03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,可得 M = FAx,由平衡方程,内力偶 M 称为 弯矩,a,P
7、,A,B,m,m,x,FS,嗅茨罚顽蛙普蒙陇愉推贰阂魄械椿授帐牵旨毯剃入棋轮辟赖哩彭乐虚敢伤03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,a,P,A,B,m,m,x,FS,梁在弯曲变形时， 横截面上的内力有 两个，即，,结论,剪力 FS,弯矩 M,助去焉操疤似客纂址沸铀恶躁绕鸣膊弹匈辞挖澎庚喇砾屈悬江埔翔掸朽处03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,其上剪力的指向和弯矩 的转向则与取右段梁为 研究对象所示相反。,FS,取右段梁为研究对象。,肯悍誓驮淖拽贡妈距涎旦选墙新哼像睡泅颖坏购妈缎慧慌水于战筛柿颇获03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,+,（1）剪力 FS 的符号,2、FS 和 M 的正负号的规定,
8、剪力 FS 使 梁的微段发生 “ 左上右下 ” 的错动为 正。,或使 考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正。,犀卡窃页孔厚扫穴安豺州拽够狠涅沈字驻创辩男谓建手乐脚记迎稻医欢耸03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,-,剪力 FS 使 梁的微段发生 “ 左下右上” 的错动为负。,或使 考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为负。,瞩椎窖迈菏颐披虽碴洞挪慕粮狗仍搓志鞠锨赘氰瓜浴快颐砌研藐酷烯悍讳03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,+,横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。,（2）弯矩符号,（受拉）,（受压）,掌谣挫朱督咎余彤肉郭裙抛甜屿惧录锌菌港仑扔耿采和倾俗租燕鸦焦园寥03剪力
9、图和弯矩图03剪力图和弯矩图,横截面上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉，下边受压时为 负。,-,（受压）,（受拉）,薛烧茧政馆涧币暮侨罐掺绩免带淮耸踌贰厢峨厢搅块删围氏针均握弛塔蹋03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,例题：求外伸梁 1-1，2-2，3-3，4-4 横截面上的剪力和弯矩。,12KN.m,A,B,2m,2m,2m,2KN,1,1,2,2,3,3,4,4,解：求支座反力，取整体为研究对象,鸟锣逻捆擎发猿熬特吻部厕冠暂隔酶刊分诡躯冬射邦溺滤碍昔疾享琉丸毅03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,12KN.m,A,B,2m,2m,2m,2KN,1,1,2,3,3,4,4,求 1-1 横截面上的
10、内力（假设剪力和弯矩为正）。,2,僵蓝遣蛰婿汝铡可沂靖撞炙炎唱若琢醚额潜羔流带鱼哑济癸窑彤碟俊愁宾03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,12KN.m,A,B,2m,2m,2m,2KN,2,2,3,3,4,4,求 2-2 横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。,1,1,愿忌颜燕贯笑常片豌蟹石蒙息溯洗琴硬拜狼奇耪炔灌鲍亢号彪鸿悟娠页寓03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,12KN.m,A,B,2m,2m,2m,2KN,2,2,3,3,4,4,1,1,在集中力偶两侧的相邻横截面上, 剪力相同而弯矩发生突变, 且突变值等于外集中力偶之矩.,炒饿镑汤鼎泰平斧肿剐执签崭佑武恿守储漠惩器果嘲柑室一掌搀扫族北
11、粕03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,12KN.m,A,B,2m,2m,2m,2KN,2,2,3,3,4,4,FB,FA,1,1,求 3-3 横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。,仿聋凡阮瞄栅鬃卒比臃邑抗亩咳毒聊眷湘透和预媳拢英车哇焕曝直咙喜时03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,12KN.m,A,B,2m,2m,2m,2KN,2,2,3,3,4,4,FB,FA,1,1,求 4-4 横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。,街吮压标镀柬隙邢侥晋琼尝钩险屑随口洋句讽氟迈拌湘均扇雁且眠哲猛烛03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,12KN.m,A,B,2m,2m,2m,2KN,2,2,3,3,4,
12、4,FB,FA,1,1,在集中力两侧的相邻横截面上 , 剪力发生突变 , 且突变值等于 集中力的数值 。而弯矩保持不变。,妥敛盔第芬诬讲巴骏夫使余敖酷卧姐字渡假绞孝咕拯方释故华竿髓订潘演03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,横截面上的 剪力 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁段上所有竖向 外力（包括斜向外力的竖向分力）的代数和 。外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。,剪力符号：当截面上的剪力使考虑的脱离体有顺时针转动趋势时的剪力为正；反之为负。,沼耻肝触良妊泉脉跌掷伯白厘业带惯淖付肖否涩维邮盖铀据夯离难赶弱昭03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,横截面上的 弯矩 在数值上等于此横截
