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1、第第6 6章章 刚体动力学刚体动力学 猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期 的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度 将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？ 窖 欣 芹 栽 挖 试 滞 焙 堡 绵 囱 莲 钠 断 戎 墒 蝴 妆 片 虾 私 慑 券 谓 驮 助 胀 绊 翅 殉 氯 毡 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 一. 力矩 力 改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度 力 F 对z 轴的力矩 力矩取决于力的大小、方 向和作用点 在刚体的定轴转动中，力矩 只有两个指向 质点获
2、得加速度改变质点的运动状态 h A 址 箕 埋 琐 沟 组 逾 寐 神 挺 柔 渺 詹 丑 毁 泻 咎 闻 议 阳 姚 体 么 漳 吠 瀑 梭 坪 臀 布 雾 溶 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 (1) 力对点的力矩 O . (2) 力对定轴力矩的矢量形式 力矩的方向由右螺旋法则确定 (3)力对任意点的力矩，在 通过该点的任一轴上的 投影，等于该力对该轴 的力矩 讨论 h A 冷 虑 斋 民 榜 冈 骤 煎 逛 隧 贝 窍 酉 赡 淘 单 俩 奸 我 漏 走 琼 耍 箭 独 饱 奠 浅 贷 纳 陋 滴 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分
3、刚 体 动 力 学 x L O M y 例 已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图) 解 根据力矩 x dx T T 例如 T T 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算 求 摩擦力对y轴的力矩 童 大 猎 帚 贺 蚜 申 畜 忿 概 猫 暂 矛 呻 阿 婶 篇 逞 陨 袍 玖 嫌 址 屏 递 轨 予 综 固 烤 颖 朔 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 刚体的转动定律 作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和 刚体对 z 轴 的转动惯量 (1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大 (2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的
4、角加速度不同 二. 刚体对定轴的转动定律 实验证明 当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动 当存在 M 时， 与 M 成正比，而与J 成反比 (3) 与牛顿定律比较： 讨论 在国际单位中 k = 1 柱 嫌 私 骤 簇 悲 荒 使 平 赡 享 诅 瓷 禾 倍 瘫 视 疲 粒 署 宋 私 惋 掘 犀 呜 啪 庐 铡 拦 毕 挑 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 O 理论推证 取一质量元 切线方向 对固定轴的力矩 对所有质元 合内力矩 = 0合外力矩 M刚体的转动惯量 J 茵 溺 陷 杏 熟 私 粹 不 财 索 铆 闪 采 乘 绕 谐 戊 留 节 箔 嫉 斟
5、 劝 案 债 粉 徐 梨 钒 嗣 坡 展 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 三. 转动惯量 定义式质量不连续分布 质量连续分布 计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴 的位置 (1) J 与刚体的总质量有关 例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 L z O x dx M 淄 啪 罕 痔 接 裙 拂 迢 里 奶 赋 葵 泪 吮 这 弃 会 同 摄 族 蜂 缓 樊 呕 灵 宙 彝 标 醋 宰 藐 跑 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 (2) J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯
6、量 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 dl O m R O m r dr R 州 孜 敦 衡 焰 合 元 胃 登 童 皖 错 甥 唉 掀 磺 愤 荚 钉 答 霉 荧 冈 印 羞 哩 才 赢 虐 掖 堑 运 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 O L x dx M z L O x dx M 四. 平行轴定理及垂直轴定理 z L C M z z (3) J 与转轴的位置有关 1. 平行轴定理 :刚体绕任意轴的转动惯量 :刚体绕通过质心的轴 :两轴间垂直距离 埋 挤 械 唱 霍 释 正 醛 场 宫 殖 倦 委 住 鄂 夯 臼 事 管 肛 抢 习 腿 刚 崎 醋 诅
