阶系统的时域分析.ppt

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1、第三章 线性系统时域分析法,3-2 一阶系统的时域分析,1. 一阶系统的时域分析 2. 一阶系统的单位阶跃响应 3. 一阶系统的单位脉冲响应 4. 一阶系统的单位斜坡响应 5. 一阶系统的单位加速度响应,(1)、通过对一阶系统的分析，掌握如何应用时域指标的概念来计算上述五个动态指标。 (2)、通过一阶系统在三个典型信号（阶跃、斜坡、加速度）的响应，引出系统对信号的跟踪概念（稳态误差）重点分析阶跃、斜坡信号作用于一阶系统时的响应，误差表达式、稳态误差。,32一阶系统的时域分析,1、一阶系统的数学模型,图3-2 一阶控制系统,如RC电路C(t)为输出电压， r(t)为输入电压，C(0)=0,一阶系

2、统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。,其中，TRC为时间常数；取拉氏变换,(3-2),则一阶系统的传递函数为：,(3-3),(a),(b),3-2 一阶系统的时域分析,1. 一阶系统的时域分析 2. 一阶系统的单位阶跃响应 3. 一阶系统的单位脉冲响应 4. 一阶系统的单位斜坡响应 5. 一阶系统的单位加速度响应,2、一阶系统的单位阶跃响应,设输入信号为单位阶跃输入,于是,单位阶跃响应h(t)为 ：,h(t)=1e-t/T ， t0,(3-4),注意：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定

3、常系统。, 可以时间常数T度量系统输出量的数值。 当t=0，h(0)=0；当 t ， h()=1。 如：当t=T，h(T)=0.632； t=2T，h(2T)=0.865 t=3T，h(3T)=0.95,一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，具备如下两个特点：,图3-3 一阶系统的单位阶跃响应曲线,一阶系统响应曲线在t=0时的斜率为1/T； 其斜率随时间下降，当t时，动态过程结束， 但工程上习惯取t=(3-5)T，认为过渡过程结束。 T反映了系统的响应速度。,一阶系统的响应曲线斜率,t=0时，,t=T时，,t=时，,根据动态指标定义，求一阶系统的动态性能指标 a.求延迟时间td： 因为h()=1

4、，由td的定义，当t=td时，h(td)=0.5 代入一阶系统阶跃响应表达式，,b.求上升时间tr 由上升时间的定义，分别求出h(t1)=0.1；h(t2)=0.9 得：t1=0.1T；t2=2.3T 所以：tr=t2t1=2.2T,c.同理可求出ts=3T（误差范围：5%） d.一阶系统没有超调，所以不需要求tp和%。,讨论：动态指标与时间常数T有关，T越小，其响应过 程越快，即惯性越小，一阶系统又称为“惯性系统”。,稳态性能指标: 一阶惯性系统的单位阶跃响没有静态误差,3-2 一阶系统的时域分析,1. 一阶系统的时域分析 2. 一阶系统的单位阶跃响应 3. 一阶系统的单位脉冲响应 4. 一

5、阶系统的单位斜坡响应 5. 一阶系统的单位加速度响应,3、一阶系统单位脉冲响应,当输入为单位脉冲函r(t)=(t)， 求其脉冲响应。,因为R(s)=1，则系统的输出为：,(3-5),一阶系统的脉冲响应为一单调下降指数曲线，其衰减到初始值5%所需时间仍为ts=3T。 故系统的惯性越小，响应过程的快速性越好。,响应曲线的各处斜率为：,备注：在初始条件为零的情况下，一阶系统的单位脉 冲响应与系统闭环传递函数包含了相同的动态信息。 这一特点同样适用于其他各阶线性定常系统。 因此，工程上常用测量系统的单位脉冲响应，来 求出被测系统的传递函数。 工程上无法得到理想单位脉冲函数，一般用具有 一定脉宽b和有限

6、幅度的矩形脉动函数来代替。一般 要求b0.1T。,3-2 一阶系统的时域分析,1. 一阶系统的时域分析 2. 一阶系统的单位阶跃响应 3. 一阶系统的单位脉冲响应 4. 一阶系统的单位斜坡响应 5. 一阶系统的单位加速度响应,4、一阶系统的单位斜坡响应,当输入为单位斜坡函数 r(t)=t，,单位斜坡响应为：,讨论： (1). 斜坡响应有二部分： 稳态分量：tT响应曲线比输入曲线延迟T 瞬态分量：随时间的增加而减小。,(3-6),误差与时间常数T有关，惯性T越小，系统的速度跟踪误差越小，精度越高。,(2). 输出误差,当t=0时，e(0)=0；t时，e()=T,一阶系统时域分析,单 位 脉 冲

