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1、多元平稳时间序列ARIMAX模型的应用多元平稳时间序列ARIMAX模型的应用汪远征,徐雅静(郑州轻工业学院信息与计算科学系,郑州450002)摘要:本文介绍多元平稳时间序列ARIMAX模型的建立方法,并将APJMAX模型应用于我国第三产业产值,固定资产投资和GDP数据的分析与预测,得到较为满意的结果.关键词:I模型;时间序列;预测中图分类号:O212文献标识码:A文章编号:1o026487(2o07)09013203近几年来,很多学者利用时间序列模型研究经济指标的变化规律.有些采用一元时间序列的ARIMA模型,ARIMA模型是研究经济系统中一元时间序列变化规律的有效方法,但由于ARIMA模型只
2、涉及一个变量,无法表达经济系统中变量间相互影响的关系;有些采用协整分析,但大都停留在两个或多个时间序列的简单回归模型及修正误差模型上,用以进行经济结构分析,虽然也能够较好地解释经济指标的相互影响,但由于没有考虑各时间序列自回归作用,在预测方面仍不尽如人意;还有一些学者利用ARIMAX模型描述经济系统中多元时间序列的变化规律,但较多只是构建了含有一个输入序列的ARIMAX模型,在现实中,很多时间序列除有其自身的变化规律外,还会受到其它多个时间序列的影响,利用单一时间序列的ARIMA模型或含有一个输入时间序列的ARIMAX模型,由于计量模型不够完整,均无法很好地表达经济系统中多元时间序列的变化规律
3、,因此,有必要建立含有多个输入变量的ARIMAX模型.本文首先介绍ARIMAX模型的结构与建立方法,然后将ARIMAX模型应用于我国固定资产投资总额,第三产业产值和GDP数据的分析上,以建立较为完整的计量模型,达到更好地描述三者之间的影响关系,更有效地对GDP预测的目的.?1ARIMAX模型的结构ARIMAX模型的构造思想是:假设响应序列Y和输入变量序列(即自变量序列)xIlXa,xh均平稳,首先构建响应序列和输入变量序列的回归模型:FBx式中,中(B)为第i个输入变量的自回归系数多项式,(B)为第i个输入变量的移动平均系数多项式,l为第i个输入变量的延迟阶数,为回归残差序列.132统计与决策
4、2007年9月(理论版)因为Yt和XIt,xa,xh均平稳,平稳序列的线性组合仍然是平稳的,所以残差序列为平稳序列:s(一(I)i(B)-it使用ARMA模型继续提取残差序列中的相关信息.最终得到的模型为:tat模型(1)被称为动态回归模型,简记为ARIMAX.式中,中(B)为残差序列自回归系数多项式;(B)为残差序列移动平均系数多项式:at为零均值白噪声序列.2ARIMAX模型的建立步骤(1)首先对响应序列Yt和各输入变量序列x-做平稳性检验:(2)对经过适当差分后平稳的输入序列x建立ARMA模型,以产生白噪声序列:s器x(3)对经过差分后平稳的响应序列y)实施同样的变换:s=yIi_l2,
5、.k(4)考察序列与y;l的互相关系数以确定动态回归模型的结构】o1:(5)考察残差序列f),并对其拟合模型:s=at式中at为零均值白噪声序列.3ARIMAX模型的应用实例下面以我国历年固定资产投资总额,第三产业产值和GDP数据(见表1)为例,介绍ARIMAX模型的建模过程及SAS实现,并通过模型预测未来若干年内国民生产总值GDP的变化情况.表1我国历年固定资产投资总额,第三产业和GDP数据(单位:亿元)固定资第三产固定资第三产年份产投资业产值GDPgdp年份产投资业产值GDPs,tpI总额xI】Y总额xI】Y1980910.9994.24545.6199313072.3l1992.2353
6、33.919819611090.5489l_6199417O42.116281148197.919821230.41178.85323.419952o019.32o094.360793.719831430.11355.75962.7199622913.523455.87l176.619841832.91806.97208.1199724941.127165.47897319852543.22607.89O161998284o6.230780.184402l319863120.63018.610275.2199929854.734095.389677.119873791.736O2.712058
