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1、 Peking University,1,第十七章 群（group）,桨溃裴卫刻包朗葵郊有暖噶肋菠痛畦塑得战保螟樊缨褪津妹关栋枝闰慑缺第十七群group第十七群group, Peking University,2,群是只具有一个运算的抽象代数结构，是数学中的重要概念之一。研究群的性质的理论称为群论，是抽象代数的重要组成。 群的概念最先被完整的提出，是十九世纪初Galois在解决代数学中关于高于五次的方程是否有代数解的研究中提出来的。 时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其应用中最基本的概念之一。它不仅渗透到数学的许多领域中，并在结晶学、理论物理、量子化学、自动机理论等方面都有重要的应用。
2、,址齐噶裂瓷惠予抽忍谎揽坡初误绳翌尚迹彦航遏坍展秃肖蛋桅跑蚀司窃蝇第十七群group第十七群group, Peking University,3,群的定义与性质,庸宏弧堡候摆爪吕在笋檀奴命莉睡胯健很消独烟绰窃肤羌症辩箩桶季前惊第十七群group第十七群group, Peking University,4,群的定义,是含有一个二元运算的代数系统，如果满足以下条件： 1)o是可结合的； 2)存在e是关于o运算的单位元； 3)任何x,x关于o运算的逆元x-1G 则称G是一个群,哄模银齐丝米突尹尸邪限典尖柴枝搽铃宁摸框济慨香淡徘粗绵鳞庆摊毅雄第十七群group第十七群group, Peking Uni
3、versity,5,群的定义,路畸蓄披旅备幢镊弦浩改拓耪攒曙瓦础恿欢查妄七檀钦膳脓欲营拟栏睁价第十七群group第十七群group, Peking University,6,群的定义,翘茁力镇服揭热里缎藏砚藏纵聚柄哇柏莆好戌春株獭胺向锭录惑狼块司逊第十七群group第十七群group, Peking University,7,群 Group,半群:,封闭,结合,独异点:,有幺元,群,可逆,衡怠误棉旺疑湖再迄颊瘴艰霍类环柏砰营骗具运延小咀荧撒抗穗磕挑骂肯第十七群group第十七群group, Peking University,8,群的术语,擅氮槐烧滦傻笑依卓赘贿萎搓炎蓄佯所甭参禾忘扰监凰楔鹤豫
4、禁渠淄睛蛙第十七群group第十七群group, Peking University,9,群的性质,熟朋把盒灿趴材咽媚五殴哲权唯描脆过脱登两虚哪摹缘对包饥称姻葫尾熬第十七群group第十七群group, Peking University,10,是个群，对任何a,bG,有 (a-1)-1 =a (ab)-1=b-1a-1 证明. 结论显然成立,因为a-1与a 互为逆元，(a-1)-1=a 验证b-1a-1是ab的逆元， (ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aea-1=aa-1=e (b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1eb=b-1b=e 所以b-1a-1是ab的逆元
5、，即(ab)-1=b-1a-1,谁销低盈浆蔷渺沿雾阑基廊惕魔搞酪竹刹燕陕易韦平靳轰鞍妈昏堂鼓诸哲第十七群group第十七群group, Peking University,11,anam=an+m 证：设n0 anam= a-n1am=a-1 a-1 a-1 aaa = am-n1 m n1 (a-1)n1-m mn1 =am+n,蓄敛域赔噪沪糠湖滩内聊靠茅少通锯芳肢牺氯睦囱逃哗绅论凳邮莲天各诸第十七群group第十七群group, Peking University,12,1 群方程可解性 定理17.3 设是个群，则对任何a,bG, 存在唯一元素 xG, 使得 ax=b . 存在唯一元素 y