7、响 应,单位阶跃响应,h(t)=1-e-t/T,h(0)=1/T,h(T)=0.632h(),h(3T)=0.95h(),h(2T)=0.865h(),h(4T)=0.982h(),单位斜坡响应,T,c(t)=t-T+Te-t/T,r(t)= (t) r(t)= 1(t) r(t)= t,小结:,等价对应关系表明： 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。此特征适用于任何阶线性定常系统。因此，研究线性定常系统的时间响应,只用一种典型输入信号进行研究即可。,5、一阶系统单位加速度

8、响应,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。,一阶系统暂态响应小结,1. 对于单位阶跃响应，当t时，系统的稳态误差 e(t) 0,说明一阶系统能跟踪单位阶跃输入。 2. 对于单位斜坡响应，当t时，系统的稳态误差 e(t) T，说明一阶系统在单位斜坡信号作用下，存在一个跟踪误差，而且T越小，误差越小。 3. 一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪， t时，e(t) 。 4. 一阶系统的快速性和稳态误差都与T的大小有关系。,33 二阶系统的时域分析,1. 二阶系统的数学模型 2. 二阶系统的单位阶跃响应 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 4

9、. 过阻尼二阶系统的动态过程分析 5. 二阶系统的单位斜坡响应 6. 二阶系统性能的改善 7. 非零初始条件下二阶系统的响应过程,什么是二阶系统？凡以二阶微分方程作为运动方 程的控制系统，即为二阶系统。 研究二阶系统的意义: 1. 二阶系统的典型应用极为普遍 2. 不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系 统特性来表征。,本节主要内容： 一、继续讲二阶系统的时域分析中的几种工作状态。 二、二阶系统的性能改善，关键是改变了阻尼比和振荡频率。 三、介绍主导极点的概念。,1. 二阶系统的数学模型模型,(1). 开环传递函数,(2). 闭环传递函数,注意模型中的二个重要参数: : 阻尼比 n: 自然频

10、率或称为无阻尼振荡频率,(3-11),将闭环传递函数进行因式分解：,式中，p1、p2是闭环传递函数的极点，即为特征方程的特征根。,求特征方程的特征根：,33 二阶系统的时域分析,1. 二阶系统的数学模型 2. 二阶系统的单位阶跃响应 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 4. 过阻尼二阶系统的动态过程分析 5. 二阶系统的单位斜坡响应 6. 二阶系统性能的改善 7. 非零初始条件下二阶系统的响应过程,2. 二阶系统的单位阶跃响应,当输入r(t)=1(t)时，R(s)=1 /s ，所以二阶系统的单 位阶跃响应为,取拉氏反变换，求时域响应,、n 三者之间的关系：,特征根的形式与 值有关，分别讨论如下

11、：,(1). 当=0时，特征根是一对虚数根 s1、2=jn ； (2). 当01时，特征根是两个不相等的负实数根；,系统将具有一对纯虚数极点，此时称系统处于无阻尼状态，系统的阶跃响应将是等幅振荡，并且将称为无阻尼自然振荡角频率，或简称为无阻尼自然振荡频率。,响应的形式与 值的关系，讨论如下： (1). =0（零阻尼）,s1、2=jn,系统具有一对实部为负的共轭复数极点，系统的阶跃响应是振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，此时称系统处于欠阻尼状态。,(2). 0 1 (欠阻尼),系统具有两重实极点，于是系统阶跃响应中没有周期分量，阶跃响应将随时间按指数函数规律而单调衰减。此时称系统处于临界阻

12、尼情况。,(3). = 1 (临界阻尼),s1、2=n,系统具有不相等的两个实极点，系统的阶跃响应还是随时间按指数函数规律而单调衰减，只是衰减的快慢主要由靠近虚轴的那个实极点决定。此时称系统处于过阻尼情况。,(4). 1 (过阻尼）, -1（右半平面有相异正实根）时系统响应, 0 -1（右半平面有带正实根的共轭虚根）时系统响应,分别研究欠阻尼、临界阻尼、过阻尼二阶系统的单位阶 跃响应：,(1)、欠阻尼(01)二阶系统的单位阶跃响应,：衰减系数；d：为阻尼振荡频率。,对于单位阶跃输入，C(s)可以写成,暂态振荡频率为阻尼振荡频率 ，它是随阻尼比 而变化的。,取拉氏反变换，求单位阶跃响应：,这是一

13、条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为n由系统本身的结构参数确定，故称为无阻尼振荡频率。,(2)、临界阻尼 (=1)二阶系统的单位阶跃响应,如果C(s)/R(s)的两个极点接近相等，则系统可近似看作临界阻尼系统。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因而C(s)可表示为：,其拉氏反变换为：,当=1时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的,无超调单调上升过程，,(3)、过阻尼 (1 )二阶系统的单位阶跃响应,这种情况下，C(s)/R(s)的两个极点是两个不等的负实数。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因此C(s)可以写成,其拉氏反变换为：,(3-17), 系统的响应h(t)包含着两