7、.620o032917.738942.599214.619884753.84624.615O42.82o0137213.544626.7109655.219894410.45486.316992.32o0243499.950197.3120332.7199o45175933.418667.82o0355566.656318.1135822.819915594.57390.72178l_520o470477.465018.2159878.319928080.1942426923.52o0588773.672967.7183084.83.1数据整理用序列xIj,yj和gdpj分别表示1980年-2
8、005年我国固定资产投资总额,第三产业产值和GDP数据,并将它们存放在数据集dthg中,首先做出原数据序列(x,y和gdp),对数数据序列(ln)(,lny和lngdp)以及对数一阶差分后序列(Vlnx,Vlny和Vlngdp)的散点图(分别见图1的左,中和右):图1序列的散点图图形显示原数据序列与对数序列均为有趋势的非平稳时间序列,而对数序列一阶差分后有望是平稳的.3.2平稳性检验对三个序YUVlnxt,VlnytVlngdpt)的单位根检验结果分别为:(1)lnxt的单位根检验表明模型lnx:+丁导一拒l一中115绝原假设,这说明,对数差分后的固定资产投资序列是具有常数均值的平稳序列,该平
9、稳序列1阶自相关,如图2所示.图2(Vtry的单位根检验结果(2)yt的单位根检验表明模型nyt拒绝原假设,这说明,对数差分后的第三产业序列是具有常数均值的平稳序列,该平稳序列1阶自相关,如图3所示.(3)Vlngdpt的单位根检验显示表明模型lngdp:+拒绝原假设,这说明,对数差分后的GDP序列是具有常数均值的平稳序列,该平稳序列1阶自相关,如图4所示.3.3建模(1)首先对输入变量序列(固定资产投资总额对数一阶差分序列和第三产业产值对数一阶差分序列)lnx,和Vlny建模.使用相对最优法定阶,确定模型均为ARMA(0,1).分别对输入变量序列lnx和Vlny建模并检验:对lnx建模:参数
10、估计及检验显示,参数显着非零.CondltIonalLea8tSquareal|tDaatiOnPnt口E#ti.attv.lPr;fLg.毒器箸瓮2;立嚣岳g器?残差自相关检验结果表明该拟合模型显着成立拟合模型的具体形式为:lnx:0.176477+(1+0.52821B)eXVlny建模:参数估计及检验显示,参数显着非零.残差自相关检验结果表明该拟合模型显着成立:拟合模型的具体形式为:1nyL=0.168699+(1+0.70173B)e统计与决策2007年9月(理论版)133(2)预白噪声处理利用上述模型分别过滤输入变量序列以获取白噪声残差序列,再用同样的模型分别过滤响应序列,并计算过滤
11、后响应序列和过滤后输入序列的互相关系数.由Vlngdp与lnx的互相关系数图中可以看出,只有延迟0阶和1阶的互相关系数显着非零,说明输出序列与输入序列有一阶滞后效应.图5VIrIgdp与Vlnx的互相关系数图由lngdp与Vlny的互相关系数图中可以看出,只有延迟0阶的互相关系数显着非零,说明输出序列与输入序列无滞后效应.图6VIn【gdp与Vlny的互相关系数图(3)模型定阶根据互相关系数图并经实验可取如下结构模型:lngdp,=器1nx,+tazo1nyI+巩拟合该ARIMAX模型,利用条件最小二乘估计方法,所得参数估计显着非零(图7).残差巩的自相关和互相关检验(图8)表明,模型残差的自
12、相关函数显着为零;ln,lny与巩的互相关函数显着为零,即模型显着有效.134统计与决策2007年9月(理论版)图8残差at的自相关和互相关检验条件最小二乘估计方法得到的该模型口径如下:(4)模型表示为:lngdp1048479Bl22B1n一.一t0.5699421Hyt110.56104B或表示为:nsdp=lnx,+0.5699421ny.+_(11丽(1一B)(10.561O4B)4预测图9模型口径利用ARIMAX模型进行短期预测,GDP对数序列向后2期,再向前5期的预测结果如下:图10预测结果取指数后得到GDP的20042007年的模型预测数据如下(单位:亿元):年度2o042o05