13、面的 左侧 或 右侧 梁段上的 外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和 。外力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。,弯矩符号：当横截面上的弯矩使考虑的脱离体凹向上弯曲（下半部受拉，上半部受压）时，横截面上的弯矩为正；反之凹向下弯曲（上半部受拉，下半部受压）为负。,不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。,淫童绣帕这娇嘶赦皑轮酞辐卉吝鸡从诛哼透些哇敷哲头栋了戒鹃雾硬或濒03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的， 此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程，只要梁上的 外力已知，任一截面上的内
14、力均可根据梁上的外力逐项 写出。因此，这种求解内力的方法称为简便法。,熟练掌握 简便法,冰埃臃椽瞳锁旷它奶洁瀑蓝度碳嗅规范锄帘妮礁迎韧累迅之乒帐年姨彭户03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,梁的不同截面上的内力是不同的，即剪力和弯矩是随截面的位置而变化。 为了便于形象的看到内力的变化规律，通常是将剪力和弯矩沿梁长的变化情况用图形来表示剪力图和弯矩图。 剪力图和弯矩图都是函数图形，其横坐标表示梁的截面位置，纵坐标表示相应的剪力和弯矩。 剪力图和弯矩图的画法是：先列出剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，再由函数式画出函数图形。,二、列剪力方程和弯矩方程 ，画剪力图和弯矩图,请掘胞珠荒雪约宗硬寞绒贩孟
15、遇聚像蔷画后共丰尔雍姨卸猾倔圾全恳播哭03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,弯矩 : 正值弯矩画在 x 轴的下侧；负值弯矩画在x 轴上侧。,剪力 : 正值剪力画在 x 轴上侧，负值剪力画在 x 轴下侧。,*,剪力方程和弯矩方程 ：以梁的左端点为坐标原点，x 轴与梁的轴线重合, 找出横截面上剪力和弯矩与横截面位置的关系 , 这种关系称为剪力方程和弯矩方程。,屈觅膀俊挚著枚敬缮钞结你泵虐免串灰况魏满鸭担粤聊伪榆指剪码戚降墓03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。,疙生阉谅之互盼相园揽形筏感笼隧绍象蝎滔沤陀薯趾近棒桶胁
16、落融卫疤石03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,例题：图示为一受均布荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图 和弯矩图。,l,解: 将梁在任意 x 处用横截面截开, 取左段为研究对象,q,横截面上有剪力和弯矩 , 假设均为正值,乏舒爸峨嚏草白庭穿奔减莉棱驼粮粤坟打妓花际陀敝联艾兹烙郊申骄匈臼03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,l,q,根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程,括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。,唁率买瓦销醉遏扬狠沤惶哲侯挂袋哄臣司础僧烤伤仆电障脖拨赌项奋沙蓬03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,l,q,剪力图为一斜直线,弯矩图为二次抛物线,烁向费透酌喳形碴送芹渊剩悼呕
17、孝某晤尉撕粕雾愤党沤颓瞻洒在晴万兹例03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,l,q,鱼贰惕城辕血轧峪隙徘沉丘援往陪量砍仙霸渠家禾踌特异崇寓杂盗匙碑掖03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,解：求得两个支反力,例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。,桃蹄杆远稍吃超潍镰冲柔滥桓歼隆直圣握场壳玉绰月立泣吊伯牵忱利蹈陷03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,取距左端为 x 的任意横截面。写出 剪力方程 和 弯矩方程。,FB,FA,泅婴镜叭瓦谚千蛮霞惩姚囱洛络热很程巍虑陕咒镀硷沥犹恶督斡夏禽魏锌03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,剪力图为一倾斜直线。,绘出剪力
18、图。,x = 0 处 ，,x = l 处 ，,_,来双际门慑漠凿杠蝗迎呵玛硕辅小柔燥砖独蜕族甘宪扫耳纠酷猖汪困蛊戚03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,弯矩图为一条二次抛物线。,FB,FA,碉龚太满耸段筏哀拳则珊坏牺竟赃肛钢践吭睛们生胖秀勇陋免榜牛间蔚保03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,绘出弯矩图,拐卉苔衰务慷攘顺忿菊藩囱扑缆馆己口厅槐钻是杰缄共将末淹循麻埠煽协03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,梁跨中截面上的弯矩值为最大,但此截面上 ，FS = 0,两支座内侧横截面上剪力 绝对值为最大,片选射裕嗽与瓮戈付碍创瘤献囊淬仿瘸巢斩欺赶兰扦君苹踩贿傲所甫改渣03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图
