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1、第十讲,列联表,第一节 概念, ,1、研究内容 1）研究两定类变量的关系 2）为研究y的分类是否与x之分类有关，将 数据先按x分类，再分别统计x分类情况下y 的分类。 3）按两个定类变量进行交叉分类的频次分 配表，即二维列联表。,4、列联表的一般形式,Nij：x=xi y=yj时所具有的频次,y,x,y1 y2,x1 N11 N12,x2 N21 N22,. . .,. . .,. . .,xc Nc1 Nc2,. . .,. . .,. . .,. . .,yr,N1r,N2r,.,.,.,Ncr,学生上网调查 (统计各项比例，能发现什么问题？）,男生,女生,聊天 玩游戏 网恋 学习,20
2、50 15 15,20 50 15 15,Nij,后者可以通过前者求出 p N ,N, p 1,i 1 j 1,2、列联表中变量的分布, ,1）联合分布 对于二变量来说，为了知道分布，集合中的变量值，必须同时具有x和y 两个变量的取值。 （ x1 y1 N11） （ x2 y2 N12）,（ x1 yr,N1r）,此称联合分布, ,（ xi yj Nij） （ xc yr Ncr）,Nij,表示频次时,联合频次分布表,Pij 表示概率时 联合概率分布表, ,ij,Nij,c r i 1 j 1,c r,ij, ,2）边缘分布： 对联合分布进行简比，只研究其中某一 变量的分布，而不管另一变量的取
3、值， 这样就得到边缘分布。 按行加总y的边缘分布： P y yr P1r P2 r Pcr Pr 按列加总x的边缘分布： Px xc Pc1 P2c Pcr Pc, ,3）条件分布： 将其中一个变量控制起来取固定值，再看另 一变量的分布，即条件分布。 控制x时，条件分布中的每一项都以边缘分布 的 N1* N 2* N c* 为分母 控制y时，条件分布中的每一项都以边缘分布 的 N *1 N *2 N *r 为分母,3、列联表中的相互独立性：, ,1）列联表研究定类变量之间的关系，实际上 是通过条件分布的比较进行的。 如果两个变量之间没有关系，则称变量之间 是相互独立的。 2）如果两个变量之间是
4、相互独立的，则必然 存在变量的条件分布与其边缘分布相同 。,条件分布=边缘分布是列联表检验的基础：,（控制x时）,N* j N,N N i*,Nij N,N* j N,Nij Ni*,N*1 N,N 21 N 2*,N11 N1*,Pij Pi*P* j, ,ni,n j,Pi ,第二节 列联表的检验, ,一、原假设： 将总体中变量间无关系或相互独立作为检验,的原假设。 H 0 : pij,pi* p* j,总体 pi* 和 p* j 未知时，用样本 p i 和 P j 代 替。 P j n n,2 2 c r 2 2 ij,E,ij,ni* n* j n,E np,* j ij,统计量的讨论
5、,1、对于22列联表，由于格数过少，为,减少作为离散观测值与作为连续型变量x 值之间的偏差，可作连续性修正： 2 2 2 2 Eij 2、二项总体 2 2 2 E1 E2 p0 为总体成数 1 2,男女休闲爱好, ,x,ni Ei ,x r 1,4、使用统计量 x 对列联表迚行检验，每一格值的 E,值时 nij Eij 值的波劢就会较大。,2,那么在计算,3、对多项总体：, ,Ei,2,统计量： r 2 i 1,2,p,E,i,i 0, n,ij,2 要保持在一定数目乊上。如果有的格值 Eij 过小， 2 x Eij,每格要求：,处理方法：将期望值偏小的格值合并。 右例，做检验。,Eij,20
6、 30 3 1,nij,18,29,4,2,E ij 5,注意： 列联表就其检验内容来看是双边检验，但从 形式上看，却又很像单边检验。其判断的内 容仅是变量间是否存在关系。至于方向，由 于列联表属定类变量，因此是不存在的。,ni Ei , ,x,E,i 1,x r 1,列联表检验步骤, ,1、 H,0,H,1,i,2,2,2、统计量： r 2 3、 4、比较,例：以下是老、中、青三代对某影片的抽 样，能否认为三代人对该影片评价有显 著差异,老,中,青,很高 一般,45 47,39 26,21 22,第三节 列联强度, ,一、变量间的相关 1、列联表中的频次分布情况，不仅是检验是否存 在关系的依
7、据，同时也是度量变量间关系强弱的依 据。相关性程度越高，说明社会现象与社会现象间 的关系愈密切。 2、列联表中变量间的关系的强度分析，可以将频 次转化为条件分布，然后比较自变量取不同值时， 因变量条件分布的不同。,例,右表中，男生上网玩游,生；,想一想，当x取值大于2,时，怎样比较？,戏的比例高于女生；而 上网聊天的比例低于女 y x,男生,女生,聊天,玩游戏 40 67% 10 25%,30 33% 30 75%,即：ad bc, ,二、 2 2表 系数和系数,列联表中两个变量都只有二种取值时，就是 22表 y,x,a c,b d,x1,x,2,y1 y2 ,当变量间无关系时（独立） a b
