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1、直线与方程知识点总结一、直线基本知识1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角关于倾斜角的概念要抓住三点：.与x轴相交;.x轴正向;.直线向上方向.直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.倾斜角a的范围00a1800.0ap90,k0；90pap180,kp0（2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为900的直线斜率不存在。1（xx）x-x经过两点P(x,y),P(x,y)（xx）的直线的斜率公式是k=11122212y-y22112每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l,l，其斜率分别为k,k，
2、则有l/lk=k。12121212特别地，当直线l,l的斜率都不存在时，l与l的关系为平行。1212（2）两条直线垂直如果两条直线l,l斜率存在，设为k,k，则llkk=-112121212注：两条直线l,l垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率12之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果l,l中12有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l与l互相垂直。12二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式y-y=k(x-x)11(x,y)为直线上一定点，11不包括垂直于x轴的直线斜截式y=kx+bk为斜
3、率k为斜率，b是直线在y不包括垂直于x轴轴上的截距的直线两点式y-y1=y-y21x-x1x-x21(x,y),(x,y)是直线上不包括垂直于x轴1122和y轴的直线两定点(其中xx,yy)1212截距式xy+=1aba是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线一般式Ax+By+C=0A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线2y=y1+y2Ax+By+C+l(Ax+By+C)=0（l为参数），其中直线l不在直线系中.(其中A,B不同时为0）注：过两点P(x,y),P(x,y)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）111222若x=x
4、且yy，直线垂直于x轴，方程为x=x；12121（2）若xx且y=y，直线垂直于y轴，方程为y=y；12121（3）（3）若xx且yy，直线方程可用两点式表示）12122、线段的中点坐标公式x+xx=12若两点P(x,y),P(x,y)，且线段P,P的中点M的坐标为(x,y)，则1112221223.过定点的直线系斜率为k且过定点(x,y)的直线系方程为y-y=k(x-x)；0000过两条直线l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0的交点的直线系方程为111122221112222三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点设两条直线的方程是l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=
5、0两条直线的交点坐标11112222就是方程组12Ax+By+C=011Ax+By+C=022的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点P(x,y),P(x,y)间的距离公式PP=(x-x)2+(y-y)2111222122121特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=x2+y2（2）点到直线的距离点P(x,y)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=00（3）两条平行线间的距离Ax+By+C00A2+B2两条平行线l:Ax+By+C=0,l:Ax+By
6、+C=0间的距离d=1122C-C21A2+B2（注意：求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）补充：1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角（2）已知斜率k的范围，求倾斜角a的范围时，若k为正数，则a的范围为(0,)的子集，且k=tana为增函数；若k为负数，则a的范围为(,p)的子集，且k=tana为增p2p2函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。2、利用斜率证明三点共线的方法：已知A(x,y),B(x,y),C(x,y),若x=
7、x=x或k112233123AB=k，则有A、B、C三点共线。AC注：斜率变化分成两段，900是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。3.两条直线位置关系的判定：已知l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0，则：1122（1）llAA+BB=0121212（2）l/lAB-AB=0,AC-AC0;1212211221（3）l与l重合AB-AB=0,AC-AC=0;1212211221（4）l与l相交AB-AB0121221如果ABC0时，则：222(1)llBB(2)l/l1=11(A,B,C不为0）；ABC(3)l与l重合1=1=1(A,B,C不为0）ABC(4)l与l相交11(A,
8、B不为0）AB若点M(x,y)及N(x,y)关于P(a,b)对称，则由中点坐标公式得y=2b-y1AA12=-11212ABC12222222ABC12222222AB1222224.有关对称问题常见的对称问题：（1）中心对称x=2a-x11122直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l/l，由点斜式得到所求直线方程。12（2）轴对称点关于直线的对称若两点P(x,y)与P(x,y)关于直线l:Ax+By+C=0对称，则线段PP的中点在对称11122212轴l上，而且连接PP的直线垂
9、直于对称轴l上，由方程组12x+xy+yx-xA(12)+B(122y-yA21(-)=-1B212)+C=0x=2y2=可得到点P关于l对称的点P的坐标(x,y)（其中A0,xx）122212直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。yx注：曲线、直线关于一直线y=x+b对称的解法：换x，换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x-2对称曲线方程是f(y+2,x-2)=0曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(2a-x,2b-y)=05.两条直线的交角1+kkpo的四个角中最小的正角q，又
10、称为l1和l2所成的角，它的取值范围是0,，当q90，则直线l到l的角（方向角）；直线l到l的角，是指直线l绕交点依逆时针方向旋转12121到与l重合时所转动的角q，它的范围是(0,p)，当q90o时tanq=k2-k1.212两条相交直线l与l的夹角：两条相交直线l与l的夹角，是指由l与l相交所成1212122有tanq=k2-k1.1+kk126.7.直线l上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：(1)在直线l上求一点P，使PA+PB取得最小值，若点A、B位于直线l的同侧时，作点A（或点B）关于l的对称点A/或B/,.连接A/B(或AB/)交l于P，则点P即为所求点若点A、B位于直线
11、的异侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点。可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）（3）在直线l上求一点P使PA-PB取得最大值，方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”若点A、B位于直线l的同侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点。若点A、B位于直线的异侧时，作点A（或点B）关于l的对称点A/或B/,.连接A/B(或AB/)交l于P，则点P即为所求点(3)PA2+PB2的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。7.8.直线过定点问题：含有一个未知参数，y=(a-1)x+2a-1y=a(x+2)-x+1
12、（1）73x+y=0从而该直线必过定点(-,)令x+2=0x=-2，将x=-2代入(1)式，得y=3，从而该直线过定点(-2,3)含有两个未知参数(3m-n)x+(m+2n)y-n=0m(3x+y)+n(-x+2y-1)=01x=-令-x+2y-1y=3713778.点到几种特殊直线的距离（1）点P(x,y)到x轴的距离d=|y|。000（2）点P(x,y)到y轴的距离d=|x|.000（3）点P(x,y)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y-a|。000（4）点P(x,y)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x-a|.0009.与已知直线平行的直线系有：（1）平行于直线Ax+By+C=0的直线可表示为Ax+By+C/=0(C/C)（2）平行于直线y=kx+b的所有直线为y=kx+b/(b/b)10.易错辨析：（1）讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时，是否满足题意；斜率存在时，斜率会有怎样关系。（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）（3）直线到两定点距离相等，有两种情况：直线与两定点所在直线平行；直线过两定点的中点。（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。）（4）过点A(x,y)，平行于x轴的直线方程为y=y000过点A(x,y)，平行于y轴的直线方程为xx000