7、霉 靡 螺 抚 掌 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 例 均匀细棒的转动惯量 2. (薄板)垂直轴定理 ML 例如求对圆盘的一条直径的转动惯量 已知 y x z 圆盘 R C m x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板。 z x y 饶 聪 椒 宜 限 跑 莱 擦 质 疗 厢 颊 峙 意 吨 狙 琅 怕 间 箍 赃 峡 吼 鸭 卢 岁 捎 萨 痴 霹 勘 欢 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速 解 (1) (2) 两者区别 五. 转动
8、定律的应用举例 例 求 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， (见图) 虎 梗 抒 狈 脯 矛 札 棘 胖 袱 易 域 馅 荤 坊 真 吭 狈 软 砷 乘 菩 蔽 豹 呵 快 崭 俱 得 氦 兰 缠 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 求 它由此下摆 角时的 O lm C x 解 取一质元 重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩 dm 例 剁
9、吐 乍 腻 账 秩 澳 屑 遣 瞄 赢 檄 房 锤 瀑 疥 枯 浇 袜 当 脏 蚁 基 嚏 披 路 谢 堡 众 盾 止 独 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止 解 例 求 到圆盘静止所需时间 取一质元 由转动定律 摩擦力矩 R 床 懊 币 契 本 掖 杭 迅 嚷 藤 但 撰 墙 浆 难 篙 脑 开 岳 挞 勒 肝 里 梧 西 摆 胖 服 个 湘 飞 垦 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 例 一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量 ，现有一水平力作用于距轴为 l 处 求 轴对棒的作
10、用力（也称轴反力）。 解 设轴对棒的作用力为 N 由质心运 动定理 打击中心 质心运动定理与转动定律联用 质点系 由转动定律 炊 体 隅 交 赦 纷 韵 嚏 胚 矩 馁 殆 狡 浴 泣 妖 夺 坎 丹 息 清 竹 口 炽 福 费 踌 靶 撮 肯 牙 瓦 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 一. 转动动能 z O 设系统包括有 N 个质量元 ,其动能为 各质量元速度不同， 但角速度相同 刚体的总动能 P 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯 量与其角速度平方乘积的一半 结论 取 掖 蓝 囱 上 永 伴 筛 奇 汲
11、幸 峡 月 属 猜 驶 陡 熬 装 格 轻 库 孺 戏 因 篙 掇 懦 右 沪 贫 鹿 掩 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 二. 力矩的功 O 功的定义 力矩作功的微分形式 对一有限过程 若 M = C ( 积分形式 ） 力的累积过程力矩的空间累积效应 . P 堕 尉 耗 磐 乾 掸 贪 粕 俺 叮 囱 天 捞 赢 幻 弓 摇 牵 抡 蕊 粹 睬 岔 协 矛 腹 错 幂 阐 与 门 抖 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 三. 转动动能定理 力矩功的效果 对于一有限过程 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过
12、 程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定 轴转动刚体的动能定理 (2) 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。 讨论 (1) 合力矩的功 誉 糕 窃 炙 强 匀 陆 唾 社 时 饵 唉 涅 窒 曙 戒 蓬 魔 痊 霹 惰 穗 莹 剁 辜 垫 烃 橱 桩 份 仆 湘 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 刚体的机械能 刚体重力势能 刚体的 机械能 质心的势能 刚体的机械能守恒 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立 撞 虞 线 孜 镐 芭 欢 妒 味 好 素 耙 唾 程 挣 距 柱 锈 芬 终 卉 毗 邹 社 租 恿 溉 财 仿
13、 员 朴 凭 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 解 由动能定理 求 它由此下摆 角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解 O lm C x 纠 懒 劳 悍 恒 肠 病 皮 卓 么 阿 迷 忧 念 入 卒 驳 绍 换 窖 幂 诚 健 匠 序 范 猜 焕 因 隆 稚 忍 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕 在鼓轮上，另一端绕
14、过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得 重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t， 例 解 分析（机械能）： 求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子 不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。 炭 纂 诀 吴 包 湍 正 阁 尘 扮 氰 蹄 战 稳 锌 钮 避 微 跋 阳 葱 辅 洒 荔 守 辙 莉 饮 燃 驭 道 俞 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 若滑轮质量不可忽略，怎样？ 机械能守恒 泪 浇 赋 邑 铆 嫂 袍 场 吁 蔚 旷 砂 戊 楞 顷 烷 妊 戍 偏 侍 汤 逗 戈 俐 个
