1、第一章习题 1. 序列 满足递推关系 ，取 及 试分别计算 ，从而说明递推公式对于计算是不稳定的。 n 1 1 0.01 0.0001 2 0.01 0.0001 0.000001 3 0.0001 0.000001 0.00000001 4 0.000001 0.00000001 10-10 5 0.00000001 10-10 n 1 1.000001 0.01 0.000099 2 0.01 0.000099 -0.00009901 3 0.000099 -0.00009901 -0.01000099 4 -0.00009901 -0.01000099 -1.0001 5 -0.0100
2、0099 -1.0001 初始相差不大，而 却相差那么远，计算是不稳定的。 2. 取y0=28，按递推公式 ，去计算y100，若取 （五位有效数字），试问计算y100将有多大误差？y100中尚留有几位有效数字？ 解：每递推一次有误差 因此，尚留有二位有效数字。 3函数 ，求f(30)的值。若开方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式 计算，求对数时误差有多大？ 设z=ln(30-y)， ，y*=29.9833， |E(y)| 0.510-4 z*=ln(30-y*)=ln(0.0167)=-4.09235 若改用等价公式 设z=-ln(30+y)， ，y*=29.9833， |
3、E(y)| 0.510-4 z*=-ln(30+y*)=-ln(59.9833)=-4.09407 4下列各数都按有效数字给出，试估计f的绝对误差限和相对误差限。 1) f=sin(3.14)(2.685) 设f=sin xy x*=3.14, E(x) 0.510-2, y*=2.685, E(y) 0.510-3, sin(x*y*)=0.838147484, cos(x*y*)=-0.545443667 |2.685(-0.5454) 0.510-2+3.14(-0.5454) 0.510-3| =0.8178310-20.8210-2 |Er(f)| 0.8210-2/0.83815
4、0.989410-2N YESNOReturnNOPrint YESStopNOProbably no rootf(a)=0YESNOYESf(a)=0NOYESf(a)*f(b)0R b ?STOPYESNONOYES习题2-33. 对下述方程，试确定迭代函数g(x)及区间a, b,使迭代法收敛到方程的正根,并使误差不大于10-5 。4. 你能用几种方法将x=tgx化为适合于迭代的形式？并求x=4.5（弧度）附近的根。对x=tgx，用埃特金方法能迭代收敛吗？请用埃特金方法求出该题结果。解一. x=arctgx解二. 可用埃特金方法习题2-4 1. 牛顿法计算 具有4位有效数字的近似值。 x0
5、1 x 1=2 x 2=1.75 x 3=1.732142857 x 4=1.73205081 x 5=1.732050808 对第1) 题再给出二种方法 5就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度 6如果把牛顿法看成迭代法， 是 的等价方程吗？ 不是，因为牛顿法是把 线性化后得到的公式。 7正割法与2.2中的试位法一样吗？为什么？ 不一样，虽然试位法中 与正割法中 非常相像，但正割法是二步迭代，而试位法不是迭代法，x有可能代替左 端点，也有可能代替右端点。 8已知方程f(x)=x3+7x-1=0，证明：当 时，牛顿法收敛。 不难用归纳法证明,由牛顿法产生的序列xk，必然是单调下降，并有下界x
6、单调下降又有下界的序列xk，存在极限，记 ， 对 二边取极限，得到 9用牛顿法计算 P(z)=z4-3z3+20z2+44z+54=0 接近于z0=2.5+4.5i 的零点。(迭代二次) 解： 10给定方程 ，满足： 习题2-5 习题2-6 1. 请用劈因子法求高次方程 x4+ x 3+5 x 2+4 x +4=0的所有复根。 (提示：取尾部二次式作近似二次因式) 3.任给一个高次方程，你如何着手找出它的所有根？劈因子法适宜于求实 的单根吗？ 首先找实根所在区间，用其他方法求出实根，用秦九韶程序降方程的阶。 用劈因子法求共轭复根比较好。 第三章 直接法解线性方程组 习题3-1 1. 写出列
7、主元消去算法。 For k =1 to n-1 do 1）消元： (1) 选主元： (2) 判别： , than stop (3) 换行： (j=k,k+1,.,n+1) (4) 计算乘数： (i=k+1,.,n) (5) 消元： (i=k+1,.,n; j=k+1,.,n+1) 2) 回代： (1) ,than stop (2) 回代：for k=n,n-1,.,1 do (3) 打印：print xj =aj,n+1 2. 用全主元高斯约当消元法求下列方程的解 3. 用全主元高斯约当消去法求下列矩阵的逆矩阵 4. 请用列全主元高斯约当消去法求下列矩阵的逆矩阵 6如果在解方程组过程中，希望顺
8、便求出系数矩阵A的行列式值det(A)，用什么方法比较方便？需注意一些什么问题？如果用高斯约当列主元消去法，如何求出det(A)? 高斯消元法解方程时 ；主元素高斯消元法解方程时，注意换行列会改变行列式的符号；用高斯约当列主元消去法解方程时，把列主元 记录下来，把换行的次数m记录下来， 。 7. 设Ax=b是线性方程组 1) 用列元高斯约当消去法，求解此方程组。 2) 求系数矩阵的行列式。 3) 求系数矩阵的逆矩阵。 也是一个指标为k的 初等下三角阵，其中Ii,j 为排列阵： 证明： 只是mi,k与mj,k换了个位置。 9试证明单位下三角阵的逆矩阵仍然是一个单位下三角阵。 证： 证得 下三角阵