14、个衰减的指数项。当 远大于1时，在两个衰减的指数项中，一个比另一个衰减的要快得多，因此衰减得比较快的指数项（相应于较小时间常数的指数项），就可以忽略不计。,二 阶 系 统 单 位 阶 跃 响 应 曲 线,由图：临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度最快； 在欠阻尼(01)响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升时间最短，通常取=0.40.8为宜，此时超调量适度，调节时间较短；若二阶系统具有相同的和不同的n，则其振荡特性相同但响应速度不同，n越大，响应速度越快。,33 二阶系统的时域分析,1. 二阶系统的数学模型 2. 二阶系统的单位阶跃响应 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 4. 过阻尼二

15、阶系统的动态过程分析 5. 二阶系统的单位斜坡响应 6. 二阶系统性能的改善 7. 非零初始条件下二阶系统的响应过程,当系统为欠阻尼情况下，即0 1时，二阶系统阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量 的计算公式：,上升时间tr,峰值时间tp,由上式可见，如欲减小tr ，当 一定时，需增大 ，反之，若 一定时，则需减小 。,3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析,图3-11 欠阻尼二阶系统的特征参量,3-3二阶系统的时域分析单位阶跃响应,最大超调量p,调整时间ts,当00.8时,当采用2%允许误差时,当采用5%允许误差时,二阶系统单位阶跃响应定性分析,01,1,0,1,3-3二阶系统的时域

16、分析脉冲响应,三、二阶系统的脉冲响应,二阶系统的单位脉冲响应C(s)为,该方程的拉普拉斯反变换，就是时域响应解c(t)，当01时，,当1时,当1时,3-3二阶系统的时域分析单位斜坡响应,当输入信号r(t)=t时，,3-3二阶系统的时域分析单位斜坡响应,由上分析，二阶系统可以跟踪单位斜坡输入，但有误差。 误差响应：,3-3二阶系统的时域分析举例,例：图示系统中 ， 弧度/秒。当系统受到单位阶跃输入信号作用时，试求上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量p和调整时间ts。,解：根据给定的 和 值，可以求得 和 。,上升时间tr,3-3二阶系统的时域分析举例,峰值时间tp,对于5%允许误差标准，调整时

17、间为：,3-3二阶系统的时域分析举例,例：下图控制系统，输入信号r(t)=t，放大器增益kA分别取 13.5、200、1500，试分别写出系统误差响应表达式，并估算 其性能指标。,解：将系统的开环传递函数与 标准二阶系统的开环的开环函 数相比较。,当ka=13.5时，=2.1 n=8.2,=2.11，系统属于过阻尼 二阶系统。,3-3二阶系统的时域分析举例,对于二阶系统斜坡输入的过阻尼误差响应，参见 P95(3-40)式。 将和n代入(3-40)式，求出误差响应表达式。,注意：二阶系统在某些条件下，可近似等效为一阶系统，工程上常这样 处理。,3-3二阶系统的时域分析举例,所以，可以用一阶系统的

18、性能指标近似估算该系 统的性能指标。,3-3二阶系统的时域分析举例,当kA=200时，求得=0.551，n=31.6系统属欠阻尼二阶系统，在斜坡 输入下，二阶系统欠阻尼误差响应参见P87(3-31)式，代入和n求得：,3-3二阶系统的时域分析举例,当kA=1500时情况请大家自习时计算。,kA、n之间的关系，以及与稳态误差、动态性能的 关系： 增大放大器增益会导致系统的阻尼下降，虽可减小稳态 误差，却恶化了误差响应的动态性能，因此值不宜太小， 而n值希望足够大。在通常只有可调的系统中要同时满足稳 态和动态两方面特性要求是困难的。这是因为：,3-3二阶系统的时域分析举例,1.改变开环增益就相当于

19、改变系统阻尼比的数值，但是， 阶跃响应中的超调量和斜坡响应中的稳态误差对的要求正好 相反，要取得一个合适的折衷方案比较困难。 2.即使能够找到合适的开环增益值，满足上述稳态和动态 两方面的要求，也可能不满足系统在扰动作用下的稳态误差要 求。 3.在高精度控制系统中，需要采用高增益使死区、间隙和 摩擦等非线性因素的影响减到最低程度，因此不能任意降低开 环增益以换取较小的超调量。,3-3二阶系统的时域分析二阶系统性能改善,为什么要改善二阶系统的性能？目的是什么？ 1.从前面讲述中可以看到，动态指标与静态指标对的要 求是不一致的。 如：调节时间 稳态误差 如何协调动态、静态的矛盾？ 2.动态指标之间

