《高斯公式与斯托克斯公式——习题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高斯公式与斯托克斯公式——习题.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 1 3 高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式 1应用高斯公式计算下列曲面积分： （1）+ S xydxdyzxdzdxyzdydz，其中 S 是单位球面1 222 =+zyx的外侧； （2）+ S dxdyzdzdxydydzx 222 ，其中 S 是立方体azyx,0表面的外侧； （3）+ S dxdyzdzdxydydzx 222 ，其中 S 是锥面 222 zyx=+与平面 z=h 所围空 间区域)0(hz 的表面，方向取外侧； （4）+ S dxdyzdzdxydydzx 333 ，其中 S 是单位球面1 222 =+zyx的外侧； （5）+ S zdxdyydzdxxdyd
2、z，其中 S 是单位球面 222 yxaz+=的外侧 解： （1）00=+ VS dxdydzxydxdyzxdzdxyzdydz （2）+ S dxdyzdzdxydydzx 222 +=+= aaa V dzzyxdydxdxdydzzyx 000 )(2)(2 4 0 32 0 2 0 3)(2 2 )(2adxaxady a ayxdx aaa =+=+= （3） +=+ VS dxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx)( 222 ，由柱面坐标变换 hzrhrzzryrx=,0 ,20 ,sin,cos 原式 4 0 2 0 2 )sincos(2hrdzzrrdrd h r
3、h =+= （4）dxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx VS )( 222333 +=+ 2 1 4 0 0 0 12 3sin 5 ddrdr = （5）原式 3 23) 111 (adxdydzdxdydz VV =+= 2应用高斯公式计算三重积分+ V dxdydzzxyzxy)(，其中 V 由10 , 0, 0zyx与 1 22 + yx所确定的空间区域。 解：原式dxdyzzdzdxyydydzx S 222 ( 2 1 += 2 += zxxyyz DDD xdxdyzdzdxxydydzy)1 ()1 ( 2 1 22 += 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0
4、 2 1 0 2 )1 ()1 ( 2 1 x dyxdxzdzxdxydzydy 24 11 1)1 ( 2 1 )1 ( 2 1 1 0 2 1 0 2 1 0 2 =+= dxxxdxxydyy 3应用斯托克斯公式计算下列曲线积分： （1）dzyxdyzxdxzy L )()()( 222222 + ， 其中 L 为1=+zyx与三坐标面的交线， 它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； （2）zdzdydxyx L + 32 ，其中 L 为 22 1, zyxy+=所交的椭圆的正向. (3) dzxydyzxdxyz L )()()(+ ，其中 L 为以), 0 , 0(),0 , 0
5、(),0 , 0 ,(aCaBaA为顶点 的三角形沿 ABCA 的方向. 解：(1)记 L 为曲面 S:) 1, 0, 0(1+=yxyxyxz的边界，由斯托克斯公式知 原式 += S dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(2，且 dyyyydzzydydydzzy y S )1 ( 2 1 )1 ()()( 1 0 2 1 0 1 0 = 0) 2 1 2 3 2( 1 0 2 =dyyy 同理0)()(= SS dxdyyxdzdxxz，故原积分=0 (2) 视 L 为该椭圆的边界，则 原式=dxdyyxdxdyyxdzdxdydz SS =+ 2222 3)30(00 由于曲面
6、) 1(: 22 +=zyyxS上任一点),(zyx处的法向量)cos,cos,(cos=n中的 0cos=，从而由定义知= S dxdyyx0 22 ，因此，原式=0. (3) dzxydyzxdxyz L )()()(+ += S dxdydzdxdydz) 11 () 11 () 11 ( 2222 3) 2 1 2 1 2 1 (22aaaadxdydzdxdydz S =+=+= 4求下列全微分的原函数: (1) xydzxzdyyzdx+; (2) dzxyzdyxzydxyzx)2()2()2( 222 + 3 解：(1) 因xydzxzdyyzdxxyzd+=)(,故原函数为:
7、cxyzzyxu+=),( (2) 由于dzxyzdyxzydxyzxxyzzyxd)2()2()2(2)( 3 1 222333 +=+，故原函 数为Cxyzzyxzyxu+=2)( 3 1 ),( 333 5验证下列线积分与路线无关,并计算其值： (1) + )4, 3 , 2( )1 , 1 , 1( 32 dzzdyyxdx; (2) + + ),( ),(222 222 111 zyx zyx zyx zdzydyxdx ，其中),(),( 222111 zyxzyx在球面 2222 azyx=+上. 解： (1) 因在 2 R内有dzzdyyxdxzyxd 32432 ) 4 1
8、3 1 2 1 (+=+， 所给曲线积分与路线无关， 从而 原积分 12 7 53 4 1 3 3 1 2 2 1 =+= dzzdyyxdx (2) 在球面内有 222 222 )( zyx zdzydyxdx zyxd + + =+，所给曲线积分与路线无关，且 原式 + + + + + = 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 z z y y x x zyx zdz zyx ydy zyx xdx 0 1 222 2 2 2 1 22 1 2 2 2 1 22 1 2 1 2 =+= z z zyx y y zyx x x zyx 6证明：由曲面
9、 S 所包围的立体 V 的体积V为 += S dSzyxV)coscoscos( 3 1 ， 其中cos,cos,cos为曲面 S 的外法线方向余弦 证：因为 +=+ SS zdxdyydzdxxdydzdSzyx)coscoscos( Vxdydzddxdydzz z y y x x VV 33)(= + + = 故原公式成立. 7证明：若 S 为封闭曲面,l为任何固定方向，则= S dSln0),cos(，其中n为曲面 S 的外法 线方向. 证：设n和l的方向余弦分别是cos,cos,cos和 / cos,cos,cos，则 / coscoscoscoscoscos),.cos(+=ln
10、由一.二型曲面积分之间的关系可得 4 = S dSln),cos(dS S )coscoscoscoscoscos( / + / coscoscos. S dydzdzdxdxdy=+ ? 由l的方向固定， / cos,cos,cos=RQP都是常数，故0= + + z R y Q x P ，由奥 高公式得 原式 S PdydzQdzdxRdxdy=+ ? 0)(= + + =dxdydz z R y Q x P V 8证明公式： 1 cos( , ) 2 VS dxdydz r n dS r = ? ，其中 s 是包围 V 的曲面，n 是 S 的外法线方 向, 222 , ( , , )rx
11、yzrx y z=+= 证：因为),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(znzrynyrxnxrnr+=，而 r z zr r y yr r x xr=),cos(,),cos(,),cos(，则由第一、二型曲面积分的关系及奥高公式可得 += SS dsznzynyxnx r dsnr),cos(),cos(),cos( 1 ),cos( dxdydz r z zr y yr x x dxdy r z dzdx r y dydz r x VS )()()( + + =+= 外 dxdydz r V = 1 2 故公式成立. 9若 L 是平面0coscoscos=+pzyx上的闭曲线，它所包围区域的面积为 S，求 L zyx dzdydx coscoscos 其中 L 依正向进行. 解：因coscos,coscos,coscosxyRzxQyP=，故由斯托克斯公式 及第一、二型曲面积分之间的关系得 原式 += = DS dxdydzdxdydz RQP zyx dxdydzdxdydz coscoscos2 222 2(coscoscos)2 D dSS=+=