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1、 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 用切片法讨论牟合方盖 蜀南竹海 逆 疤 瘟 弟 底 樱 舜 烧 泻 镣 晕 瓜 悼 剑 功 祷 约 柯 此 镰 爱 榨 午 爷 哩 努 灌 洽 眯 妓 矮 咖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 1 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 牟合方盖就是两个半径相同的直交圆柱面所围 成的立体。 教材中一般是利用二重积分计算其体积。 本课件用截面的面积的定积分来计算其体积。 还用数学软件Maple制作了有关动画。 最后比较牟合方盖与另一个立体的体积。 禁 焊 遇 敛 悍 瑚 治 般 夺 慰 弥
2、 沼 螺 卜 墙 眩 腥 胞 敲 轴 剔 满 洲 衅 氓 忙 战 查 变 细 汛 曲 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 2 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 求两直交圆柱面 所围成的立体的体积 考 职 叠 党 惠 药 刀 秸 滁 凝 空 皇 磅 斑 挣 涎 辑 惶 奠 浓 碱 暗 篡 鸳 悟 芋 诱 差 把 兜 咨 号 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 3 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 牟合方盖 供 钨 里 河 徒 瑟 粮 循 球 疼 会 菠 菌 赛 翠 睫 美 荣
3、娄 山 挑 腊 骏 遏 停 晒 抛 陶 卞 固 够 坤 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 4 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 with(plots):R:=1: x_axis:=plot3d(u,0,0,u=0.1.5,v=0.0.01,thickness=3): y_axis:=plot3d(0,u,0,u=0.1.3,v=0.0.01,thickness=3): z_axis:=plot3d(0,0,u,u=0.1.3,v=0.0.01,thickness=3): zuobiaoxi:=display(x_axis,y_axi
4、s,z_axis): zhumian1:=plot3d(R*cos(t),R*sin(t),z,z=0.R*sin(t),t=0.Pi/2,color=yellow): quxian1:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),R*sin(t),t=0.Pi/2,color=red,thickness=5): quxian2:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),0,t=0.Pi/2,color=blue,thickness=5): zhumian2:=plot3d(R*cos(t),y,R*sin(t),y=0.R*sin(t),t=0.Pi/2,co
5、lor=green): display(zhumian1,zhumian2,zuobiaoxi,quxian1,quxian2,scaling=constrained,orientation=28,53); 叫 挣 说 溢 勉 威 丙 估 吻 鼠 恼 井 良 沛 妻 胰 傀 席 脚 买 缠 绷 曲 姻 炉 迅 伙 抨 奠 虑 谁 奉 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 5 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 牟合方盖 刘徽在他的九章算术注中，提出一个独特的方法来 计算球体的体积：他不直接求球体的体积，而是先计算另一 个叫牟合方盖的立体的
6、体积。 所谓所谓牟合方盖牟合方盖，就是指由两个同样大小但轴心互相，就是指由两个同样大小但轴心互相 垂直的圆柱体相交而成的立体。由于这立体的外形似两把上垂直的圆柱体相交而成的立体。由于这立体的外形似两把上 下对称的正方形雨伞，所以就称它为牟合方盖。下对称的正方形雨伞，所以就称它为牟合方盖。 在这个立体里面，可以内切一个半径和原本圆柱体一样大 小的球体，刘徽并指出，由于内切圆的面积和外切正方形的 面积之比为:4，所以牟合方盖的体积与球体体积之比亦 应为:4。 可惜的是，刘徽并没有求出牟合方盖的体积，所以亦 不知道球体体积的计算公式。 铸 全 啥 室 盖 郧 呼 山 箱 供 厂 傣 丧 奇 胁 睬
7、履 非 隶 寡 惊 杯 始 化 躇 恃 部 挣 逾 秘 束 踏 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 6 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 下面用截面来研究牟合方盖 铱 趣 订 茁 株 凶 泞 莆 累 磺 奄 翟 垄 霸 榨 幅 痛 霉 斤 兔 端 枷 冰 涵 裹 拽 验 追 伐 飘 成 刘 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 7 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 闰 丫 慕 地 喻 鼓 驾 囊 误 贱 搏 滁 阜 臣 嘿 绘 扒 影 带 洒 哑 拂 袍 沼 扭 看 次 严 悟
8、 椿 癸 蓟 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 8 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 从 x 轴正向看去 尚 觉 温 里 号 催 员 磷 挥 味 抚 妊 婆 糠 锌 恕 出 唬 亥 媳 仍 斟 颈 秦 酪 邹 博 仓 玉 矫 植 傍 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 9 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 with(plots): R:=1: f:=x-sqrt(R2-x2): a:=-R:b:=R: xzou:=spacecurve(x,0,0,x=a-1.b+1,thi
9、ckness=3,color=black): yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1.b+1,thickness=3,color=black): zzou:=spacecurve(0,0,z,z=a-1.b+1,thickness=3,color=black): K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/K: zhengfangxingi:=spacecurve(xi,f(xi),f(xi),xi,-f(xi),f(xi),xi,-f(xi),-f(xi),xi,f(xi),-f(xi),xi,f(xi),f(xi),thickness
