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1、.在职研究生考试数学测试练习题微积分（ 1 ） 设 y(x) 是 微 分 方 程 y(x 1) y x 2 y e x 的 满 足 y(0)0 ， y (0)1 的 解 ， 则limy(x) x （）x 0x2（A ）等于 0.（B）等于 1.（C）等于 2.（D ）不存在 .解 limy( x) xlimy ( x) 1limy ( x)1，x22x2y (0)x 0x 0x 02将 x0代入方程，得 y (0) (x1) y (0)x2 y(0) 1 ，又 y(0)0 ，y (0)1 ，故 y 0)( 2，所以 limy(x) x1，选择 B.x2x0（ 2）设在全平面上有的条件是（）（A
2、 ） x1x2 ， y1（C） x1x2 ， y1y2y2f ( x, y) x.0 ， f ( x, y)0 ，则保证不等式 f (x1, y1 )f ( x2, y2 ) 成立y（B ） x1x2 ， y1y2 .（D ） x1x2 ， y1y2 .解 f ( x, y)0f (x, y) 关于xx 单调减少，f ( x, y)f (x, y) 关于 y 单调增加，0y当 x1 x2 ， y1y2 时， f ( x1 , y1) f ( x2 , y1)f ( x2 , y2 ) ，选择 A.（ 3）设 f (x)在 (, ) 存在二阶导数，且f ( x)f ( x) ，当 x0 时有 f
3、 (x)0 ，f (x)0 ，则当 x0 时有（）（A ） f ( x)0, f ( x)0 . （ B） f (x)0, f( x)0 .（C） f ( x)0, f ( x)0 . （ D） f (x)0, f( x)0 .解【利用数形结合】f ( x) 为奇函数， 当 x0 时， f ( x) 的图形为递减的凹曲线，当x0 时， f ( x) 的图形为递减的凸曲线，选择D.（4）设函数f (x) 连续，且f (0)0 ，则存在0 ，使得（）;.（A ）在 (0,) 内单调增加（B ）在 (,0) 内单调减少（C）对任意的 x(0,) ，有 f ( x)f (0)（D ）对任意的 x(,0
4、) ，有 f ( x)f (0)解【利用导数的定义和极限的保号性】f (0)limf ( x)f (0)0 ，x 0x由极限的的保号性，U (0, ) ，在此邻域内，f ( x)f (0)0，所以对任意的 x (,0) ，x有 f (x) f (0) ，选择 D.| x | sin( x2)f (x)1)( x 2)2(5)函数x( x在下列哪个区间内有界 .(A) (1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D)(2, 3). A【分析】如 f (x)在(a , b)limf ( x)limf (x)内连续，且极限 x a与 x b存在，则函数 f (x)在(a , b
5、) 内有界 .limf ( x)sin 3x0 , 1 , 2时， f (x)18 ，【详解】当连续，而 x1limf ( x)sin 24x 0，limsin 2lim f (x)lim f ( x)f ( x)4x 0， x1， x 2，所以，函数 f (x)在(1 ,0) 内有界，故选 (A).【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间 a , b上连续，则 f (x)在闭区间a , b 上有界；如函数f (x)limf (x)在开区间 (a , b) 内连续，且极限 xa与limf ( x)存在，则函数 f (x)在开区间 (a , b)内有界 .x b（ 6）设 f (x) 在 (,
6、+limf (x)a) 内有定义，且 x，;.g( x)f ( 1 ) , x 0x0 , x 0，则(A) x = 0 必是 g(x) 的第一类间断点 .(B) x = 0 必是 g(x) 的第二类间断点 .(C) x = 0必是 g(x) 的连续点 .(D) g(x)在点 x = 0处的连续性与 a 的取值有关 . D lim g( x)【分析】考查极限 x0是否存在，如存在，是否等于g(0) 即可，通过换u1x ，元lim g( x)limf ( x).可将极限 x0转化为 xlimg ( x) limf ( 1)lim f (u)u1【详解】因为 x 0x0xu= a( 令x ) ，又
7、 g(0) = 0，所以，lim g( x)g(0)处连续，当 a 0当 a = 0 时， x 0，即 g(x) 在点 x = 0时，lim g ( x)g(0)是 g(x) 的第一类间断点，因此， g(x) 在点 x = 0x0，即 x = 0处的连续性与 a 的取值有关，故选 (D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(7) 设 f (x) = |x(1x)| ，则(A) x = 0是 f (x)的极值点，但 (0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点 .(B) x = 0不是 f (x) 的极值点，但 (0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点 .(