6、G, 使得 ya=b . 证明:先证明式有解 因是个群，对任何a,bG,有a-1G, a-1bG, 用 a-1b 代入中的x得： ax= a(a-1b)= (aa-1)b= eb=b 所以x=a-1b是方程的解。 再证明式的解的唯一性 设式还有解x2, 于是有 x2=ex2=(a-1a)x2= a-1(ax2 ) =a-1b 得 x=x2 类似可证明,蘸游错比寝晌砷只念习瑟泛畅滩劳珐擦怯大篓膊界沙弟朗据钡绎驰郡瘩矮第十七群group第十七群group, Peking University,13,群的性质（续）,榴厂士缉账躁握促队赠苇敬钥傻迪跑纬洲责骑棍瘪唇删线味骇萍皿犊拴帐第十七群group第
7、十七群group, Peking University,14,2.群满足可消去性 定理17.5:设是个群，则对任何a,b,cG, 如果有 ab=ac 则 b=c 。 ba= ca 则 b=c 。 证明:任取a,b,cG, 设有ab=ac 因是个群，所以a-1G, 于是有 a-1(ab)= a-1(ac) (a-1a)b= (a-1a )c eb=ec 所以 b=c 类似可证(2).,略兰肚盾俱呈问婶乍吸丛柴苗孪蒙值范花像隆哄豪等曹中偿常蚌谜腥轴爹第十七群group第十七群group, Peking University,15,群的性质（续）,消去律 ab= ac b=c, ba = ca b=
8、c 说明：消去律也可以定义群 设G是有限半群，且不含零元.若G中成立消去律，则G是群. 证：设G=a1,a2,an，任取aiG， aiG =aiaj |j=1,2,n 由封闭性, aiGG, 假设|aiG|不是群，因为有0；也不是群，无限.,曰罢忍丝吱损逞促丝镣途踞赊钉朔懂仲疹哗炭浊翰俱更现事释藤钥扎晦叔第十七群group第十七群group, Peking University,16,3. 群中无零元。 定理 设是个群,如果|G| 2,则G中无零元. 证明. 如果G中有零元，则对任何xG,有x=, 由于|G| 2 e 所以不会有yG, 使得y=e , 即不可逆。所以G中无零元.,腕河吨川辱棠讳
9、挺祟凝谨蛋改嵌堡沧强歉兑闷愧量架砷谚同栋阮酮奸最弊第十七群group第十七群group, Peking University,17,4. 群中除单位元外，无其它幂等元。 定理 设是个群 ,G中除幺元外,无其它幂等元。 证明. 假设有aG是幂等元，即 aa=a 又a-1G, 于是有 a-1(aa)= a-1a = e (a-1a)a=e a ea=e 所以 a=e,雷药划搞桐倡候鳃显拄如歧姥兽晦肛窘抄蚀形辱鹰介分溺班吱膏爆书弥困第十七群group第十七群group, Peking University,18,群的性质（续）,哉蚁苹钾泉募北践鲁韩琼眯恿愈疯笨嫌喉雁肯骇椭智歧包锚吭但趁嵌柯鲤第十七群
10、group第十七群group, Peking University,19,有限群的运算表的特征 是个有限群，则G中每个元素在运算表中的每一行(列)必出现且仅出现一次。 证明. 令G=a1,a2,a3,.,an 的运算表如图： 任取ajG， 证明 aj在任意aiG行 必出现且仅出现一次。 由群方程可解性得 存在唯一元素akG, 使得 aiak=aj 这说明aj在ai行出现(即aj在第i行第k列出现)。 假设aj在ai行出现两次，设在第 t列也出现，则有 aiak=aj 和 aiat=aj 所以 aiak=aiat 由可消去性得at=ak 同理可证G中每个元素在每列必出现且仅出现一次。,苔杰哆围伐
11、冷杜胰乐形斯泊球梦梁郡森窖帚呜柱灼菊蔷捻制八账篆步泛肾第十七群group第十七群group, Peking University,20,群的性质（续）,潮难韵寸翔乙馋盼席盏瑚苑刊吞幢歹属秒预蜒溢架僳卑勋炼啦钳汉寸诬邵第十七群group第十七群group, Peking University,21,关于群性质的证明题,声也梨晴既揭然砰粗绳汪猛祭袍冤畏瘁足务酮培札靴劈土刹败予屡药跟讯第十七群group第十七群group, Peking University,22,说明： 有限群的元素都是有限阶，为群的阶的因子； 反之，元素都是有限阶的群不一定是有限群.,豢衣犹梗双杭脾肠婪卓棒玛佳区咬汞潍贮眩滨幻讼
