初中经典几何题型及思想方法.doc

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1、初中几何经典题一、解答题（共20小题，满分0分）1已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CD=GF（初二）2已知：如图，P是正方形ABCD内点，PAD=PDA=15求证：PBC是正三角形（初二）3如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）4已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DEN=F5已知：ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OMBC于M（1

2、）求证：AH=2OM；（2）若BAC=60，求证：AH=AO（初二）6设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q求证：AP=AQ（初二）7如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q求证：AP=AQ（初二）8如图，分别以ABC的边AC、BC为一边，在ABC外作正方形ACDC和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半9如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AE=AC，AE与CD相交于F求证：CE=CF10如

3、图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F求证：AE=AF（初二）11设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE求证：PA=PF（初二）12如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：AB=DC，BC=AD13已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5求：APB的度数（初二）14设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBA=PDA求证：PAB=PCB15设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCD+ADBC=ACBD（初三）16平行四边形ABCD中，设E、F分别是

4、BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF求证：DPA=DPC（初二） 17设P是边长为1的正ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：L218已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值19P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长 20如图，ABC中，ABC=ACB=80，D、E分别是AB、AC上的点，DCA=30，EBA=20，求BED的度数 初中几何经典题参考答案与试题解析一、解答题（共20小题，满分0分）1已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CD=GF（初二） 考

5、点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理。分析：首先根据四点共圆的性质得出GOFE四点共圆，进而求出GHFOGE，再利用GHCD，得出=，即可求出答案解答：证明：作GHAB，连接EOEFAB，EGCO，EFO=EGO=90，G、O、F、E四点共圆，所以GFH=OEG，又GHF=EGO，GHFOGE，CDAB，GHAB，GHCD，=，又CO=EO，CD=GF点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及其性质和四点共圆的性质，根据已知得出GOFE四点共圆是解题关键2已知：如图，P是正方形ABCD内点，PAD=PDA=15求证：PBC是正三角形（初二） 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角

6、形的性质；等边三角形的判定。专题：证明题。分析：在正方形内做DGC与ADP全等，根据全等三角形的性质求出PDG为等边，三角形，根据SAS证出DGCPGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可解答：证明：在正方形内做DGC与ADP全等，DP=DG，ADP=GDC=DAP=DCG=15，PDG=901515=60，DGC=1801515=150，PDG为等边，三角形，DP=DG=PG，PGC=36015060=150=DGC，在DGCPGC中，DGCPGC，PC=AD=DC，和DCG=PCG=15，同理PB=AB=DC=PC，PCB=901515=60，PBC是正三角

7、形点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求3如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二） 考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：连接BC1和AB1分别找其中点F，E，连接C2F与A2E并延长相交于Q点，根据三角形的中位线定理可得A2E=FB2，EB2=FC1，然后证明得到B2FC2=A2EB2，然后利用边角边定理证明得到B

8、2FC2与A2EB2全等，根据全等三角形对应边相等可得A2B2=B2C2，再根据角的关系推出得到A2B2 C2=90，从而得到A2B2与B2C2垂直且相等，同理可得其它边也垂直且相等，所以四边形A2B2C2D2是正方形解答：证明：如图，连接BC1和AB1分别找其中点F，E连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC1，GFQ+Q=90和GEB2+Q=90，所以GEB2=GFQ，B2FC2=A2EB2，可得B2FC2A2EB2，所以A2B2=B2C2，又HB2C2+HC2B2=9

9、0和B2C2Q=EB2A2，从而可得A2B2 C2=90，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形点评：本题主要考查了正方形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键4已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DEN=F考点：三角形中位线定理。专题：证明题。分析：连接AC，作GNAD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MGBC，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得GNM=GMN，根据平行线性质可得：GMF=F，GNM=DEN

10、从而得出DEN=F解答：证明：连接AC，作GNAD交AC于G，连接MGN是CD的中点，且NGAD，NG=AD，G是AC的中点，又M是AB的中点，MGBC，且MG=BCAD=BC，NG=GM，GNM为等腰三角形，GNM=GMN，GMBF，GMF=F，GNAD，GNM=DEN，DEN=F 点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明GNM为等腰三角形5已知：ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OMBC于M（1）求证：AH=2OM；（2）若BAC=60，求证：AH=AO（初二）考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；平行

11、四边形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理。专题：证明题。分析：（1）延长AD到F连BF，做OGAF，求出平行四边形OGDM，求出OM=GD，根据等腰三角形的性质和判定、垂径定理求出HD=DF，代入求出即可；（2）根据圆周角定理求出BOM，根据含30度角的直角三角形性质求出OB=2OM即可解答：证明：（1）延长AD与O交于点F，连BF，作OGAF于G，OMBC，ADBC，OGAF，OMD=ADB=OGD=90，四边形OGDM是平行四边形，OM=GD，ADC=BDA=AEB=90，F=ACB=BHD，BH=BF，ADBC，HD=DF，OGAF，OG过圆心O，AG=GF，AH=GF+HG=GH+HD