8、C) x = 0是 f (x)的极值点，且 (0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点 .;.(D) x = 0不是 f (x)的极值点， (0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点 . C 【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况 .【详解】设 0 0 ，而 f (0)= 0 ，所以 x = 0 是 f (x)的极小值点 .显然， x = 0 是 f (x) 的不可导点 .当 x(, 0)时， f (x) =x(1x) ， f ( x) 20 ，当 x(0 ,
9、) 时， f (x) = x(1x)， f ( x)2 0 ，所以 (0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点 .故选 (C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断 .(8) 设有下列命题：(1)(u2n1 u2n )un收敛 .若 n 1收敛，则 n 1(2)unun 1000若 n 1收敛，则 n 1收敛 .un11unlim(3)若nun，则 n 1 发散 .(unvn )unvn(4)若 n 1收敛，则 n 1 ， n1 都收敛 .则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D
10、) (1) (4). B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4 个命题的正确性 .;.【详解】(1) 是错误的，如令 un( 1) nun(u2n 1u2n)，显然， n 1分散，而 n 1收敛 .(2) 是正确的，因为改变、 增加或减少级数的有限项， 不改变级数的收敛性 .lim un 11unun(3)是正确的，因为由nu可得到不趋向于零 (n) ，所以 n 1n发散 .(4)un1 , vn1unvn都发散，而是错误的，如令nn ，显然， n 1， n 1(unvn )n 1收敛 .故选 (B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(9) 设 f (x)
11、在 a , b 上连续，且 f ( a) 0, f (b) 0 ，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点 x0(a,b) ，使得 f (x0 ) f (a).(B)至少存在一点 x0(a,b) ，使得 f (x0 ) f (b).(C) 至少存在一点 x0 (a,b) ，使得 f ( x0 ) 0 .(D) 至少存在一点 x0(a,b) ，使得 f (x0 ) = 0. D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项 .【详解】首先，由已知f ( x) 在a , b上连续，且 f (a)0, f (b) 0 ，则由介值定理，至少存在一点 x0( a,b) ，
12、使得 f (x0 )0 ；f ( a )limf ( x)f (a )0xa另外，x a，由极限的保号性，至少存在一点x0(a,b);.f ( x0 )f (a)0同理，至少存在一点 x0 ( a,b)使得x0a，即 f ( x0 ) f (a) .使得 f (x0 )f (b) .所以， (A) (B) (C)都正确，故选 (D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.（ 10）设函数 yf ( x) 具有二阶导数，且 f ( x)0, f( x)0 ， x 为自变量 x 在点x0处的增量，y与dy 分别为 f ( x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若x 0 ，则(
13、A) 0dyy .(B)0ydy .(C)ydy 0 .(D)dyy0 . 【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由 f ( x)0, f ( x)0 知，函数 f ( x) 单调增加，曲线 yf ( x ) 凹向，作函数 yf ( x) 的图形如右图所示，显然当x0时，ydy f(x0 )dxf ( x0 )x 0 ，故应选 ( ).（ 11）设函数 fx 在 xlimf h21h20 处连续，且 h 0，则(A)f 00且 f0存在(B)f01且 f0 存在(C)f 00且 f0存 在(D)f 01且 f 0存 在 Climfh21h2(0) ，利用导数的左右导数定义判定
14、【分析】从 h 0入手计算 ff (0), f(0) 的存在性 .fh2lim f h2lim210. 又因为 f x在 x0 处连续，则【详解】由 h 0h知， h 0f (0)lim f (x)lim fh20x 0h0.;.fh2f tf (0)21 lim2limf (0)令 t h，则h 0ht 0t.所以 f(0) 存在，故本题选（ C）.an（ 12）若级数 n 1收敛，则级数(A)an（B） n 1( 1)n ann 1收敛 .收敛 .an an 1anan 1(C)(D)n 12收 敛 .n1收 敛 . 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.ananan 1an 12 收