8、 a c b d 对于22表，无论 系数或系数，都以差值 ad bc 为基础进行的讨论，同时，也把关系强度的取值范围定义 在1，1之间。, ,1、 系数,ad bc a bc d a cb d , , 0 当两变量相互独立 1 b、c为零， 值最大1 a、d为零， 值最小-1 1 一般情况 前例中计算,Q , ,2、系数 ad - bc ad bc 当a、b、c、d中有一个是零时，则 Q 1 对应的实际情况是配对样本研究 3、 、Q 系数的选择 当自变量的不同取值都会影响因变量 时，用 系数。当存在控制组时，用 系数,x,x 值构成 系数, ,4、r c 列联表 2 2 2 Eij 期望频次
9、Eij 是基于无相关前提下计量出来的，,2 因 愈大，表示变量间距离无相关性愈远。 2 x2 n 其与22表中 系数是一致，22表中是 r c 表中 系数的特例。,x, n,c值在0，1但永远小于1，又出现了v系,数：,由于r c 表的数增多后， 值增加，没 有上限，无法比较，因此以c系数修正。,x,c ,2,2,2 minr 1, c 1,V , 1,V 的取值：o V,表示所减少的相对误差，越大表示y与x关,2）以减少误差比例为基础的相关性测量, ,PRE不受变量层次的限制，通过现象之间的关 系研究，从一个现象预测另一个现象。 PRE E1 E 2 E1 E1 ：不知y与x有关系时，预测y
10、的全部误差, E 2 ：知道y与x有关系后，用x去预测y的全部误 差,E1 E2 E1 系越密切。,误差为： jnn max,为 nn max, ,E,PRE的取值范围： PRE=0：两变量是无相关（知道x与否无 助于y的预测，1 E 2 误差不变） PRE=1：两变量是完全相关的（知道x与y 有关系后，可以消除预测的全部误差） 0 PRE 1：其他 E1 ：不知y与x 有关，用y的边缘和 n的最 大值去猜y值，猜中的频次会更多。全部 E 2 ：知道有关后，先看它属于x的哪一 类，然后用这一类的众值去猜y值，误差 c ij i 1, j, max n max n,n max n ,两种系数：,
11、 , ,* j,ij * j,c i 1,1） 系数 E1 E2 E1 即：,每列最高频次之和 y边缘和中最高频次,观察总数 y边缘和中最高频次 的取值范围： x与y无相关： 0 ；x与y全相关： 1,PRE，所得 值称作 y ，,N,D,PRE，所得 值称作 x，, N,D,Dy Dx , D D y D D x, , 值的非对称性：,1）以x为自变量，用对y的预测来定义 y y y 2）以y为自变量，用对x的预测来定义 x x x 3）如果x和y孰因孰果不明显的情况，这 时可同时计算 y 和 x ，并取其平均 值，作为x和y间的相关程度。,x x,N y N Dy D, y x y x ,
12、 ,边缘分布所提供的信息。c r,n 1, n, E,n,n, E,i 1 j 1 j 1,1,n n,E,n,系数又有修正：, , 系数： 对 E1 和 E 2 的定义比,当不知道x与y有关系预测y时，充分考虑到y值 2 r ij 2 * j 1 2 i* r 2 1 * j j 1 的取值范围： x与y无相关： 0（边缘分布与条件分布相同） x与y全相关： 1（各行、各列均只有一个不为 0的频次）,以前例为参照的推导：,1、不知x与y有关：,猜游戏与聊天：用边缘分布：40%，60%,随机指派40人，猜对游戏的人数4040/100=16 猜错的人数40-4040/100=40（1-40/10
13、0）=24,同理：,随机指派60人，猜对聊天的人数6060/100=36 猜错的人数60-6060/100=60（1-60/100）=24,j1 n * j, ,E1即为猜错人数之和。 推广：,1 r 2 n, n ,n*2 n,) n*2 (1 ,n*1 n,E1 n*1 (1 ,) n*r (,知道x与y有关后：用y的条件分布来猜y值,当x=男生时 随机10人，猜对聊天的人数：1010/50 猜错的人数：10-1010/50 随机40人，猜对游戏的人数：4040/50 猜错的人数：40-4040/50 猜错二者相加：=（10-1010/50）+（40-4040/50） =50-1/50 （102 +402 ） 同理：当x=女生时？,j1,E2即为全部误差之和。,推广：,1 r n1* n 2 ij n i*,E 2 (n1* n ,n 21j ) (n 2* ) c,值称 y,以x为自变量，用对y的预测来定义PRE， 所得, 值的非对称性：, 以y为自变量，用对x的预测来定义PRE， 所得 y 与 x 是不对称的，因此 是非对称 的。,例：,值, 已知列联表，求,y,x,30,120,150,30 60,20 140,50 200,x1,x,2,y1,2,y ,a 0.025,