12、+DF+HG=2（GH+HD）=2OM，即AH=2OM（2）证明：连接OB，OC，BAC=60，BOC=120，BOM=60，OBM=30，OB=2OM=AH=AO，即AH=AO 点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、垂径定理、含30度角的直角三角形性质、平行四边形的性质和判定、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识点，题目综合性较强，有一定的难度，但题型较好，难点是如何作辅助线6设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q求证：AP=AQ（初二） 考点：圆周角定理；垂线；平行线的性质；全等三角形的判

13、定与性质；圆内接四边形的性质；轴对称的性质。专题：证明题。分析：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，根据轴对称和平行线性质推出FAP=EAQ，EAP=FAQ，FA=EA，求出FCQ=FAQ，推出FCAQ四点共圆，推出PEA=QFA，根据ASA推出PEA和QFA全等即可解答：证明：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，OAMN，EFOA，则有FAP=EAQ，EAP=FAQ，FA=EA，PAF=AFE=AEF=180FCD，PAF=180FAQ，FCD=FAQ，FCAQ四点共圆，AFQ=ACQ=BED，在EPA和FQA中，EPAFQA，AP=AQ点评：本题综合考查了全等三角形的判

14、定和性质，平行线的性质，轴对称的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂线等知识点，解此题的关键是求出AEP=AFQ，题型较好，有一定的难度，通过做题培养了学生分析问题的能力，符合学生的思维规律，证两线段相等，一般考虑证所在的两三角形全等7如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q求证：AP=AQ（初二） 考点：四点共圆；全等三角形的判定与性质。分析：作OFCD，OGBE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ，证明ADFABG，所以AFC=AGE，再利用圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角

15、，证得AOP=AOQ，进而得到AP=AQ解答：证明：作OFCD，OGBE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ由于，ADFABG，AFC=AGE，四边形PFOA与四边形QGOA四点共圆，AFC=AOP；AGE=AOQ，AOP=AOQ，AP=AQ点评：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质，以及圆的内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形8如图，分别以ABC的边AC、BC为一边，在ABC外作正方形ACDC和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半 考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：分别

16、过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=（ER+FS），易证RtAERRtCAT，则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证解答：解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ERPQFS，P是EF的中点，Q为RS的中点，PQ为梯形EFSR的中位线，PQ=（ER+FS），AE=AC（正方形的边长相等），AER=CAT（同角的余角相等），R=ATC=90，RtAERRtCAT（AAS），同理RtBFSRtCBT，ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，PQ=AB点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及

17、正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键9如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AE=AC，AE与CD相交于F求证：CE=CF考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：把ADE顺时针旋转90得到ABG，从而可得B、G、D三点在同一条直线上，然后可以证明AGB与CGB全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，所以AGC为等边三角形，根据等边三角形的性质可以推出CEF=CFE=75，从而得解解答：证明：如图所示，顺时针旋转ADE90得到ABG，连接CGABG=ADE=90+45=135，B，G，D在一条直线上，ABG=CBG=1

18、8045=135，在AGB与CGB中，AGBCGB（SAS），AG=AC=GC=AE，AGC为等边三角形，ACBD（正方形的对角线互相垂直），AGB=30，EAC=30，AEC=30+45=75，又EFC=DFA=45+30=75，CE=CF点评：本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及旋转变换的性质，根据旋转变换构造出图形是解题的关键10如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F求证：AE=AF（初二）考点：正方形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的判定。专题：计算题。分析：连接BD，作CHDE于H，根据正

19、方形的性质求出正方形DGCH，求出2CH=CE，求出CEH=30，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出AEC=CAE=15，求出F的度数即可解答：证明：连接BD，作CHDE于H，正方形ABCD，DGC=90，GC=DG，ACDF，CHDF，DHC=GCH=DGC=90，四边形CGDH是正方形由AC=CE=2GC=2CH，CEH=30，CAE=CEA=AED=15，又FAE=90+45+15=150，F=18015015=15，F=AEF，AE=AF点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，正方形的性质和判定等知识点，此题综合性较强，但难度适中11设P是

20、正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE求证：PA=PF（初二） 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：根据已知作FGCD，FEBE，可以得出GFEC为正方形再利用全等三角形的判定得出ABPPEF，进而求出PA=PF即可解答：证明：作FGCD，FEBE，可以得出GFEC为正方形令AB=Y，BP=X，CE=Z，可得PC=YXtanBAP=tanEPF=，可得YZ=XYX2+XZ，即Z（YX）=X（YX），即得X=Z，得出ABPPEF，PA=PF点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出ABPPEF是解题关键12如图，PC切