15、敛，故应选 ( ).【详解】由 n 1收敛知 n 1收敛，所以级数 n 1或利用排除法：an( 1)n 1取n ，则可排除选项（），（）；an( 1)n 1取n ，则可排除选项（） . 故（）项正确 .（ 13）设非齐次线性微分方程yP ( x) yQ ( x ) 有两个不同的解y1 ( x), y2 ( x), C 为任意常数，则该方程的通解是（） C y1 (x)y2 (x).（） y1 ( x)C y1( x)y2 ( x) .（）C y1 ( x) y2 (x).（）y1 (x) C y1(x) y2(x) 【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于 y1 (x) y
16、2 (x) 是对应齐次线性微分方程 y P( x) y 0 的非零解，所以它的通解是 Y C y1( x) y2 ( x) ，故原方程的通解为yy1( x)Yy1 ( x)C y1( x)y2 ( x) ，故应选 ( ).;.【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：yy * Y .其中 y * 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解 .（ 14）设 f (x, y)与 ( x, y) 均为可微函数， 且 y ( x, y) 0 ，已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y ) 在约束条件( x, y) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若
17、 fx ( x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )0 .(B)若 fx ( x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )0 .(C)若 fx ( x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )0 .(D)若f x ( x0 , y0 ) 0，则f y (x0 , y0 )0. 【分析】利用拉格朗日函数 F ( x, y,) f ( x, y)( x, y ) 在 ( x0 , y0 , 0 ) （0 是对应 x0 , y0的参数 的值）取到极值的必要条件即可 .【详解】作拉格朗日函数 F ( x , y, )f ( x, y)( x, y ) ，并
18、记对应 x0 , y0 的参数的值为 0 ，则Fx ( x0 , y0 , 0 ) 0fx (x0, y0 )0 x ( x0 , y0 ) 0Fy ( x0 , y0 , 0 )0 ，即 f y ( x0 , y0 )0 y ( x0 , y0 ) 0.消去0 ，得f x ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 )f y ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 ) 0 ,f x (x0 , y0 )1f y (x0 , y0 ) x ( x0 , y0 )整理得y ( x0 , y0 ). （因为y ( x, y)0 ），若 fx(x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x
19、0 , y0 ) 0 .故选（） .线性代数（1）二次型f (x1, x2 , x3 )x124x2 24x324x1x24x1x38x2x3 的规范型是（）.;.（A ） fz12z22z32.（ B） fz12z22z3 2 .（C） fz12z22.（ D） fz12 .解二次型的规范型由它的正负惯性指数确定，122二次型的矩阵 A244，其特征多项式244122922A E2 44002 (9) ，24400故 A 的特征值为9,0,0 ，正惯性指数 p1，负惯性指数 q0，选择 D.12k（2）设 A1k11， B 是三阶非零矩阵，且ABO ，则（） .k21（A ）当 k1时， r
20、 (B)1.（ B）当 k3时， r (B) 1.（C）当 k1时， r ( B)2 .（D ）当 k2 时， r ( B) 2 .解 B Or ( B)1 ， AB Or (A)r ( B) 3r ( B) 3 r ( A) ，1 r (B)3 r ( A) .当 k 1时， r ( A)1， 1r (B)2 ，排除 A ， C，122033当 k2 时， A111 111， r ( A)3 ， 1 r (B)0 ，矛盾，221003排除 D ，选择 B.(3) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价 , 则必有(A)当 | A |a( a0) 时 , | B | a . (B)当 | A |a(
21、 a 0) 时,| B |a .(C)当 | A |0时 , | B | 0 .(D)当 | A | 0时 ,| B | 0 . D 【分析】利用矩阵 A 与 B 等价的充要条件 : r ( A)r ( B) 立即可得 .;.【详解】因为当| A | 0 时 ,r ( A) n ,又 A 与 B 等价 , 故 r ( B) n ,即| B |0 ,故选 (D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查 ,属基本题型 .(4)设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0, 若 1, 2, 3,4是非齐次线性方程组 Axb 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax0 的基础解系(A)不存在 .(B)仅含