20、也存在不能同时达到最佳的问题。 二阶系统常用比例微分控制和测速反馈控制来改善性能,(1)比例微分控制,比例微分控制特点：因为微分控制反映的是系统 的动态性能，静态时不起作用，而微分控制又是超前控 制，可以在误差出现之前提前产生修正作用，从而达到 改善系统性能的目的。 比例微分控制的实质仍是改变阻尼系数,(1)比例微分控制,比例微分控制系统结构图。没 有TdS环节，系统是一个典型的二 阶系统，Td为微分时间常数。 开环传递函数与闭环传递函数分 别为,上两式表明，比例微分控制不 改变系统的自然频率，但可增大系 统的阻尼比，由于和n均与K有 关，所以适当选择开环增益和微分 器时间常数，既可减小系统在

21、斜坡 输入时的稳态误差，又可使系统在 阶跃输入时有满意的动态性能。,(1)比例微分控制,由上述结构图和函数式，比例微分控制系统与二阶系统 闭环传递函数相比： 1.无阻尼振荡频率n 没有改变 2.系统增加了一个零点-z，有关零点的作用以后再讲 3.增大了阻尼系数，由改变成d 由于微分环节Td只是在动态时起作用，静态时不起作用， 所以在动态时系统阻尼比是d起作用，使调节时间和超调量下 降；而稳态时是起作用，可使系统的稳态误差减小。,(1)比例微分控制,例：设单位反馈系统开环传递函数为： k为开环增益，已知系统在单位斜坡输入时，稳态误差 ess=1/k，若要求ess0.2rad，d=0.5，试确定k

22、与Td的数值， 并估算系统在阶跃函数作用下的动态性能。 解：由ess=1/k，和ess0.2rad求得k5，取k5 根据比例微分控制系统模型，(341)式，,(1)比例微分控制,又由系统单位斜坡响应稳态误差表达式（330）：,比较加入PD前后系统的动态性能,(1)比例微分控制,（1）没加入PD之前，,(1)比例微分控制,（2）加入PD之后，阻尼比变成d=0.5，n不变， 用（324）曲线图求出上升时间tr。,求峰值时间用（347）式，求超调量用（349）式， 求调节时间用（350）式，分别求出： tp=1.63；%=42.4%；ts=3.73 ， 动态指标都得到了改善。,(1)比例微分控制,比

23、较加入PD之前、 后系统的参数变化。,比例微分控制可以增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调 节时间缩短，且不影响常值稳态误差和自然频率，由于采用微分控制 后，允许选取较高的开环增益，因此在保证一定的动态性能条件下， 可以减小稳态误差。应当指出，微分器对于噪声的广大作用远于对缓 慢变化输入信号的放大作用，因此在系统输入噪声较强的情况下，不 宜采用比例微分控制方式。,(2)测速反馈控制,将输出的速度信号反馈到系 统输入端，并与误差信号比较， 也可以增大系统阻尼，改善系统 的动态性能。 如图所示，如果没有kts则系 统是标准的二阶系统， kts是系统 测速反馈环节。 将内环等效为一个环节，求

24、传递函数。,(2)测速反馈控制,讨论： (1)当kt=0时，开环增益,当kt0时，,测速反馈降低了开环增益，从而加大系统斜坡输入时的稳态误差。,(2)测速反馈不改变自然频率n (3)测速增大了系统阻尼比由t，故改善了系统动态性能 (4)测速反馈不形成闭环零点，所以对系统动态性能的改善程度与PD控制 不同。 (5)由于测速反馈降低了开环增益，加大了系统的稳态误差，所以在设计 时测速反馈控制系统时，可适当增大系统的开环增益。,比例微分控制与测速反馈控制的比较1 (1)附加阻尼来源：比例微分控制的阻尼作用产生于系统的输 入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统 输出响应的速度，因此，对

25、于给定的开环增益和指令输入速度， 后者对应较大的稳态误差值。 (2)使用环境：比例微分控制对噪声有明显的放大作用，当系 统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例微分控制，同时为 优化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈对系统输 入端噪声有滤波作用，对系统组成元件没有过高的质量要求。,比例微分控制与测速反馈控制的比较2 (3)对开环增益和自然频率的影响：比例微分控制对系统的 开环增益和自然频率均无影响，但测速反馈会降低开环增益。 因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大 的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大， 在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。 (4)对动态性能的影响：比例微分控制相当于在系统中加入 实零点，可以加快上升时间，在相同阻尼比的条件下，比例 微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。,