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1、Cauchy准则、比较判x dx在u t + g时是否存在§ 2无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的 别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。教学内容:本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一无穷积分的性质由定义知道，无穷积分f xdx收敛与否，取决于函数 F (u)a极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。定理11.1无穷积分ax dx收敛的充要条件是:任给>0，存在G>a，只要Ui
2、、u2>G，便有u2f xau1dxfax dxu2f x dxuio证明由于af x dxlimuaf x dx=lim F(u),所以f xadx收敛lim f (u)存在uu2u2uif x dxfx dxf x dxuiaa0, G >a,只要 ui、u2>G,便有|F(U2) F(u).此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。性质1 (线性性质)若 f1 xdx与 f2 x dx都收敛，ki、k2为任意常数，则 aak2 f2 x dx也收敛，且ak1 f1 xk2 f2 x dx =k1f1 x dx k2af2 x dx oa(1
3、)证明:记J1f1 x dxaulim a fi xdx,uJ2f2 x dxaulim a f2 xdx，u则ak1 f1 xk2 f2 x dxu= lim a kJ xk2 f2 x dxki fiuu= limki a fi(x)dxk2 a f2(x)dxauu= ki|im a fi(x)dx k2|im a f2(x)dx=kiJi k2J2 = Kfi(x)dx k2f2(x)dx.aa性质2若f在任何有限区间a, u上可积，av b,贝Uf x dx与f xdx同敛态（即同时收敛或同时发散），且有bf x dx f x dxaab其中右边第一项是定积分。x dx,(2)证明：
4、由于f xdx收敛lim ax dx存在又limx dx = |im(f x dxub f X dx)所以aba f X dx lim bdx,其中右边第一项是定积分。f x dx 与bf xdx同敛态（即同时收敛或同时发散），且有bf x dx f x dxaab f xdx.说明：（1）性质2相当于定积分的积分区间可加性由性质2及无穷积分的收敛定义可推出xdx收敛的另一充要条件：任给> 0,存在Ga,当u>G时,总有f x dxu事实上,f x dx收敛J=ljmx dx存在总有0,0,0,a,a,a,性质3若f在任何有限区间证明：由aa, udxdxf x dxu上可积，且有
5、f xdx wf x dx收敛，根据柯西准则u2ui利用定积分的绝对值不等式，又有f x dx。（必要性）x dx |u2uiuf x dx f x dx)auf x dx收敛，则xdx亦必收敛，并有(3)，任给 > 0，存在G> a,当U2> ui > G时,dx|u2u2fx dxf xu1u1，证得adx再由柯西准则（充分性）f x dx收敛欢迎下载10又因ax dx f x dx u a，令+取极限，立刻得到不等式（3）. 口a当 f x dx收敛时，称 f xdx为绝对收敛,称收敛而不绝对收敛者为 条件收敛。aa性质3指出：绝对收敛收敛。但其逆命题一般不成立，
6、今后将举例说明收敛的无穷积分不sin x一定绝对收敛（本节例3中当0 v p< 1时-dx条件收敛）。1 xp二比较判别法这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法（比较准则及其三个推论）。uu由于 f x dx关于上限u是单调递增的，因此f xdx收敛的充要条件是f x dx存在上alaa界。根据这一分析，便立即导出下述比较判别法（请读者自己写出证明）：定理11.2 （比较法则）设定义在a, +R上的两个函数f和g都在任何有限区 G（u）间a, u可积，且满足f x g x ,x a,）,则当 g （x）dx收敛时 f x dx必收敛（或者，当f x dx发散时，g（x）dxaaaa发散）。
7、证明 法一根据民5习题2结论：设f为定义在a,）上的增（减）函数.则lim f（x）存在的充要条件为f在a,）上有上（下）界.ug（x）dx收敛时，lim a g（x）dx limG（u）存在.又G（u）单增，从而存在 M>0,使得uF(U)= af x dxug (x)dx G(u) M, u a,),即 F(u)有上界aM.又显然F（u）单增.故f x dx必收敛.ulim a 1 f (x) |dx limF(u)存在,从而 aG > a,当 u2>u1 >G 时,法二 由于 g（x）dx收敛，根据柯西准则（必要性），对任意 0,存在总有2 g x dxU1又 |
