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1、A.B.33C.39D.15CABCP图8-2图8-1DAA.4cm10cmB.5cm10cmC.4cm23cmD.5cm23cma初中数学竞赛专项训练（8）（命题及三角形边角不等关系）一、选择题：1、如图8-1，已知AB10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD，则线段CD的长度的最小值是（）A.4B.5C.6D.5(5-1)2、如图8-2，四边形ABCD中A60，BD90，AD8，AB7，则BCCD等于（）A.63B.53C.43D.333、如图8-3，在梯形ABCD中，ADBC，AD3，BC9，AB6，CD4，若EFBC，且梯形AEFD与
2、梯形EBCF的周长相等，则EF的长为（）457552CDADDEFB图8-34、已知ABC的三个内角为A、B、C且A+B，C+A，C+B，则、中，锐角的个数最多为（）A.1B.2C.3D.05、如图8-4，矩形ABCD的长AD9cm，宽AB3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（）EADBFCBCC图8-46、一个三角形的三边长分别为a，a，b，另一个三角形的三边长分别为a，b，b，其中ab，若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（）bC.D.A.3+12B.5+123+225+227、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A.0B.1C.3D.58
3、、若函数y=kx(k0)与函数y=1x的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则ABC的面积为（）A.1B.2C.kD.k2二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则d与1a+b2的大小关系是EBAA图8-5CBD2、如图8-5，AA、BB分别是EAB、DBC的平分线，若AABBAB，则BAC的度数为33、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（、5、7）、（5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长4、如图8-6，P是矩形ABCD内一点，若PA3，PB4，PC5，则PDABPDC5、如图8
4、-7，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中图8-6午12时太阳光线与水平面的夹角为30，此时求如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。A米甲16B20米图8-7C乙DBP6、如图8-8，在ABC中，ABC60，点P是ABC内的一点，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，则PBA图8-8C2三、解答题1、如图8-9，AD是ABC中BC边上的中线，求证：AD12（AB+AC）ABD图8-9C2、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？33、如图8-10，在ABC中，ACB90，CD
5、是角平分线，DEBC交AC于点E，DFAC交BC于点F。求证：四边形CEDF是正方形。CD22AEBFCEFAD图8-10B4、从1、2、3、4、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？41、如图过C作CEAD于E，过D作DFPB于F，过D作DDGCE于G。EPFB数学竞赛专项训练（8）参考答案一、选择题C1G显然DGEFAB5，CDDG，当P为AB中点时，有CDDG5，所2A以CD长度的最小值是5。2、如图延长AB、DC相交于E，在ADE中，可求得AE16，BEAEAB9，在BEC中，可求得B
6、C33，CEAD60DE83，于是CBE63，于是CD2GAEDFBCDECE23BCCD53。3、由已知AD+AE+EF+FDEF+EB+BC+CF1ADAD+AE+FDEB+BC+CF(AD+AB+BC+CD)=11EF=EFBC，EFAD，HEBFC=k，AE=AB=，DF=CD=设AEDFk6kk4kEBFCk+1k+1k+1k+16k4k13k+313k+3+=AD+AE+FD3+k+1k+1k+1k+1=11解得k4EG作AHCD，AH交BC于H，交EF于G，则GFHCAD3，BHBCCH9-36AE44242439=，EG=BH=EF=EG+GF=+3=BHAB555554、假设
7、、三个角都是锐角，即90，90，90，也就是A+B90，B+C90，C+A90。2（A+B+C）270，ABC135与ABC180矛盾。故、不可能都是锐角，假设、中有两个锐角，不妨设、是锐角，那么有AB90，CA90，A(ABC)b，故A是ABC的最小角，设AQ，则以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q，A从而它与BCBDba-baABC全等，所以DCb，ACDQ，因有公共底角B，所以有等腰Q=ADC等腰CBD，从而得，即=，令x=，即ABBCabbD5BC得方程x2-x-1=0，解得x=a5+1=b2。选B。7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360，故外角中钝角的个数不能超过3个，
8、又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。8、A。设点A的坐标为（x，y），则xy=1，故ABO的面积为底等高，因此ABC的面积ABO的面积1。二、填空题11xy=，又因为ABO与CBO同221、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为DNM、，MNd，另一组对边是AD和BC，其长度分别为a、b，连结BD，设P是BD的22dMNd(或d)。AabPa+b中点，连结MP、PN，则MP，NP，显然恒有，当2CADBC，由平行线等分线段定理知M、N、P三点共线，B此时有a+ba+bd=，所以d与的大小关系是22a+ba+b22
9、2、12。设BAC的度数为x，ABBBBBD2x，CBD4xABAAAABABACBD4xAAB12(180-x)12(180-x)+4x+4x=180，于是可解出x12。3、以3，5，7，9，11构成的三数组不难列举出共有10组，它们是（3，5，7）、（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，9）、（3，7，11）、（3，9，11）、（5，7，9）、（5，7，11）、（5，9，11）、（7，9，11）。由3+59，3+511，3+711可以判定（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7个数组构成三角形三边长。ADPbE4、过P作AB的平行线分别
10、交DA、BC于E、F，过P作BCAB、CD于G、H。GaaH设AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，b的平行线分别交则AP2=a2+c2，CP2=b2+d2，BP2=b2+c2，DP2d2+a2BcFdC于是AP2+CP2=BP2+DP2，故DP2=AP2+CP2-BP2=32+52-42=18，DP325、设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设CEAB于点E，那么在AEC中，AEC90，ACE30，EC20米。所以AEECtanACE=20tan30=2033。11.6（米）CDEBAB-AE16-11.64.4（米
11、）设点A的影子落到地面上某一点C，则在ABC中，AACB30，米甲EAB16米，所以61620C乙BDBC=ABcotACB=16327.7（米）。所以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。6、提示：由题意APBBPCCPA120，设PBC，ABC60则ABP60，BAPPBC，ABPBPC，APBP=，BP2APPCBPPCBP=APPC=48=43三、解答题1、证明：如图延长AD至E，使ADDE，连结BE。BADC1BDDC，ADDE，ADCEDBACDEBDACBEE在ABE中，AEABBE，即2ADABACAD（ABAC）22、答案提示：在ABC中，不妨设abca
12、+bca+b+c2c即p2ccp2，另一方面ca且cb2ca+b3ca+b+c=pcppc因此32p3。AE3、证明：ACB90，DEBC，DFAC，DEAC，DEBC，从而ECFDECDFC90。CD是角平分线DEDF，即知四边形CEDF是正方形。在AED和DFB中，DEBCADEBAEDDFBDE=，即DEDFAEBFCD2DE2DF，DFBFCD2=2DE2DF=2DEDF=2AEBF4、解：这一问题等价于在1，2，3，2004中选k1个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k的最大值是多少？符合上述条件的数组，当k4时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2an显然总有ai大于等于中的第i个数，所以n16k1，从而知k的最小值为17。78