9、的逆阵仍是下三角阵。 当A为单位下三角阵时， ，B也是单位下三角阵。 习题3-2 5.设A为n阶非奇异阵，且有分解式 A=LU，其中L为单位下三角阵， U为上三角阵，求证：A的所有顺序主子式均不为零。 证明：U一定是非奇异阵，否则A=LU也奇异。 记A的顺序主子阵为Ak ，L的顺序主子阵为Lk ， U的顺序主子阵为Uk ，由分块阵的乘法 6. 设A对称正定，试证明A一定可以进行以下分解:A=UUT，其中U是上三角阵，若限定U的对角元为正的，此分解唯一。 证明：若A对称正定，则 也对称正定，这是因为 也对称， 由 正定， 可进行cholesky分解， 存在唯一具有正对角元的下三角阵L，使 =LL
10、T ， 也是具有正对角元的下三角阵， 记 ， A=(UT)TUT=UUT， U为具有正对角元的上三角阵，此分解也唯一。 证明: 第四章 解线性方程组迭代法 习题4-1 习题4-2 习题4-3 (全是编程上机题) 习题4-4 3. 求证：lim Ak=A的充分必要条件是对任非零向量x，lim Ak x=A x 。 4.用SOR法解方程组(分别取w=1, w =1.1, w=1.03计算) w=1 X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X1k 00.250.5156250.5019531250.500244140.5000.0517X2(K) 01.06251.0078725
11、1.0009765631.000122071.000015259X3(K)0-0.484375-0.498046875-0.499755859-0.499969482-0.499996185w=1.1 X(0)X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X1(K) 00.2750.5707968750.4933158390.5001661650.499999398X2(K) 01.1756251.0014382810.9981736331.0000746531.000013383X3(K)0-0.50170125-0.49943416-0.500558834-0.499923587-0.
12、500003961 w=1.03 X(0)X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X1(K) 00.25750.5320738590.50107024105000931550.500004472X2(K) 01.096306251.0078930381.0004864581.0000282191.00000162X3(K)0-0.49020114-0.498261508-0.499926891-0.499994926-0.499999737 8. 设A为严格对角优势阵，证明： 9. A是n阶非奇异阵，B是n阶奇异阵，试求证： P91. x0 p0 r0 Ap0 x1 r1 p1 Ap
13、1 x2 r2 0 3 7 30/29= 1.034482758 17/29= 0.586206898 1360/841= 1.61712247 1530/841= 1.819262776 14/9= 1.555555554 0.3 10-9 0 1 8 10/29= 0.344827586 -51/29= -1.758620688 -1190/841= -1.414982164 -4590/841= -5.45778835 -1/9= -0.11111111 0.1 10-9 (rk,Pk) 10 2890/841=3.436385254 (PK,APK) 29 260100/24389=1
14、0.66464388 ak a0=10/29=0.344827586 a1=8381/26010=0.322222222 (rk+1,APK) -289/29= -9.965517218 bk b0=289/841=0.343638524 x0 P0=r0 AP0 x1 r1 P1 0 0 0 5 -4 3 81 -77 51 0.2886835 -0.2309468 0.1732101 0.3233273 0.4457259 0.0554283 0.3539538 0.4212247 0.0738042 50 866 0.0577367 -5.3045397 0.0061253 0.3062
15、844 AP1 x2 r2 P2 AP2 x3 r3 2.2236602 4.9763595 2.9290357 0.3236612 -0.1893214 0.1805034 0.1035850 -0.0460384 -0.2340193 0.1817226 0.0469497 -0.2177266 0.5407942 -0.2403715 -1.2217033 0.3584701 -0.1803282 0.1387980 -0.0000040 0.0000047 -0.0000023 3.0994135 0.0988201 -0.6842166 0.2207567 0.0676145 0.3
16、529865 0.1915498 3.设xk为用cg法解Ax=b(A对称正定)得到的近似解序列，求证 第5章 习题5-1 1. 分别用正规方程组及H变换求下列矛盾方程组的解: (1)用ATAx=ATb解 (2)用H变换解 回代得: 第六章 插值 习题6-1 差商表 x Lnx 一阶 二阶 三阶 四阶 0.4 -0.916291 2.23144 0.5 -0.693147 -2.04115 1.82321 1.92717 0.6 -0.510826 -1.463 -0.3096 1.53061 1.80333 0.7 -0.357765 -0.922 1.34621 0.8 -0.223144