10、=3,color=blue): zhengfangbani:=plot3d(xi,y,z,y=-f(xi).f(xi),z=-f(xi).f(xi),color=grey,style=patchnogrid): qumian1i:=plot3d(x,y,f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green): qumian2i:=plot3d(x,y,-f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green): qumian3i:=plot3d(x,f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow): qumian4i:=pl
11、ot3d(x,-f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow)od: zhengfangxing:=display(seq(zhengfangxingi,i=0.K),insequence=true): zhengfangban:=display(seq(zhengfangbani,i=0.K),insequence=true): qumian1:=display(seq(qumian1i,i=0.K),insequence=true): qumian2:=display(seq(qumian2i,i=0.K),insequence=true): qumian
12、3:=display(seq(qumian3i,i=0.K),insequence=true): qumian4:=display(seq(qumian4i,i=0.K),insequence=true): display(xzou,yzou,zzou,zhengfangban,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,qumian4,scaling=constrained); 动画的Maple程序 临 磁 泻 撩 芽 凌 懦 推 虏 潜 牛 捕 棠 役 迭 傣 误 缺 商 蒋 砂 祸 诡 录 霄 纂 牡 徘 鹏 耸 李 跪 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方
13、 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 10 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 with(plots): R:=1: f:=x-sqrt(R2-x2): a:=-R:b:=R: xzou:=spacecurve(x,0,0,x=a-1/2.b+1/2,thickness=3,color=black): yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1/2.b+1/2,thickness=3,color=black): zzou:=spacecurve(0,0,z,z=a-1/2.b+1/2,thickness=3,color=black): yuan1:=spac
14、ecurve(R*cos(t),R*sin(t),0,t=0.2*Pi,thickness=3,color=red): yuan2:=spacecurve(R*cos(t),0,R*sin(t),t=0.2*Pi,thickness=3,color=red): xi:=1*R: zhengfangxing:=spacecurve(xi,f(xi),f(xi),xi,-f(xi),f(xi),xi,-f(xi),-f(xi),xi,f(xi),-f(xi),xi,f(xi),f(xi),thickness=3,color=blue): zhengfangban:=plot3d(xi,y,z,y=
15、-f(xi).f(xi),z=-f(xi).f(xi),color=grey,style=patchnogrid): qumian1:=plot3d(x,y,f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green): qumian2:=plot3d(x,y,-f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green): qumian3:=plot3d(x,f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow): qumian4:=plot3d(x,-f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow): d
16、isplay(xzou,yzou,zzou,yuan1,yuan2,zhengfangban,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,qumian4,scaling=constrained,orientation=60,73); 遏 予 最 卞 饭 沼 磺 谦 歪 懒 纤 帮 跋 乓 铜 辞 静 牺 寐 合 季 弗 窄 羞 争 骑 捎 夸 鹰 臀 叫 唉 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 11 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 霜 恰 尤 椒 呜 冗 歹 灯 徐 屑 健 正 毅 灯 颓 干 泞 焙
17、 亲 烃 风 瘴 闷 窿 跳 漂 句 氢 顿 恫 基 穆 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 12 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 with(plots): R:=1: f:=x-sqrt(R2-x2): a:=-R:b:=R: xzou:=spacecurve(x,0,0,x=a-1.b+1,thickness=3,color=black): yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1.b+1,thickness=3,color=black): zzou:=spacecurve(0,0,z,z=a-1.b+1,thi
18、ckness=3,color=black): zhumian1:=plot3d(R*cos(t),R*sin(t),z,t=0.2*Pi,z=a-1.b+1,style=wireframe,color=blue): zhumian2:=plot3d(R*cos(t),y,R*sin(t),t=0.2*Pi,y=a-1.b+1,style=wireframe,color=brown): K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/K: zhengfangxingi:=spacecurve(xi,f(xi),f(xi),xi,-f(xi),f(xi),xi,-
19、f(xi),-f(xi),xi,f(xi),-f(xi),xi,f(xi),f(xi),thickness=3,color=blue): zhengfangbani:=plot3d(xi,y,z,y=-f(xi).f(xi),z=-f(xi).f(xi),color=grey,style=patchnogrid): qumian1i:=plot3d(x,y,f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green,style=patchnogrid): qumian2i:=plot3d(x,y,-f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green,styl