8、 f x | g(x), xu?a,).因此有 | f xui|dxu2g x dxu1根据柯西准则（充分性）| f (x) | dx 收敛.例1讨论0jsin x12 dx的收敛性。x解由于sin x1 x2），以及dx1 x2为收敛（§21例4）,根据比较法则,sin x0 rvdx为绝对收敛。上述比较法极限形式如下:推论1若f和g都在任何a, u上可积，g(x) >0,且|im 丄上xg xc,，则有i)Ov cv + 时,f x dx与a g x dx同敛态;c=O时，由g x dx收敛可推知f x dx也收敛;(iii)C=+8时，由g x dx发散可推知证明(i)l
9、f xlim77c,c (0,).对从而由比较法则结合性质|f x(ii)由 limyrx dx也发散。M a,当 x0,对从而由比较法则结合性质(iii)由 lxm从而由比较法则结合性质dx巴作为比较对象xp别法)。当选用a推论2 设f定义于a,(i)当 f X(ii)当 f X|f(x)|g(x)0,2知，由3c2f x dx 与x dx同敛态.M a,当 x时罟,从而 |f(x)|g(x),0,dx收敛可推知adx发散可推知af x dx也收敛.'f (x)' G,从而'f (x)' Gg(x), g(x)f x dx也发散. 口g(x)dx时，比较判别法
10、及其极限形式成为如下两个推论(称为柯西判)(a>0)，且在任何有限区间a, u上可积，则有:a,)，且 p> 1 时a+ , x a,)，且 pw 1 时 axaf x dx收敛;f x dx发散。推论3 设f定义于a,)，在任何有限区间a, u上可积，且lim 乂卩则有:(i)当 p> 1, ow V + g时，f x dx 收敛;a（ii）当 pw 1, 0V w + g时，f X dx 发散。a例2讨论下列无穷限积分的收敛性：21） x e xdx ；2）xdx.10x5 1解本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事。1）由于对任何实数都有2limx x
11、 ex2xxlim ex 0.x因此根据上述推论3 (P=2,=0）,推知1）对任何实数都是收敛的。2）由于1limx2x2x =1厂J因此根据上述推论3 ( p=!,2=1),推知2)是发散的。b|对 f x dx的比较判别亦可类似地进行。三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法。定理11.3 （狄利克雷判别法）若uF ( u)=ax dx 在a,）上有界，g （x）在a,）上当xt +g时单调趋于0,则 f xgax dx收敛。证明由条件设uf xdx w m ,u a,）。任给由于limg xx=0,因此存在G > a,当x > G时，有g x
12、4M。又因g为单调函数,利用积分第二中值定理（定理9.10的推论），对于任何 U2> U1 > G,存在 u 1 , U2，使得U2f x g x dxU1g u1 f x dxU1g U2U2f x dx。于是有U2u1g x dxg U1=g U1f xdxdx |gU2U2f x dxu1f xadxU2U2f x dxaf x dxv 4M2m 4M2m根据柯西准则，证得f x g x dx收敛。定理11.4 (阿贝尔(Abel )判别法)a若 f xdx收敛，g( x)在上单调有界，则 aa f x g(x)dx 收敛。这定理同样可用积分第二中值定理来证明，但又可利用狄利
13、克雷判别法更方便地获得证明(留 作习题10 )。例3讨论1护取与,芳(卩> °)的收敛性。解 这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论。下面分两种情形来讨论:(】)当p>1时1智dx绝对收敛。这是因为'xsin xxp1,dx竺 当p> 1时收敛，故由比较法则推知pxs：xdx收敛。sin x当o v p< 1时-dx条件收敛。这是因为对任意u1,1p1 xsin xdx cos1 cosu 2,而丄xp当p > 0时单调趋于0 (x T+a),故由狄利克雷判别法推知sin x . dx当pxp> 0时总是收敛的。另一方面，由于sin
14、 xx.2sin x2-警,x 1,)，其中 12x 2x1cos空dx2x1 costdt满足狄2 2 t利克雷判别条件，是收敛的，dx而是发散的，因此当1 2x0v p< 1时该无穷积分不是绝对收敛的。所以它是条件收敛的。例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:2 21 sinxdx,1 cosx dx,1 xsinx4dx 。证前两个无穷积分经换元t=x2得到1sin x2dx= 1,cosx2dx=costdt.112d由例3已知它们是条件收敛的。对于第三个无穷积分，经换元t=x2而得从例4中三个无穷积分的收敛性可以看到，当 积分仍有可能收敛(P269 exe 4)。课后作业题：3, 4 (2)、(4) , 5 (2)、(4)1xsinx4dx=sin t2dt，它也是条件收敛的。1 2 1xt +a时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