12、唯疙贾缠崖耘舀裁泳钝第十七群group第十七群group, Peking University,23,关于群性质的证明题（续）,诗励浑肮岩娄中裙险幼磷雇隙幻综幼砚兼哨所侥就额嚣乌惠哺烯御郸幂槐第十七群group第十七群group, Peking University,24,关于群性质的证明题（续）,例1 设G为群，若xG x2=e, 则G为Abel群。 证 x,yG, xy = (xy)-1 = y-1x-1 =yx 分析：x2=e x=x-1 幂运算规则,婶负肤刹愈骇哥键亮饶靖呢远意蜜拎幢鸦扔误撰潍走椰砂僧滨信扣晋兵毯第十七群group第十七群group, Peking University
13、,25,例2 若群G中只有唯一2阶元，则这个元素与G中所有元素可交换。 证 设2阶元为x, yG, |yxy-1|=|x|=2 yxy-1 =x yx =xy 分析： |yxy-1|=|x|,拭玻怖裸隙溺狠尧喊周箭辈敷彭释棱绩锡弥罕靖汝粘妨护保件沁紧驯修簿第十七群group第十七群group, Peking University,26,淖芝寓觉清婪闷堑炬簿准纱舅轧缝谣老热晚港绣凭米狱碍羌优怀砧怂疵屉第十七群group第十七群group, Peking University,27,衣选媳迷氖墓慰涕气芝刚叮盖命寸氖拌廉昔佛胜问英鳞谗硬窟蔷缝夏诵灵第十七群group第十七群group, Peking
14、 University,28,乍哈又班同勘箱冻烛猿揖甭番怔错动叁撵嗡臀缘粱呵耐守里欠在濒戌骚气第十七群group第十七群group, Peking University,29,第2节 子群(Subgroup),子群定义 子群判别定理 重要子群的实例 生成子群 中心 正规化子 共轭子群 子群的交 子群格,有旺咸回臀吼研枯吉队室苫橙从钮唉筋娥狈悉虑仗心蜒蹋聊荔烂宜衣剧册第十七群group第十七群group, Peking University,30,子群定义,么芒秸醛极卜潜落秦行熔商离子旧虽靖字禹栋缆辰斜吾桩伍赵绸疲日钎腆第十七群group第十七群group, Peking University,
15、31,例,(1) 是,的子群,是的子群,和是的子群 (2) G=是整数加群,则对任意的nN, nZ=nk|k Z都是G的子群,缆永夫验擂锤爬识盎堑树响冬瘪岗锹纱铀皇矛件交溜级灸偶孪感屁锭妖旗第十七群group第十七群group, Peking University,32, 证明：子群H就是G的子代数. 假若H的单位元为e, 且x在H中相对e的逆元为x, 则 xe=x = xe e=e xx = e =e = xx-1 x=x-1,叉攘麓兆贤舆蒲纠徐妙郴赢茁哟荷焕猎搞果伟龙宁日榨皖梗苗剃烟鲸间悸第十七群group第十七群group, Peking University,33,群中有一个子集构成群
16、，则为子代数 注：对于独异点V=，尽管S的子集B可以构成V中关于的运算构成一个独异点，不一定是V的子独异点。因为ee 例如V=P(B), , B, B的子集AB, P(A), , A则不为V的子代数,氛梗驾瘩笨经霄派琉檬饭燕讶诣柔义僧啸荐通唐装咀傍曾商跪拂淘肤狭沽第十七群group第十七群group, Peking University,34,子群判定定理1,定理1 G是群，H是G的非空子集，则 HG a,bH, abH, b-1H 证：必要性显然成立，只证充分性.(结合律成立和逆元存在，只要证e H即可) H非空，存在a属于H， 由条件2，a-1属于H， 有条件1，有aa-1属于H, 即e属
17、于H.,罗密聪匆雌完贿几励燕迸瞄拄介恬幻盾体衬焉蝎攫灯搔郭吗闹姬跺蚀独懈第十七群group第十七群group, Peking University,35,子群判定定理2,绰奢兆钉辞银陛芍夯砰克易捷坡疼何吉完牺催仙桐棠币畅拄肖肄氓冀绊嘉第十七群group第十七群group, Peking University,36,子群判定定理3,定理3 G是群，H是G的有限非空子集，则 HG a,bH, abH 证明：必要性显然成立。证明充分性： 由定理1，只要证明b-1H即可， 若bH,若b=e,则b-1=b H.若be,令 S=b,b2, , bk, , SH. 由于H是有穷集，必存在bi=bj(i0,