21、圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：AB=DC，BC=AD 考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质。分析：作出辅助线，利用射影定理以及四点共圆的性质得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共圆，进而得出四边形ABCD是平行四边形，从而得出答案即可解答：证明：作CQPD于Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF，所以PC2=PQPO（射影定理），又PC2=PEPF，所以EFOQ四点共圆，EQF=EOF=2BAD，又PQE=OFE=OEF=OQF，而CQPD，所以EQC=FQC，因为AEC=PQC=90，故B、E、C、Q四点共圆，所以EBC=EQC=EQ

22、F=EOF=BAD，CBAD，所以BO=DO，即四边形ABCD是平行四边形，AB=DC，BC=AD点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及射影定理，根据已知得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共圆是解题关键13已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5求：APB的度数（初二） 考点：等边三角形的性质；直角三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质。专题：计算题。分析：先把ABP旋转60得到BCQ，连接PQ，根据旋转性质可知BCQBAP，由于PBQ=60，BP=BQ，易知BPQ是等边三角形，从而有PQ=PB=4，而PC=5，PQ=3，根据勾股定理逆定理易证PQC是直角三角

23、形，即PQC=90，进而可求APB解答：解：顺时针旋转ABP60得到BCQ，连接PQ，PBQ=60，BP=BQ，BPQ是等边三角形，PQ=PB=4，而PC=5，PQ=4，在PQC中，PQ2+QC2=PC2，PQC是直角三角形，BQC=60+90=150，APB=150点评：本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质，解题的关键是考虑把PA、PB、PC放在一个三角形中，而旋转恰好能实现这一目标14设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBA=PDA求证：PAB=PCB考点：四点共圆；平行四边形的性质。专题：证明题。分析：根据已知作出P点平行于AD的直线，并选一点E

24、，使AEDP，BEPC，进而得出AEBP共圆，即可得出答案解答：证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AEDP，BEPCAEDP，BEPC，ABP=ADP=AEP，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）可得BAP=BEP=BCP，PAB=PCB点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键15设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCD+ADBC=ACBD（初三）考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理。分析：在BD取一点E，使BCE=ACD，即得BECADC，于是可得ADBC=BEAC，又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得=，即ABCD

25、=DEAC，两式结合即可得到ABCD+ADBC=ACBD解答：证明：在BD取一点E，使BCE=ACD，即得BECADC，可得：=，即ADBC=BEAC，又ACB=DCE，可得ABCDEC，即得=，即ABCD=DEAC，由+可得：ABCD+ADBC=AC（BE+DE）=ACBD，得证点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质和圆周角的知识点，解答本题的关键是在BD上取一点E，使BCE=ACD，此题难度一般16平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF求证：DPA=DPC（初二）考点：平行四边形的性质；角平分线的性质。专题：证明题。分析：过D作DQAE，

26、DGCF，由SADE=SDFC，可得：=，又AE=FC，可得DQ=DG，可得DPA=DPC（角平分线逆定理）解答：证明：过D作DQAE，DGCF，并连接DF和DE，如右图所示：则SADE=SDFC，=，又AE=FC，DQ=DG，PD为APC的角平分线，DPA=DPC（角平分线逆定理）点评：本题考查平行四边形和角平分线的性质，有一定难度，解题关键是准确作出辅助线，利用角平分线的性质进行证明17设P是边长为1的正ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：L2考点：等边三角形的性质；三角形三边关系；旋转的性质。专题：证明题。分析：只要AP，PE，EF在一条直线上，可得最小L=；过P点作BC的平行线

27、交AB，AC于点D，F，可得ADAP，BP+DPBP，PF+FCPC，DF=AF，从而得出结论解答：证明：（1）顺时针旋转BPC60，可得PBE为等边三角形即得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF最小，只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L=；（2）过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F由于APDAFP=ADP，推出ADAP 又BP+DPBP 和PF+FCPC 又DF=AF 由可得：最大L2；由（1）和（2）即得：L2点评：综合考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形三边关系，分别找到最小和最大L的求法是解题的关键18已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+

28、PB+PC的最小值考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质。分析：顺时针旋转BPC60度，可得PBE为等边三角形，若PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，求出AF的值即可解答：解：顺时针旋转BPC60度，可得PBE为等边三角形既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF既得AF=点评：本题主要考查轴对称路线最短问题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握旋转的知识，此题难度一般19P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长考点：正方形的性质；勾股定理