13、2o062o072o08模型预测1571569183891.3213843.6247904.82869O3实际观测值159586.7183956.1相对误差1.52%0.04%5图形拟合0引言处理异方差问题时的三个R2张卫东,雷敏(西南财经大学统计学院,成都610074)摘要:在处理异方差问题时会出现三个可决系数(拟合优度).本文通过对这三个R含义的解释说明,就它们的作用,功效以及关系进行了分析探讨,以便在应用中有一个清楚的界定.关键词:异方差;加权最小二乘法;可决系数(拟合优度)中图分类号:O212文献标识码:A文章编号:10026487(2007)09013502传统的回归分析都是在随机扰
14、动项同方差,无自相关等古典假定下进行的.但在实际问题中,尤其是当使用截面数据时,通常会遇到同方差性不满足的情况,即随机扰动项出现异方差.此时若使用普通最小二乘估计(OLs)(这时会出现一个R2),估计量将失去有效性,进而使有关的检验失效.因此通常采用加权最小二乘法(WLS),消除异方差而得到估计量,这时也会出现一个R.但WLs实际上是对原始模型进行变换,这个R是由变换后的变量计算出的,它并不能代表原始解释变量对原始被解释变量的拟合优度.而在Eveiws等统计软件的WLs操作输出结果中还有一个未加权的unweighted)R,它反映的是在WLs估计量下,用原始解释变量和原始被解释变量的数据计算的
15、拟合优度.本文的目的就是比较分析这三个R的真正含义和对模型拟合程度的解释能力.1三个R的含义和作用考虑多元回归模型的矩阵形式Y=XI3+u或其离差形式y=xp+u为了得到直观的模型图形,对模型作图,该模型的拟合效果图如下:图l1左为GDP对数序列拟合图,图l1右为GDP序列拟合图.图中星号为GDP序列的观测值,实曲线为模型拟合值,虚曲线为模型拟合值95%的置信曲线.直观显示动态回归模型拟合效果良好.6结论图11图形拟合国民生产总值GDP的变化受众多因素的影响,单纯使用ARIMA模型在预测GDP的变化往往不尽如人意.考虑到我国现阶段,固定资产投资总额与第三产业产值的变化对GDP的变化有着较大的影
16、响,将固定资产投资总额与第三产业产值时间序列作为输入变量引入到GDP预测的模型中,建立ARIMAX模型,并利用模型对20042008年的国内生产总值进行了预测.从模型的预测值和拟合图形可以看出,预测的效果很好.参考文献:【llG.E.P.BOX,GM.Jenkins.TimeSeriesAnalysis:ForecastingandControl【M.北京:人民邮电出版社,2o05.【2刘颖,张智慧.中国人均GDP19522002时间序列分析【Jj.统计与决策,2o05,(2)(下).DGuoJianping,HeJianmin.CointegrationAnalysiswithStmetur
17、alChangesbetweenConsumptionandEconomicGrowthinChina.JournalofSoutheastUniversity(EnglishEdition),2o06,22,(2):238241.【5我国GDP,消费,投资和进出1:2贸易之间的协整分析J1.统计与决策,2o05,(5)(下).【6刘建平,岑倩青.线性回归模型与传递函数模型在时间序列应用上的比较研究J1.统计与决策,20o5,(1).【7王燕.应用时间序列分析【M.北京:中国人民大学出版社,2005.【8【美GeorgeE.P.Box,【英GwilymM.Jenkins,【美GregoryC.Reinsel着.时间序列分析,预测与控制【M.顾岚主译.北京:中国统计出版社.1997.【9国家统计局,中国统计年鉴2006【M.北京:中国统计出版社,2o06710高惠旋.SAS系统SAS/ETS软件使用手册【M,北京:中国统计出版社.1998(责任编辑/亦民)统计与决策2007年9月(理论版)135