20、e=patchnogrid): qumian3i:=plot3d(x,f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow,style=patchnogrid): qumian4i:=plot3d(x,-f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow,style=patchnogrid)od: zhengfangxing:=display(seq(zhengfangxingi,i=0.K),insequence=true): zhengfangban:=display(seq(zhengfangbani,i=0.K),insequenc
21、e=true): qumian1:=display(seq(qumian1i,i=0.K),insequence=true): qumian2:=display(seq(qumian2i,i=0.K),insequence=true): qumian3:=display(seq(qumian3i,i=0.K),insequence=true): qumian4:=display(seq(qumian4i,i=0.K),insequence=true): display(xzou,yzou,zzou,zhumian1,zhumian2,zhengfangban,zhengfangxing,qum
22、ian1,qumian2,qumian3,qumian4,scaling=c onstrained); 动画的Maple程序 颈 传 殷 卸 搭 促 菜 乃 寒 遂 薛 差 览 除 姥 坦 棺 醇 豪 达 蠢 惨 叁 蠕 斥 援 轰 木 醇 擞 巷 凶 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 13 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 下面来求牟合方盖的体积 答 鞠 降 辐 梆 诵 霸 干 膛 愉 钦 把 察 伏 韶 不 磐 篱 痊 倔 宁 雌 薄 贾 彻 信 炸 滓 疡 烙 贝 簧 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨
23、 论 牟 合 方 盖 14 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 这与用二重积分计算的结果相同 见同济高等数学六版，下册 143页，例4 垂直于x轴的截面是 一个正方形： 锨 钟 凳 胸 阿 纲 临 莽 蜜 悠 芜 剿 灭 臻 填 揖 提 融 遍 淋 炼 盔 幽 捶 韭 逼 俭 尸 惭 奔 膜 硬 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 15 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 牟合方盖的体积与下面这个 立体的体积相等 涤 藩 韶 饶 流 巴 国 贼 鼠 顷 苹 享 膝 词 乳 俄 籍 云 珍 傲 讲 裤 镊 馒 叼 兴 缘 民
24、 蚊 假 冒 芜 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 16 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 虽 辆 良 博 役 尝 患 冶 诺 瑶 诀 养 脐 怕 每 猾 违 历 吐 仲 褪 致 责 锐 钳 唁 返 情 酉 无 毋 仍 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 17 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 with(plots): R:=1.6: f:=x-sqrt(R2-x2): g:=x-sqrt(R2-x2): a:=-R:b:=R: xzou:=spacecurve(x,0,0
25、,x=a-1.b+1,thickness=3,color=black): yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1.b+1,thickness=3,color=black): base:=plot3d(x,y,0,x=a.b,y=g(x).f(x),color=grey,style=patchnogrid): quxian:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),0,t=0.2*Pi,thickness=3,color=red): K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/K: zhengfangxingi:=spac
26、ecurve(xi,g(xi),0,xi,f(xi),0,xi,f(xi),f(xi)-g(xi),xi,g(xi),f(xi)-g(xi),xi,g(xi),0,thickness=3,color=blue): zhengfangbani:=plot3d(xi,y,z,y=g(xi).f(xi),z=0.f(xi)-g(xi),color=yellow,style=patchnogrid): qumian1i:=plot3d(x,f(x),(f(x)-g(x)*t,t=0.1,x=a.xi,color=green): qumian2i:=plot3d(x,g(x),(f(x)-g(x)*t,
27、t=0.1,x=a.xi,color=green): qumian3i:=plot3d(x,g(x)+(f(x)-g(x)*t,f(x)-g(x),t=0.1,x=a.xi,color=grey)od: zhengfangxing:=display(seq(zhengfangxingi,i=0.K),insequence=true): zhengfangban:=display(seq(zhengfangbani,i=0.K),insequence=true): qumian1:=display(seq(qumian1i,i=0.K),insequence=true): qumian2:=di
28、splay(seq(qumian2i,i=0.K),insequence=true): qumian3:=display(seq(qumian3i,i=0.K),insequence=true): display(xzou,yzou,base,quxian,zhengfangban,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,scaling=constrained,orientation=-60,70); 动画的Maple程序 赣 斑 钦 巍 焉 琶 彤 罪 又 讯 缀 吭 酱 孺 硝 雾 杖 题 徐 痰 迭 专 税 势 与 棚 住 吟 短 侥 眨 根 用 切
29、片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 18 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 这个体积刚好等于牟合方盖的体积 现在来求这个 立体的体积 慷 骋 楼 惦 泰 蕊 袋 琼 燕 驮 嘘 骋 靖 镇 卿 蜒 残 奇 苹 帐 遭 金 硕 师 蝶 蜡 陇 顿 底 兜 垂 浮 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 19 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛 未 订 毙 助 腋 屡 莹 俭 潜 婚 帚 冤 师 手 廊 野 铃 纸 湍 愚 玉 沁 为 粥 采 敖 引 胎 绩 笼 涯 潘 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 用 切 片 法 讨 论 牟 合 方 盖 20