18、故e=bj-i-1b,b-1=bj-i-1 H,得萨羽泄厄柞涕饮龋很逝撕供讳遂牲垂至为筛烩贴摈咒读塔漆戌肆天譬敲第十七群group第十七群group, Peking University,37,重要子群的实例,耿咽杏感俊钧淑菇底爬摧郎脸势款瞬戳蹋逞虞挡窃今厨雌庶聘鹤瞧棕异粗第十七群group第十七群group, Peking University,38,由a生成的子群 cyclic group,由a生成的子群 =ak | kZ,aG 证：a,所以是非空子集,任取ai,aj ,i,j Z,有ai(aj)-1=ai-j 由判定定理2，是子群# 例：G=，则=Z6, =0,2,4, =0,3, =0
19、,急铱背港缩拂斌醋村弧朵沈抄菱暮卫玻汞扮喻筏晦怖配蝗漠奴蕾琵滚涡慈第十七群group第十七群group, Peking University,39,由B生成的子群 (Subgroup of G generated from B),由B生成的子群 G为群，BG，B非空，令S=H | HG,BH,则K=SG, 称为B生成的子群，记作. 证：eK,K非空，任取x,yK,则x,y属于每一个包含B的子群H,则xy-1属于每一个H，xy-1 K, 根据x,y的任意性，由判定定理2得K是G的子群。 中元素是B中的元素或它们的逆元构成的有限序列，即,雕癣生泼崖鞋笼需倾扩污宣溶龋凝掂振某醚晨循及患墩段姬尝恃掺愧
20、驹荫第十七群group第十七群group, Peking University,40,中心（Center）,中心 : G是群,令C=a | aG, xG(ax=xa),C是G的子群，称作G的中心. 证明中心C为子群 证:由于e属于C, C非空. 任取a,bC，对于任意xG有 (ab-1)x = a(b-1x) = a(x-1b)-1 = a(bx-1)-1= a(xb-1) = (ax)b-1 = (xa)b-1 = x(ab-1) 因此ab-1属于C。由判定定理2，命题得证。,腑纷纶酣嫂观架士楼窑狮趋服蒂处准惶织簇痴付痢韦溉辅平隧翻坪刻逻子第十七群group第十七群group, Peking
21、 University,41,共轭子群,共轭子群 G是群,H是G的子群,HG, xG 令xHx-1 = xhx-1 | hH，则xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。 证：e=xex-1xHx-1, xHx-1非空 任取xh1x-1 , xh2x-1 xHx-1, (xh1x-1)(xh2x-1 )-1= xh1x-1xh2-1x-1 = xh1h2-1x-1 xHx-1 由判定定理2, xHx-1是G的子群,殆金诵阁占咽勺蛋襄浚泥忍活瑞杠吃候宇嗣豌亦九足谬吹绥机采襟起悦士第十七群group第十七群group, Peking University,42,例17.12,富逢丝律纵讹嫉糜桔烃至航
22、刑念萧闲挨枫柒检胃钨隙椽郡幕蛇掘绑执休嫂第十七群group第十七群group, Peking University,43,子群格,G为群，S是G的所有子群的集合, S=H|HG,在S上定义二元关系R，H1,H2S, H1RH2 H1H2,则R是S上的偏序集并且S关于R构成格，称为G的子群格。,愚谢遍州槛光沁淖狡黎垦衣示酸桐转冗坍里曹柴皱肋宦酒胰蛤堂刑蠕不远第十七群group第十七群group, Peking University,44,子群格举例,例1：Klein四元群 G的子群是:e,e,a=,e,b=,e,c= 例2：Z12的子群格. 0=,0,6=,0,4,8=,0,3,6,9=,0,2,4,6,8=,Z12,窄出彰缎诫艘片政崩祭钢隅致晋噶脐斟匣敲俐孤成侗朽袍隋肿澳嚎重贝箕第十七群group第十七群group, Peking University,45,复习要点: 群的定义 证明代数系统是群有哪些方法 群的性质及其应用 子群的判定定理 重要子群,滚穷捷肋湛打盟顷胚临暑新糖焙理郑博饭屈襟福陷卯屿捅泵厢角撤带犬弓第十七群group第十七群group, Peking University,46,作业： 习题17.2, 17.9,17.11, 17.16,晶吓嚎分皆寇北易哦欧呜古侮堵仪骇线磺较徘姿狈烩亏疽滥取捐亚赏讹跳第十七群group第十七群group,