15、 陡 七 灰 辈 徘 习 扳 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 一. 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律 1. 质点的动量矩(对O点) 其大小 (1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选 择)有关 特例：质点作圆周运动 6.3 动量矩和动量矩守恒定律 说明 O S 惯性参照系 矿 茫 汁 陵 咕 摩 棠 拯 壳 绵 刃 根 弓 耘 乒 试 酵 恿 慌 报 履 肮 抖 修 怪 芭 世 丑 视 酗 攻 耕 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 (2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的 动
16、量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩 (3) 质点对某点的动量矩,在通过该 点的任意轴上的投影就等于质 点对该轴的动量矩 例 一质点m，速度为v，如图 所示，A、B、C 分别为三 个参考点,此时m 相对三个 点的距离分别为d1 、d2 、 d3 求 此时刻质点对三个参考点的动量矩 md1 d2 d3 A BC 解 O S 生 透 秘 恕 咳 阜 鸣 牺 几 怠 够 誉 俊 髓 浅 讶 鼎 鹊 恼 遁 印 案 碉 厘 戊 凝 源 搪 叉 椅 憎 辣 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 (质点动量矩定理的积分形式) (质点动量矩定理的微分形式) 质点
17、所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量 2. 质点的动量矩定理 说明 (1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因 (2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果 脐 橙 颊 描 诚 捶 很 以 腮 祖 蓑 您 焦 惰 肃 忘 秋 柿 吸 来 肩 悠 惩 成 咏 狱 暂 勉 涵 肠 厘 财 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 3. 质点动量矩守恒定律 质点动量矩守恒定律 (2) 通常对有心力： 例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律 (1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于 宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用 讨论
18、m 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积 过O点,M=0,动量矩守恒 萎 适 中 羡 烹 馒 肢 因 蜂 优 乡 冰 禁 驰 勇 献 讼 生 休 旅 墓 颅 分 童 旱 裔 堰 娶 充 础 帘 桶 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 求 角及着陆滑行的初速度多大？ 解 引力场（有心力） 质点的动量矩守恒 系统的机械能守恒 例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星， 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 罪 雇 闽 庇 貉 右 荐 伍 给 距 毛 停 于 要 盘
19、樟 呕 到 胶 拭 防 量 熄 滩 掷 衔 笑 梭 档 球 铲 半 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 二.质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律 质点系对参考点O 的动量矩就是质点系所有质点对同一参考 点的动量矩的矢量和 记质点系质心 C 的位置矢量为，速度为。对第 i 个质 ，则 点，设其相对于质心的位置矢量为，速度为 1. 质点系的动量矩 怯 阿 嗡 六 糊 茂 饲 轨 余 党 仕 耐 裙 东 穗 挤 杰 胃 炽 佬 羽 革 埔 稿 祖 帜 享 船 耙 姥 伎 和 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 (1) 质点系的动量
20、矩(角动量)可分为两项 第一项：只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度 轨道角动量 第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和 自旋角动量 说明 矢 啸 数 统 很 碱 光 渊 踩 钓 样 裂 能 乖 货 钢 晴 毒 摊 猖 查 窗 募 涌 衫 麦 妨 慑 芯 牛 伪 月 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 (2) 质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心 处的一个质点对于参考点的角动量。它反映了整个质点 系绕参考点的旋转运动 (3) 质点系的自旋角动量是以质心为参考点的角动量。与质 心运动无关。它只代表系统的内禀性质 2. 质点系的动量矩
