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1、第三讲,1.3.4系统的因果性和稳定性 1.4时域离散系统的输入输出描述 -线性常系数差分方程,要点,LSI系统因果稳定性定义及判断方法 时域离散系统的输入输出描述及求解方法 线性常系数差分方程、初始条件与系统特性之间的关系,1.3.4系统的因果性和稳定性,因果系统(causality system) 若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。,LSI系统是因果系统的充要条件：,满足上式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位取样响应必然是因果序列。因果性系统的条件从概念上也容易理解，因为单位取样响应是输入为(n)的零状态响应，
2、在n=0时刻以前即n0时，没有加入信号，输出只能等于零， 注：关于此条件的严格证明可参考程佩青数字信号处理教程,1.3.4系统的因果性和稳定性,如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。非因果模拟系统是不可实现的系统。非因果数字系统是可以近似实现的系统。,1.3.4系统的因果性和稳定性,一个非因果数字系统地实现,1.3.4系统的因果性和稳定性,实际系统一般是因果系统 对图象、已记录数据处理以及做平滑处理的系统不是因果系统 在判断时必须把输入信号的影响与系统中定义的其他函数区分开来， 如y(n)=
3、x(n)sin(n+2)是因果系统 在判断时必须考虑全部时间变量 如 y(n)=x(n-k) 是有条件因果系统,1.3.4系统的因果性和稳定性,稳定系统(stability system) 稳定系统是有界输入产生有界输出的系统 数学描述：若,LSI系统是稳定系统的充要条件：,则,LSI系统是稳定系统的充要条件,证明 先证明充分性。即若h(n)满足绝对可和条件,则输入有界输出必有界。,因为输入序列x(n)有界，即 |x(n)|B,-n B为任意常数,则有,下面用反证法证明其必要性。如果h(n)不满足 那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：,x(n)=,令n=0,说明输入 有界
4、,结论： 因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果序列，且是绝对可和的，即：,例1.3.6设线性时不变系统的单位取样响应 式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。,只有当|a|1时,有条件稳定,例1.3.7 设系统的)单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。 y(n)=x(n)*h(n)= 因为当n-k0时，u(n-k)=0；n-k0时，u(n-k)=1，因此，求和限为kn，所以,(1.3.15),分析该系统的稳定性：,单位取样响应h(n)=u(n)代表的系统为因果非稳定系统,1.4时域离散系统的输入输出描述-线性常系数差分方程,
5、描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，这种方法称为输入输出描述法。对于模拟系统，我们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系。对于时域离散系统，则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。,一、系统的时域描述,（1）单位冲击响应h(n) （2）差分方程,求解条件：N个初始值和M各输入序列,二、常系数线性差分方程,一个N阶常系数线性差分方程表示为：,其中：,* 差分方程的阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号之差 ，如 N=N-0. 线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项。,求解常系数线性差分方程的方法：
6、 1）经典解法 2）递推解法 3）变换域方法,对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。 对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向n0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是否是线性时不变因果稳定，还需要用初始条件进行限制。,差分方程与系统的关系,例1：已知常系数线性差分方程 （1）若边界条件 求其单位抽样响应。 （2）若边界条件 求其单位抽样响应，并判断是否为线性时不变系统。,对应一个因果系统,判断是否为线性时不变系统,1.一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统
7、，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。 2.我们以后讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。,注意：,作业,1-4 ； 1-5 （1）（3）（5）（7） 1-6 （1）（3）（5）； 1-7 1-8,下一讲内容及要点,要点： 抽样过程如何实现，时域如何描述？频域如何描述？ 奈奎斯特抽样定理的意义? 由时域离散信号恢复模拟信号的过程称为内插恢复过程，该过程如何实现，时域如何描述？频域如何描述？,解：,1. 已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位抽样响应为h(n)，试求系统的输出y(n)，并画图。,2 已知一个线性时不变系统的单
8、位抽样响应 除区间 之外皆为零；又已知输入 除区间 之外皆为零；设输出 除区间 之外皆为零，试以 和 表示和 。,本题的目的旨在解释当参与卷积的两序列为有限长时，如何确定卷积和的非零区间。,解：,对线性移不变系统，有,对 ，非零值的区间为,对 ，非零值区间为,得输出 的非零值区间,3. 判断以下系统是否是（1）线性（2）移不变（3）因果（4）稳定的？,满足叠加原理,是线性系统,不是移不变系统,因为系统的输出只取决于当前输入，与未来输入无关。所以是因果系统,若 有界,当 时，输出有界，系统为稳定系统,当 时，输出无界，系统为不稳定系统,满足叠加原理,是线性系统,是移变系统,当 时，输出只取决于当前输入和以前 的输入,而当 时，输出还取决于未来输入,是非因果系统,当 时，,是不稳定系统,