17、8. 已知正弦函数表 xk 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 Sin xk 0.4794 0.6442 0.7833 0.8912 0.9636 0.9975 0.9917 0.9463 求Sin(0.74)，Sin(1.6) 的近似值(用线性插值和抛物线插值)，并估计它的 误差。 线性插值： 习题6-2 3.已知： X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 -0.105361 用牛顿后插公式求Ln0.78的近似值，并根据5阶差分估计4阶公式的误差。
18、 解： x Lnx f 2f 3f 4f 5f 0.4 -0.916291 0.223144 0.5 -0.693147 -0.040823 0.182321 0.011563 0.6 -0.510826 -0.02926 -0.000743 0.153061 0.01082 -0.008475 0.7 -0.357765 -0.01844 -0.009218 0.134621 0.001602 0.8 -0.223144 -0.016838 0.117783 0.9 -0.105361 习题6-3 x 0 1/2 1 f(x) 0 1/16 1 f(x) 0 1/2 4 习题6-5 2将下列
19、表格的函数写成一阶样条函数。 x x0 1 2 4 5 5.5 6 7 x8 f(x) 0 1 3 4 6 7 9 8 8 4. 已知 求作二次样条函数分段 表达式，使x0 点的导数为 ，xi 点的函数值为 f(xi) 。 5. 给定 x 0 1 2 3 f(x)_ 0 0 0 0 以下用三弯矩方程解： 解二： 6给定数表如下： xj 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 yj 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条插值S(x)，并满足条件 代入分段表达式 习题6-6 1. 在求N=22=4时的富里叶变换 中，其中xk 是复数， 1) 按
20、此式需做多少次复数乘法？ 2) 你能把乘法次数减少到多少次？请列出计算式，用最少乘法次数完成此富里叶变换。 解： 第七章 拟合 习题7-1 1. x -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0 0.25 y -0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.003 2.5645 试求出用最小二乘法拟合的一次多项式。 2.在某科学试验中，需要观察水份的渗透速度，测得时间t与水的重量 的数据如下： t(秒) 1 2 4 8 16 32 64 w(克) 4.22 4.02 3.85 3.59 3.44 3.02 2.59 设已知t与w之间有关系w=Ctl，试用最小二乘法确定C和l
21、 。 解：lnw=lnC+llnt 记 lnw=y, lnC=b , lnt=x 得： y=b+lx x=lnt 0 0.69314 1.38629 2.07944 2.77258 3.46573 4.15888 y=lnw 1.43983 1.39128 1.34807 1.27815 1.23547 1.10525 0.95165 3已知： t 1 2 3 4 5 6 7 8 y 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 t 1 2 3 4 5 6 7 8 u 0.25 0.156 0.125 0.114 0.108 0.105 0.103 0.101
22、 习题7-2 1.观测物体直线运动，试利用正交多项式求其运动方程 t 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 s 0 10 30 50 80 110 解：设P1( t ) = t , P2( t ) = t 2+c t 习题7-3 第八章 数值积分 习题8-1 2.已知函数表 x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 f(x) 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675 试用牛顿柯特斯公式计算 4.推导n=3时牛顿柯特斯公式，并推导误差公式。 习题8-2 1. 分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分，并比较结果。 x 0 0.0625 0.125
23、 0.1875 0.25 0.3125 0.375 0 0.015610 0.031128 0.046467 0.61538 0.076263 0.090566 0.4375 0.5 0.5625 0.625 0.6875 0.75 0.8125 0.10438 0.117647 0.130317 0.142349 0.153712 0.164384 0.174350 0.875 0.9375 1 0.183607 0.192154 0.2 3.用复化梯形公式求 n=5并估计误差。 解： x sin x sin2 x 1/(1+ sin2 x) 0 0 0 1 0.2 0.1986693 0.0.94695 0.9620292 0.4 0.3894183 0.1516466 0.8683219 0.5 0.4794255 0.2298488 0.8131081 0.6 0.5646425 0.3188212 0.7582529 0.8 0.7173561 0.5145998 0.6602404 1.0 0.8414710 0.7080734 0.5854549 习题8-4 2. n+1个节点的高斯型积分公式的代数精度是多少？会超过2n+1次吗？ 为什么？
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