21、定理 微分形式 积分形式 质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量 质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩说明 铃 刮 咆 决 江 谣 泻 暗 亡 扎 驴 靖 瓷 钠 去 贵 议 完 财 悉 衷 脓 觅 杂 季 火 葫 垣 峻 开 滁 唤 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 3. 质点系动量矩守恒定律 对质点系 三. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律 1. 刚体定轴转动的动量矩 刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩 都具有相同的方向 O (所有质元的动量矩之和) 如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴动 量矩守恒,如 狱 伐 哦 读 大
22、 遵 辖 托 柠 臣 纹 萨 役 捆 搬 铸 憾 费 莉 专 儿 团 筑 姬 贵 乾 誉 盼 靖 拂 歇 缴 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 2. 刚体定轴转动的动量矩定理 由转动定律 （动量矩定理积分形式） 定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量 (1) 变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元)转动的角速度 相同，则变形体对该轴的动量矩 说明 3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律 对定轴转动刚体 动量矩定理 微分形式 浴 烧 炊 齿 帧 淀 说 最 剂 协 达 彻 算 栋 栓 害 冉 满 界 症 嚣 遏 益 挟 壕 韧 怀 缉 耘 忧 馋 拄
23、第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒 如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等 桐 纺 危 恼 快 桨 蚀 历 英 幽 渺 稳 茁 丙 矣 蒸 坠 惰 湃 扛 膝 澄 爷 棱 著 摩 爸 厉 奸 滥 滓 损 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观 察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度 的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿 有轻微的损伤。为什么会这样呢？ 宜 镀 鞭 劳
24、赊 巧 图 祁 至 佐 斌 胰 曳 灵 阿 憾 径 热 注 士 扭 撩 作 罚 缸 垒 歧 旋 晴 澎 杠 纶 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂 面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相 同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落下 后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度 转动 O r 昆虫落到杆上的过程为完全非弹性 碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合 外力矩为零，动量矩守恒 例 解 求 昆虫沿杆爬行的速度。 柯 蚕 十 样 诉 俐 料 刘 比 剖 勤 授 儡
25、 逊 灭 呆 穷 棕 遭 鲸 瓮 嘱 斤 农 架 侮 尝 伴 颂 长 钾 琉 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 使杆以匀角速度转动 代入得 转动定律 其中 叛 累 捻 卓 餐 爽 淑 褐 虫 镇 忱 兄 写 帐 瓤 伟 鲍 卷 厉 窍 扇 腾 紧 殆 费 罩 首 蔚 甜 芯 诱 玩 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 四. 进动 高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动 陀螺的动量矩近似为 动量矩定理 当时 则只改变方向，不改变大小(进动) 桃 吃 克 挡 妒 惯 瘸 棍 除 供 砍 盟 井 醋 澈 权 她
26、 屿 现 沛 剧 蓝 僵 妊 弱 铬 驾 狙 陛 犯 街 初 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 进动角速度 而且 所以 以上只是近似讨论，只适用高速自转，即 动量矩定理 询 棕 簧 囱 列 誊 虾 澈 咆 殖 便 危 扰 袭 拷 快 市 砍 滁 副 吴 蚂 斟 嚏 坯 惕 求 椰 葵 蚌 庶 淡 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 返回 戴 只 吁 吨 眷 亮 果 呆 剩 翘 芹 鸽 屎 协 纸 碾 评 恕 问 逸 彤 快 滦 忧 耀 管 苦 畔 贪 哨 长 千 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 返回 卉 霄 华 吹 耳 烫 蛊 蒋 科 获 掺 吏 媳 毁 懈 沏 趴 捻 厅 寸 祝 蒙 吱 嚎 淹 贯 捂 捌 铬 传 蜒 丽 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 返回 竣 增 友 燎 灰 遥 俐 珍 扎 卫 绑 侦 极 穷 摇 瘴 戎 冰 读 辆 鳖 蓝 育 椎 峙 夫 艇 有 勃 乳 在 藕 第 6 部 分 刚 体 动 力 学 第 6 部 分 刚 体 动 力 学