最优化方法复习题.doc

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1、最优化方法复习题一、 简述题1、怎样判断一个函数是否为凸函数.(例如: 判断函数是否为凸函数)2、写出几种迭代的收敛条件.3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法(包括大M法及二阶段法). 见书本61页(利用单纯形表求解);69页例题 (利用大M法求解、二阶段法求解); 4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点.简述共轭梯度法的基本思想.写出Goldstein、Wolfe非精确一维线性搜索的公式。5、叙述常用优化算法的迭代公式(1)0.618法的迭代公式:(2)Fibonacci法的迭代公式:(3)Newton一维搜索法的迭代公式: (4)推导最速下降法用于问题的迭代公式:(5)Newton法的

2、迭代公式:(6)共轭方向法用于问题的迭代公式:二、计算题双折线法练习题 课本135页 例3.9.1FR共轭梯度法例题:课本150页 例4.3.5二次规划有效集:课本213页例6.3.2, 所有留过的课后习题.三、练习题: 1、设是对称矩阵,求在任意点处的梯度和Hesse矩阵解 2、设,其中二阶可导,试求解 3、证明:凸规划的任意局部最优解必是全局最优解证明 用反证法设为凸规划问题的局部最优解,即存在的某个邻域,使若不是全局最优解,则存在,使由于为上的凸函数,因此,有当充分接近1时,可使,于是,矛盾从而是全局最优解4、已知线性规划:(1)用单纯形法求解该线性规划问题;(2)写出线性规划的对偶问题

3、解 (1)引进变量,将给定的线性规划问题化为标准形式:所给问题的最优解为,最优值为(2)所给问题的对偶问题为: 5、用0.618法求解 ,要求缩短后的区间长度不超过0.2,初始区间取解 第一次迭代:取确定最初试探点分别为,求目标函数值:,比较目标函数值:比较第二次迭代:第三次迭代:第四次迭代:第五次迭代:第六次迭代:第七次迭代:第八次迭代:第九次迭代:故6、用最速下降法求解 ,取,迭代两次解,将写成的形式,则第一次迭代:第二次迭代:7、用FR共轭梯度法求解 ,取,迭代两次若给定判定是否还需进行迭代计算解 ,再写成,第一次迭代:,令,从出发,沿进行一维搜索,即求的最优解,得第一次迭代:,从出发

4、沿进行一维搜索,即求的最优解,得此时得问题的最优解为,无需再进行迭代计算8、求解问题 (方法不限定)取初始点.9、采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题:解:取 第一步迭代:,令,求得;第二步迭代:,令,求得。故,由于,故为最优解。10、用有效集法求解下面的二次规划问题:解:取初始可行点求解等式约束子问题 得解和相应的Lagrange乘子 转入第二次迭代。求解等式约束子问题 得解 令 转入第三次迭代。求解等式约束子问题 得解和相应的Lagrange乘子 由于,故得所求二次规划问题的最优解为 ,相应的Lagrange乘子为 最速下降法的优缺点:优点:方法简单,计算量较小;最速下降法为全

5、局收敛,对初始点的要求很少。缺点:最速下降法的收敛速度与变量的尺度关系很大,对有些例子,在极小点附近产生显著的锯齿现象,收敛十分缓慢;最速下降法的最速下降仅是一种局部性质,即从局部来看目标函数的值下降得最快,但从总体来看它可能走了许多弯路。牛顿法的优缺点:优点:牛顿法的收敛速度快,为二阶收敛;公式简单,计算方便。缺点:牛顿法要求f(x)二阶可微,迭代中需多次计算;牛顿法具有局部收敛性,对初始点的要求比较苛刻。共轭梯度法的优缺点:优点:计算公式简单,存储量较小,对初始点要求很少,对二次函数具有二次终止性;收敛速度介于最速下降法和牛顿法之间,对高维(n 较大)的非线性函数具有较高的效率。对于二次函数具有二次终止性,一般情况下优于共轭梯度法。缺点:共轭梯度法的收敛性依赖于精确的一维搜索,计算量较大;共轭梯度法的一些理论背景至今尚不清楚,如周期性的重新开始,初始搜索放心的选取,一维搜索的精确性等,对共轭梯度法执行的影响仍有待进一步研究。拟牛顿法的优缺点:优点:拟牛顿法具有较快的收敛速度(是超线性的);对于二次函数具有二次终止性,一般情况下优于共轭梯度法。缺点:拟牛顿法需要的存储量较大,对大型计算不便;DFP法远不如BFGS法数值稳定性好,BFGS法具有较强的数值计算稳定性。

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