22、一个非零解向量 .(C)含有两个线性无关的解向量 . (D)含有三个线性无关的解向量 . B 【分析】要确定基础解系含向量的个数,实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩 .【详解】因为基础解系含向量的个数=nr ( A) , 而且n,r ( A)n,r ( A* ) 1, r ( A)n 1,0,r (A)n1.根据已知条件A*0, 于是 r ( A) 等于 n 或 n1 . 又 Axb 有互不相等的解 ,即解不惟一 ,故 r ( A)n 1. 从而基础解系仅含一个解向量 , 即选 (B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵A* 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.3
23、00000（ 5）设(1,1,1)T ,(1,0, k)T ，若矩阵T相似于 000，则 k.【答案】 2.300000T00T【解析】相似于 0，根据相似矩阵有相同的特征值， 得到的特征值为3，0，0. 而TT0 0 ， k2 .为矩阵的对角元素之和， 1k3;.（ 6）设 1, 2 , s 均为 n 维列向量， A 为 mn 矩阵，下列选项正确的是(A) 若1 ,2 ,s 线性相关，则 A 1 , A 2 , A s 线性相关 .(B) 若1 ,2 ,s 线性相关，则 A 1 , A 2 , A s 线性无关 .(C)若1 ,2 ,s 线性无关，则 A 1, A 2 , A s 线性相关
24、.(D)若1 ,2 ,s 线 性 无 关 ， 则A 1, A 2 , A s 线 性 无 关 .A 【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记 B( 1 ,2 ,s ) ，则 ( A 1 , A 2 , A s ) AB .所以，若向量组1 ,2 ,s 线性相关，则 r ( B)s ，从而 r ( AB )r ( B) s ，向量组 A 1, A 2 , A s 也线性相关，故应选 ( ).（ 7）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1 倍加110P010到第 2 列得 C ，记001，则（） CP 1
25、AP .（） CPAP 1.（） CPT AP .（） CPAP T.【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110B 010A,C B 010010A 010001001001001，1 1 0 P 1 0 1 0而 0 0 1 ，则有 C PAP 1 . 故应选（） .;.概率论（ 1 ）设随机变量X 与 Y 分别服从N（1，2）和 N（1，2），且 X 与 Y 不相关， k1 XY 与X k2Y 也不相关，则（） .（A ） k1k20 .（ B） k1k20 .（C） k1k20 .（ D） k1k20 .解 X 与 Y 不
26、相关Cov ( X , Y)0，k1X Y 与 Xk2Y 不相关Cov (k1 XY, Xk2Y )k1Cov( X , X )k1k2 Cov( X ,Y ) Cov (Y, X ) k2Cov (Y,Y)k1DX k2 DY2k12k20k1 k20 ，选择 A.（2）设 X1 , X 2 , X n( n2) 为来自总体 N (0,1) 的简单随机样本，X 为样本均值， S2为样本方差，则（）（A ） nX N (0,1) .（ B） nS2 2 (n) .(n1) X t (n1) .（ D）(n1)X2 F (1,n 1) .（C）Sn12Xii2解 D (nX )n2 D ( X
27、)n21n ，排除 A ，n(n 1)S2(n1)S22(n1) ，排除 B，2Xn 1 X，排除 C，选择 D.S / n 1 t(n 1)S(3) 设 X1 ， X 2 , ,2X n 来自二 分布 体 B(n, p) 的 随机 本， X 和 S 分 本均 和 本方差， 量TX S2， ET.【答案】 np2【解析】由ETE ( X S2 )EXES 2np np (1p) np 2.;.（ 4）设随机变量 X 服从正态分布 N ( 1 ,12 ) ， Y 服从正态分布 N (2 , 22 ) ，且P X11P Y21则必有(A)12 (B)12(C)12(D)12 A 【分析】利用标准正
28、态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得X11Y21PP1122 ，212111112 .则12，即1其中( x) 是标准正态分布的分布函数 .11又 ( x) 是单调不减函数，则12 ，即12 .故选 (A).(5)设 随机 变量 X 服 从 正态 分布 N (0,1) ,对 给定 的 ( 0,1) , 数 u 满足P Xu,若 P| X | x, 则 x 等于uuu 1u1 .(A)2 .(B)1(C)2 .(D)2 . C 【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由 P| X |x, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得1P Xx2 . 故正确答案为 (C).【评注】本题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数概念的考;.