29、；等腰直角三角形；旋转的性质。专题：综合题。分析：把ABP顺时针旋转90得到BEC，根据勾股定理得到PE=2a，再根据勾股定理逆定理证明PEC是直角三角形，从而得到BEC=135，过点C作CFBE于点F，CEF是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出BC的长度，即可得到正方形的边长解答：解：如图所示，把ABP顺时针旋转90得到BEC，APBCEB，BE=PB=2a，PE=2a，在PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2，PEC是直角三角形，PEC=90，BEC=45+90=135，过点C作CFBE于点F，则CEF是等腰直角三角形，CF=EF=CE=a，在RtBFC中，BC=a，即正方形的边长为

30、a点评：本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键20如图，ABC中，ABC=ACB=80，D、E分别是AB、AC上的点，DCA=30，EBA=20，求BED的度数 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：作BCF=60，分别交AC、BE于点F、G，构造出等边三角形BCG，可以求出DCF与FCE的度数，并利用角边角证明ABE与ACF全等，根据全等三角形对应边相等得到BE=CF，然后求出FGE也是等边三角形，再根据等边三角形的角的度数证明EFBC，推出AFE=80，根据平角等

31、于180推出DFG=40，再根据角的度数可以得到BD=BC=BG，然后推出DGF=40，根据等角对等边的性质可得DG=DF，从而利用边边边证明DFE与DGE全等，根据全等三角形对应角相等可得DEF=BED，即可得解解答：解：作BCF=60，分别交AC、BE于点F、G，连接EF，DG，ABC=80，EBA=20，GBC=8020=60，BGC为等边三角形，DCA=30，ACB=80，DCF=BCF（ACBDCA）=60（8030）=10，FCE=DCADCF=3010=20，EBA=FCE，又ABC=ACB=80，AB=AC，在ABE与ACF中，ABEACF（ASA），BE=CF，BG=CG（等

32、边三角形的三边相等）FG=GE，FGE为等边三角形，EFG=CBG=60，EFBC，AFE=ABC=80，DFG=1808060=40，在BCD中，BDC=180ABCBCD=18080（8030）=50，BD=BC=BG，在BGD中，BGD=（18020）=80，DGF=180BGDEGF=1808060=40，DFG=DGF，DF=DG，在DFE与DGE中，DFEDGE（SSS），FED=BED，GEF=60（等边三角形的每一个角都等于60），BED=GEF=30故答案为：30点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，巧妙运用题中的角的度数的关系并作出辅助线是解题的关

33、键，难度较大，对同学们的能力要求较高初中几何常用方法全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”

34、2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时

35、，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答常见辅助线写法：过点A作BC的平行线AF交DE于F过点A作BC的垂线，垂足为D延长AB至C，使BCAC在AB上截取AC，使ACDE作ABC的平分线，交AC于D取AB中点C，连接CD交EF于G点例1如图，ABCD1，AOC60，证明：ACBD1。例2(2007年北京中考）如图，已知ABC请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；请你根据使成立的相应条件，证明ABACADAE。例3已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF。AOBBO

36、CCODDOEEOF60。且ADBECF2。求证：SOABSOCD SOEF 。例4如图1，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，如果12，那么34。仔细阅读以上材料，完成下面的问题。 如图2，设P为ABCD内一点，PABPCB，求证：PBAPDA。图1 图2集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助线，将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中，便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将ABC平移至DEF。1在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EGFH

37、，求证：EGFH。2如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC。3如图，已知ABC的面积为16，BC8，现将ABC沿直线BC向右平移a个单位到DEF的位置。当a4时，求ABC所扫过的面积；连接AE、AD，设AB5，当ADE是以DE为一腰的等腰三角形时，求a的值。4如图，AA=BB=CC=1，AOB=BOC=COA=60，求证：。例1如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且EAF45，AHEF，H为垂足，求证：AHAB。例2ABC中，ACB90，ACBC，P是ABC内的一点，

38、且AP3，CP2，BP1，求BPC的度数。例3已知在ABC中，ABAC，P为三角形内一点，且APBAPC，求证：PBPC。有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等角度能拼成的特殊角指的是180，90等等例4已知ABC，12，AB2AC，ADBD。求证：DCAC。例5ABC为等腰直角三角形，ABC90，ABAE，BAE30，求证：BECE。例6在ABC中，E、F为BC边上的点，已知CAEBAF，CEBF，求证：ACAB。出现轴对称的时候可以考虑翻折，尤其注意有角平分线，有角相等或者出现特殊角的一半的时候，翻折是常用添加辅助线的思想。强调：旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将ABC旋转或翻折至DEF。1如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心方在O点处，并将纸板绕O点旋转，其半径分别交AB、AD于点M、N，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a。2（2008山东）在梯形ABCD中，ABCD，A90，AB2，BC3，CD1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。3如图，P是等边ABC内一点，若AP3，PB4，PC5，求APB的度数。4已知：在RtABC中