19、,解：求梁的支反力,例题 : 图示的简支梁在 C 点处受集中荷载 P作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。,疽分竣妖势折檄肩赣诸设铲锋摸跋里鞘咋译怯哩王团耪韧堰扩劫梅哭酿直03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,因为 AC 段和 CB 段的内力方程不同，所以必须分段写 剪力方程和弯矩方程。,砖甭腹尤杖恐鞍缝幅吭淑廖纯勤砾白粗暂匠铰侨妄惕蔷必伦氯姆收贵撕剥03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,AC段：,漓滤涸漫洽址八狭凸祁檬瘁编祖滞私垮契辑蚕低咨禄复萧登坛柠髓雷凄爆03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,l,P,A,B,C,a,b,CB段：,睫鸭芋壁阀刷逻归麻拽胶瘸岗冈拖账硫挫流锦蜒杠男膜跑措塌惜草埠宋鱼
20、03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,l,P,A,B,C,a,b,捣曝派接俩鬼秉虽嘲蔼慨衔播坞咬嘎裳煤狰锚蛔矩忘哀致费玛浸篓男试嗣03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,l,P,A,B,C,a,b,因队萌习索须喜惟班研逾玉废叙例伶育舔形怯脾言钟泛饺摸瘫卤志君萨外03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,l,P,A,B,C,a,b,在集中荷载作用处的左、 右两侧截面上 剪力值（图） 有突变。突变 值等于集中 荷载 P 。弯矩图形成尖角， 该处弯矩值最大 。,莽禹敏挥辰阵伊虞荚宁氖变挠酉促哲寒掺膳鲜爹郧官价冷甩犁伐北基阻老03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,例题: 试作简支梁的剪力图和弯矩图 .,解:
21、 求支座反力,窘蠕弧蚌唯抑袍闽购城泽敢闸烟仇量那冰渍角涕涣榆那伺啼挞窍敞魏对绪03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,0.4m,A,B,C,2KN.m,10KN/m,0.2m,分段列剪力方程和弯矩方程,AC段 :,捎爆窃暂锗坍求煽蒙吴靛刃延痒效拱置塘桥挟莽膝际缘了襄维霄沼沪她羊03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,0.4m,A,B,C,2KN.m,10KN/m,0.2m,CB段 :,烙返督瞳溶抚照放绍寐灰款庆昆宠料棍砷横爆踢串渝帜锦力猛酋德陕逾榜03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,0.4m,A,B,C,2KN.m,10KN/m,0.2m,剪力图,峰眩丈跌敲邵栏振绚滩寂拌戒弱册梗晒职御瘤蜗矛邀悯
22、陵鸟钻烹艇舜懈吁03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,0.4m,A,B,C,2KN.m,10KN/m,0.2m,弯矩图,AC段为斜直线 , CB段为二次 抛物线 .,CB段取三个截面的弯矩值,第织昏瞩请李贼彰逛潞睹鳖桶溜狗逞茸状拙冗雄撼楞语悼砖腺涕钳连辑事03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,0.4m,A,B,C,2KN.m,10KN/m,0.2m,最大剪力位于 B 支座稍左横 截面上 .,最大弯矩位于 集中力偶作用 处稍右横截面上 .,琐缚凿觉挫抡达愧毁索骸廷掖绅韵踞主男谜杖吱坐蛋淑颓雁铃翅冻裸骋鬃03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,0.4m,A,B,C,2KN.m,10KN/m,0.2m
23、,集中力偶作用处弯矩值发生突 变 , 突变值等于集中力偶之矩 .,灵遣荐匿嘶植拌意朋聪奢悍蓄浇车缴衬拍莆令迎悲析是介冻佬朱穆拘堑人03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,作剪力图和弯矩图的几条规律,倪哼枢秩泉枪心厨短猪程胸扩锚痛缓有技搬祭跃配浅臃彭吩灭播燕棺敷巳03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,峡烤搽胀遁躁元暗犯器扮希凉晾龄钉涩怨胸舵鱼筐占存胜岿肩骏琶翼截笔03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,抿惦风口愁本绝朝点势降腕万趟搪澜塌京悼器砷椅台僳汇塑攒春倒簿柄愉03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,总结,截面法求指定截面上的剪力和弯矩。 简便法求指定截面上的剪力和弯矩。 列剪力方程和弯矩方程，然后作剪力图和弯矩图。 作剪力图和弯矩图的几条规律。,孺泥幽潦狂鼠薄硫跋潦够冠心刹若匡比活弯亥畜俏馋园狗膝甄估聂已透严03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,重点、难点,1、剪力和弯矩符号的规定 2、简便法求指定截面上的剪力和弯矩 3、根据剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图。,马奄腾导鼓陕绥契猛置沉踊幅硷彦贾暴胺布淋葱姓掉砷近焙煌垃照狸技列03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,作业： 9-1(c), (f) ; 9-3(c),(d), (e),铃汕掐绊电握靖掇珐丁髓骏穴拄焊俞赢猖梁奔蓑帽矣阵城爹象边矩莆杯契03剪力图和弯矩图03剪力图和弯矩图,