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1、数列的通项公式教案 篇一：数列的通项公式教案 篇二：数列通项公式教学设计 数列通项公式教学设计 1 23 篇三：求数列通项公式的常用方法 教案 例题 习题 求数列的通项公式常用方法 1.定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。 例1等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列， 2 求数列?an?的通项公式. S5?a5 解：设数列?an?公差为d(d?0) 2 a1,a3,a9成等比数列，a3?a1a9， 即(a1?2d)2?a1(a1?8d)?d2?a1d d?0， a1?d 2S5?a5 5a1? 5?4 ?d?(a1?4d)2 2 33，d? 55 33
2、3 an?(n?1)?n 555 由得：a1? 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比） 后再写出通项。 练一练：已知数列3 1111 ,5,7,9,?试写出其一个通项公式：_； 481632 S,(n?1)an?12.公式法：已知Sn（即a1?a2?an?f(n)）求an，用作差法：。 Sn?Sn?1,(n?2) 例2已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1)n,n?1求数列?an?的通项公式。 解：由a1?S1?2a1?1?a1?1 n a?S?S?2(a?a)?2?(?1), n?2nnn?1nn?1当时，有 ? ?an?2an?1?2?(?
3、1)n?1, an?1?2an?2?2?(?1)n?2,，a2?2a1?2. ?an?2n?1a1?2n?1?(?1)?2n?2?(?1)2?2?(?1)n?1 ?2n?1?(?1)n(?2)n?1?(?2)n?2?(?2)?2 n?1 21?(?2)n?1 ?(?1) 3 n 2 ?2n?2?(?1)n?1.3 经验证a1?1也满足上式，所以an? 点评：利用公式an? 2n?2 2?(?1)n?1 3 ?Sn?n?1 求解时，要注意对n分类讨论，但若 ?Sn?Sn?1?n?2 能合写时一定要合并 练一练：已知an的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an； 数列an满足a1?4,S
4、n?Sn?1? 5 an?1，求an； 3 f(1),(n?1)?f(n) 3.作商法：已知a1?。 a2?an?f(n)求an，用作商法：an? ,(n?2) ?f(n?1) 如数列an中，a1?1,对所有的n?2都有a1a2a3?an?n2，则a3?a5? 4.累加法： 若an?1?an?f(n)求an：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(a2?a1)?a1(n?2)。 11 例3. 已知数列?an?满足a1?，an?1?an?2，求an。 2n?n 解：由条件知：an?1?an? 1111 ? 2 n?nn(n?1)nn?1 分别令n?1,2,3,?,(n?1)，代入上式
5、得(n?1)个等式累加之，即 (a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)?(an?an?1) 1111111?(1?)?(?)?(?)?(?) 22334n?1n 1 所以an?a1?1? n 11131?a1?，?an?1? 22n2n 如已知数列an满足a1?1，an?an?1? 1n?1?n (n?2)，则an； an?1aaa ?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1?2?a1(n?2)。 anan?1an?2a1 2n an，求an。 例4. 已知数列?an?满足a1?，an?1? 3n?1 5.累乘法：已知 解：由条件知 an?1n ，分别令n?1,2,3,?,(n?1)，
6、代入上式得? ann?1 (n?1)个等式累乘之，即 aaa2a3a4123n?11 ?n?n? na1a2a3an?1234a1n又?a1? 22，?an? 33n 如已知数列an中，a1?2，前n项和Sn，若Sn?n2an，求an 6.已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。 （1）形如an?kan?1?b、an?kan?1?bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。 an?kan?1?b解法：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中 t? 例5. 已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an. 解：设递推
7、公式an?1?2an?3可以转化为an?1?t?2(an?t)即 q ，再利用换元法转化为等比数列求解。 1?p an?1?2an?t?t?3.故递推公式为an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，则b1?a1?3?4,且 bn?1an?1?3 ?2 bnan?3 所以?bn?是以b1?4为首项，2为公比的等比数列，则bn?4?2n?1?2n?1,所以 an?2n?1?3. an?kan?1?bn解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公 式两边同除以q n?1 ，得： an?1pan1an引入辅助数列（其中），?b?bnnn?1nn qqqqq 得：bn?1? p1 bn?
8、再应用an?kan?1?b的方法解决.。 qq 例6. 已知数列?an?中，a1? 511n?1 ,an?1?an?()，求an。 632 11n?12nn?1n?1 解：在an?1?an?()两边乘以2得：2?an?1?(2?an)?1 323 22n 令bn?2n?an，则bn?1?bn?1,应用例7解法得：bn?3?2() 33 b1n1n ?3()?2() 所以an?nn 232 练一练已知a1?1,an?3an?1?2，求an； 已知a1?1,an?3an?1?2n，求an； （2）形如an?例7：an? an?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan?1?b an?1 ,a1?
9、1 3?an?1?1 13?an?1?11 ?3? anan?1an?1 解：取倒数： ?1?111 ?是等差数列，?(n?1)?3?1?(n?1)?3?an?3n?2aaan1?n? 练一练：已知数列满足a1=1 ? an； 数列通项公式课后练习 1已知数列?an?中，满足a1，an?1+1=2(an+1) （nN）求数列?an?的通项公式。 ? 2已知数列?an?中，an0,且a1，an?1an （nN） ? 3已知数列?an?中，a1，an?1 4已知数列?an?中，a1，an?13an，求数列?an?的通项公式 1? an（nN）求数列?an?的通项公式 25已知数列?an?中，an，a1 an1? ，an?1 （nN） 求an 21?2an 6设数列?an?满足a1=4，a2=2，a3=1 若数列?an?1?an?成等差数列，求an 7设数列?an?中，a1=2，an?1=2an+1 求通项公式an 8已知数列?an?中，a1=1，2an?1= an+ an?2 求an